天津大学 现代控制理论课件 窦立谦 第3章 线性系统的能控性和能观性

3.1 能控性的定义
1 提出
状态空间模型建立了输入、状态、输出之间的关系
u x y
x Ax Bu y Cx Du
状态方程反映了控制输入对状态的影响；输出方程 反映系统输出对控制输入和状态的依赖 能控性揭示系统输入对状态的制约能力；能观性反 映从外部对系统内部的观测能力； 能控性和能观性的概念是卡尔曼在1960年提出，成为现
若系统存在某一个状态x(t0)不满足上述条件，则此 系统称为不能控系统。
3.1 能控性的定义
3 几点说明
绪论
本章结构
• 第3章 线性控制系统的能控性和能观性 3.1 能控性的定义 3.2 线性定常系统的能控性判别 3.3 线性连续定常系统的能观性 3.4 离散时间系统的能控性与能观性 3.5 时变系统的能控性与能观性 3.6 能控性与能观性的对偶关系 3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型 3.8 线性系统的结构分解 3.9 传递函数阵的实现问题 3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性的关系
3.1 能控性的定义
2 定义
若系统(A(t)，B(t))对初始时刻t0，存在另一时刻tf （tf > t0），对t0时刻的初始状态x(t0) = x0，可以找到一 个允许控制u(t)，能在有限时间t0− tf 内把系统从初态x(t0) 转移至任意指定的终态x(tf )，那么就称系统在t0时刻的 状态x(t0)是能控的。若系统在状态空间中的每一个状态 都能控，那么就称系统在（t0，tf）时间间隔内是状态完 全能控的，简称状态能控的或能控系统。
（2）当A为对角阵时，如果B的元素有0，则系统不
可控。
（3）当A为约旦标准型时，只要相应的约旦块对 应的B的最后一个元素不为0，则系统可控。 （4）从结构图看，若存在于u无关的孤立方块，则系 统不可控。
3.2 线性定常系统的能控性判别
1 化为约旦标准型
例3.2-1
3.2 线性定常系统的能控性判别
k 0
n 1
AB
0 1 A2 B An 1B n1
若系统是能控的，那么对于任意给定的初始状态x(0)都 应从上述方程中解出 0，1，…，n 1来。这就要求系 统能控性矩阵的秩为n，即 rank[ B AB A2B … An 1B ] = n
J1 J2 x (t ) x (t ) ˆ ˆ Jk ˆˆ y (t ) Cx (t )
3.3 线性连续定常系统的能观性
例3.3-1考察下列系统的状态能观性
7 x(t ) x(t ) 5 1 y (t ) 0 4 5 x(t )
3.3 线性连续定常系统的能观性
2 能观性判别
能观性判别有两种形式： （1）约旦标准型判定 （2）（A，C）判定 （1）约旦标准型判定
能观判定1：设线性定常连续系统(A，C)具有互 不相同的特征值，则其状态完全能观测的充要条 件，是系统经线性非奇异变换后的对角标准形中， Ĉ不包含全为零的列
3.3 线性连续定常系统的能观性
（1）约旦标准型判定
能观判定2：设线性定常连续系统(A，C)具有重
特征值，则其状态完全能观测的充要条件，是系 统经线性非奇异变换后的约当标准形中，和每个 约当块Ji（i =1，2，…，k）首列相对应的Ĉ的所 有那些列，其元素不全为零。
3.3 线性连续定常系统的能观性
2 能观性判别
（1）约旦标准型判定
3.2 线性定常系统的能控性判别
能控性判别有两种形式：
（1）约旦标准型判定
（2）（A，B）判定
1 化为约旦标准型
x1 1 x1 x2 2 x2 b2u x1 1 x1 x2 x2 2 x2 b2u x1 1 x1 x2 b1u x2 2 x2
绪论
本章结构
• 第3章 线性控制系统的能控性和能观性 3.1 能控性的定义 3.2 线性定常系统的能控性判别 3.3 线性连续定常系统的能观性 3.4 离散时间系统的能控性与能观性 3.5 时变系统的能控性与能观性 3.6 能控性与能观性的对偶关系 3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型 3.8 线性系统的结构分解 3.9 传递函数阵的实现问题 3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性的关系
x(t f ) e
A( t f t0 )
x(t0 ) e
t0
tf
A( t f )
Bu( )d
在以下讨论中，不失一般性，可设初始时刻为零，即t0 = 0以及终端状态为状态空间的原点，即x(tf ) = 0。则有
x(t f ) 0 e
tf 0
At f
x(0) e
o
3.2 线性定常系统的能控性判别
x1 1 x1 x2 2 x2 b2u x1 1 x1 x2 x2 2 x2 b2u x1 1 x1 x2 b1u x2 2 x2
3.2 线性定常系统的能控性判别
1 化为约旦标准型
（1）系统的能控性取决于系统矩阵A和控制矩阵B。
现 代 控 制 理 论
第3章 线性控制系统的能控性和能观性
主讲：窦立谦
绪论
本章结构
• 第3章 线性控制系统的能控性和能观性 3.1 能控性的定义 3.2 线性定常系统的能控性判别 3.3 线性连续定常系统的能观性 3.4 离散时间系统的能控性与能观性 3.5 时变系统的能控性与能观性 3.6 能控性与能观性的对偶关系 3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型 3.8 线性系统的结构分解 3.9 传递函数阵的实现问题 3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性的关系
3.3 线性连续定常系统的能观性
1 定义
对任意给定的输入信号u(t)，在有限时间tf >t0，能够 根据输出量y(t)在[t0，tf]内的测量值，唯一地确定系统在 时刻t0的初始状态x(t0)，则称此系统的状态是完全能观测 的，或简称系统能观测的。
讨论线性系统的能观测性。考虑零输入时的状态 空间表达式 x Ax y Cx
tf
A( t f )
Bu( )d
x(0) e A Bu( )d
利用凯莱-哈密尔顿（CayleyHamilton）定理
3.2 线性定常系统的能控性判别
证明 定理3.2-1
利用凯莱-哈密尔顿（CayleyHamilton）定理
e
A
k ( ) A k
k 0
2 能观性判别
（1）约旦标准型判定
1 2 x (t ) x (t ) ˆ ˆ n ˆˆ y (t ) Cx (t )
3.3 线性连续定常系统的能观性
3.3 线性连续定常系统的能观性
2 能观性判别
7 2 x (t ) 0u (t ) x (t ) 5 9 1
7 0 1 x (t ) 4 0 u(t ) x (t ) 5 7 5 1
例题 3.2-4 【解答】
系统的能控性矩阵为
2 1 3 2 M = [ B AB A2B ] = 1 1 2 2 1 1 2 2
5 4 4 4 4 4
rankM= 2 n 所以系统状态不完全能控。
3.2 线性定常系统的能控性判别
3 线性定常系统的输出能控性
在分析和设计控制系统的许多情况下，系统的被控制 量往往不是系统的状态，而是系统的输出，因此有必要 研究系统的输出是否能控的问题。 对于系统(A，B，C，D)，如果存在一个无约束的控 制矢量u(t)，在有限时间间隔[t0，tf]内，能将任一给定的 初始输出y(t0)转移到任一指定的最终输出y(tf )，那么就 称(A，B，C，D)是输出完全能控的，或简称输出是能 控的。 线性定常系统(A，B，C，D)，其输出完全能控的充 要条件是输出能控性矩阵满秩，即 rankQ =rank[ CB CAB … CAn -1B D] = m
3.1 能控性的定义
2 定义
x(t0 ) P
[t0 , t f ] 时间段内存 在控制输入u x(t f ) P ,, Pn 1
3.1 能控性的定义
桥形电路(a)两个电容相等。选各自的电压为状态变量， 且设电容上的初始电压为零，根据电路理论，则两个 状态分量恒相等。相平面图(b)中相轨迹为一条直线， 因此系统状态只能在相平面的一条直线上移动，不论 电源电压如何变动，都不能使系统的状态变量离开这 条直线,显然，它是不完全能控的。
n 1 tf
n 1
进而得到
k 0
x(0) A B ak ( )u ( )d
k 0
因tf 是固定的，所以每一个积分都代表一个确定的 量，令

tfБайду номын сангаас
0
ak ( )u( )d k
3.2 线性定常系统的能控性判别
证明 定理3.2-1
x(0) Ak B k B
3.2 线性定常系统的能控性判别
例3.2-3 设系统的状态方程为
1 x1 0 x1 1 x 0 1 x 1 u 2 2
判断其状态能控性。
例题 3.2-3 【解答】
1 1 M [ B AB] 0 0
3.3 线性连续定常系统的能观性
1 定义
能观测性的概念非常重 要，这是由于在实际问 题中，状态反馈控制遇 到的困难是一些状态变 量不易直接量测。因而 在构造控制器时，必须 首先估计出不可量测的 状态变量。在“系统综 合”部分我们将指出， 当且仅当系统是能观测 时，才能对系统状态变 量进行观测或估计
3 0 x(t ) 0 1 y (t ) 0 1 0 3 1 0 3 x(t ) 2 1 0 2 1 0 x(t ) 0 0
3.2 线性定常系统的能控性判别
2 从A与B判定能控性
定理3.2-1 线性定常连续系统(A，B)其状态完全能控的 充要条件是其能控性矩阵
M B AB A2 B An 1 B
的秩为n，即
rankM n
3.2 线性定常系统的能控性判别
证明 定理3.2-1 已知状态方程的解为
rankM 1
所以该系统是状态不能控的。
3.2 线性定常系统的能控性判别
例3.2-4设系统的状态方程为
1 1 3 2 2 x (t ) 0 2 0 x (t ) 1 1 u(t ) 0 1 3 1 1
判断其状态能控性。
代控制理论中最重要的概念，是最优控制设计的基础。
3.1 能控性的定义
2 定义
若线性连续定常系统：
x Ax Bu
如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区 间 [t0 , t f ] 内，使系统由某一初始状态x(t0) = x0，转 移到指定的任意终端状态x(tf) = xf，则称此状态是能 控的。若系统的所有状态都是能控的，则称系统是完 全能控的，或简称系统是能控的。 有时也称矩阵（A，B）是能控的。
3.2 线性定常系统的能控性判别
例3.2-2 考察下列系统的状态能控性
7 2 x (t ) 5u (t ) x (t ) 5 7 1
1 0 4 0 x (t ) 0 4 0 x (t ) 4u (t ) 0 3 0 2 1 0 4 4 2 x (t ) 0 4 0 x (t ) 0 0 u(t ) 0 3 0 0 2