江苏省如皋市第一中学2020-2021学年高一上学期学校调研测试1数学试题

江苏省如皋市第一中学2020至2021学年度第一学期高一校调研数学测试一
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)
1.给出下列四个关系式：①7∈R ；②Z ∈Q ；③0∈∅；④∅⊆{0}，其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3
D.4
2.设全集U ＝R ，集合A ＝{x |1<x <4}，集合B ＝{x |2≤x <5}，则A ∩(∁U B )＝( ) A.{x |1≤x <2} B.{x |x <2} C.{x |x ≥5}
D.{x |1<x <2}
3.已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
4.下列命题中的假命题是( ) A.∀x ∈R ，|x |＋1>0 B.∀x ∈N ＋，(x －1)2>0 C.∃x ∈R ，|x |<1
D.∃x ∈R ，1
|x |＋1＝2 5.对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理.如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于______．
A.4
25 B.4
5
C.
2
25
D.
2
5 6.已知a >0，b >0，2a ＋1
b ＝1，若不等式2a ＋b ≥3m 恒成立，则m 的最大值为( )
A.1
B.2
C.3
D.7
7．不等式x (x －a ＋1)＞a 的解集是{x |x ＜－1或x ＞a }，则( )
A ．a ≥1
B ．a ＜－1
C．a＞－1 D．a∈R
8.设P＝{1，2，3，4}，Q＝{4，5，6，7，8}，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q，a≠b}，则P*Q中元素的个数为()
A.4
B.5
C.19
D.20
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分)
9.已知集合M＝{－2，3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，则满足条件的实数x 可能为()
A.2
B.－2
C.－3
D.1
10.若1
a<
1
b<0，则下列不等式中，正确的不等式有()
A.a＋b<ab
B.|a|>|b|
C.a<b
D.b
a＋
a
b>2
11.若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式恒成立的是()
A.ab≤1
B.a＋b≤ 2
C.a2＋b2≥2
D.1
a＋
1
b≥2
12.下列命题是假命题的是()
A.不等式1
x>1的解集为{x|x<1}
B.函数y＝x2－2x－8的零点是(－2，0)和(4，0)
C.若x∈R，则函数y＝x2＋4＋
1
x2＋4
的最小值为2
D.x2－3x＋2<0是x<2成立的充分不必要条件
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)
13.设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，2，3，5}，B＝{2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为________.
14.命题“对任意x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是_____________________. 16.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨，和最小值为________(本题第一空2分，第二空3分).
四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分8分)解下列不等式(组)：
(1)⎩
⎪⎨⎪⎧x （x ＋2）>0，x 2<1； (2)6－2x ≤x 2－3x <18.
18.(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |2－a ≤x ≤2＋a }，B ＝{x |x ≤1，或x ≥4}. (1)当a ＝3时，求A ∩B ；
(2)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围.
19．(本小题满分12分)已知P ＝{x |1≤x ≤2}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．
(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充分条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由；
(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
20．(本小题满分8分)已知a >0，b >0且1a ＋2
b ＝1.
(1)求ab 的最小值； (2)求a ＋b 的最小值．
21．南康某服装厂拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m 万件与年促销费用()04x x ≤≤万元满足1
31
m x =-
+.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.
（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用x 万元的函数； （2）该服装厂2020年的促销费用投入多少万元时，利润最大？
22.(本小题满分12分)已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}.
(1)求a，b的值；
(2)m为何值时，ax2＋m x＋3≥0的解集为R.
(3)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
江苏省如皋市第一中学2020至2021学年度第一学期高一校调研测试一
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)
1.给出下列四个关系式：①7∈R；②Z∈Q；③0∈∅；④∅⊆{0}，其中正确的个数是()
A.1
B.2
C.3
D.4
解析①④正确；对于②，Z与Q的关系是集合间的包含关系，不是元素与集合的关系；对于③，∅是不含任何元素的集合，故0∉∅，选B.
答案 B
2.设全集U＝R，集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|2≤x<5}，则A∩(∁U B)＝()
A.{x|1≤x<2}
B.{x|x<2}
C.{x|x≥5}
D.{x|1<x<2}
解析∁U B＝{x|x<2或x≥5}，A∩(∁U B)＝{x|1<x<2}.
答案 D
3.已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析∵a＝3⇒A⊆B，而A⊆B a＝3，∴“a＝3”是“A⊆B的充分不必要条件”.
答案 B
4.下列命题中的假命题是()
A.∀x∈R，|x|＋1>0
B.∀x∈N＋，(x－1)2>0
C.∃x ∈R ，|x |<1
D.∃x ∈R ，1
|x |＋1＝2
解析 A 中命题是全称量词命题，易知|x |＋1>0恒成立，故是真命题；B 中命题是全称量词命题，当x ＝1时，(x －1)2＝0，故是假命题；C 中命题是存在量词命题，当x ＝0时，|x |＝0，故是真命题；D 中命题是存在量词命题，当x ＝±1时，1
|x |＋1＝2，故是真命题. 答案 B
5.对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理.如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于______．
A.4
25 B.4
5
C.
2
25
D.
2
5 答案 A
6.已知a >0，b >0，2a ＋1
b ＝1，若不等式2a ＋b ≥3m 恒成立，则m 的最大值为( )
A.1
B.2
C.3
D.7
解析 ∵2a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2a b ＋2b a ≥5＋4＝9(当且仅当a ＝b 时，取等
号).∴3m ≤9，即m ≤3. 答案 C
7．不等式x (x －a ＋1)＞a 的解集是{x |x ＜－1或x ＞a }，则( )
A ．a ≥1
B ．a ＜－1
C ．a ＞－1
D ．a ∈R
解析：选C x (x －a ＋1)＞a ⇔(x ＋1)(x －a )＞0， ∵解集为{x |x ＜－1或x ＞a }，∴a ＞－1.
8.设P ＝{1，2，3，4}，Q ＝{4，5，6，7，8}，定义P *Q ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q ，a ≠b }，则P *Q 中元素的个数为( ) A.4 B.5 C.19
D.20
解析由题意知集合P*Q的元素为点，当a＝1时，集合P*Q的元素为：(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(1，8)共5个元素.同样当a＝2，3时集合P*Q的元素个数都为5个.当a＝4时，集合P*Q中元素为：(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)共4个.因此P*Q中元素的个数为19个，故选C.
答案 C
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分)
9.已知集合M＝{－2，3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，则满足条件的实数x 可能为()
A.2
B.－2
C.－3
D.1
解析由题意得，2＝3x2＋3x－4或2＝x2＋x－4.若2＝3x2＋3x－4，即x2＋x－2＝0，∴x＝－2或x＝1，检验：当x＝－2时，x2＋x－4＝－2，与元素互异性矛盾，舍去；当x＝1时，x2＋x－4＝－2，与元素互异性矛盾，舍去.若2＝x2＋x －4，即x2＋x－6＝0，∴x＝2或x＝－3，经验证x＝2或x＝－3为满足条件的实数x.故选AC.
答案AC
10.若1
a<
1
b<0，则下列不等式中，正确的不等式有()
A.a＋b<ab
B.|a|>|b|
C.a<b
D.b
a＋
a
b>2
解析∵1
a<
1
b<0，∴b<a<0，∴a＋b<0<ab，故A正确；∴－b>－a>0，则|b|>|a|，
故B错误；C显然错误；由于b
a>0，
a
b>0，∴
b
a＋
a
b>2
b
a·
a
b＝2，故D正确.故选
AD.
答案AD
11.若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式恒成立的是()
A.ab≤1
B.a＋b≤ 2
C.a 2＋b 2≥2
D.1a ＋1b ≥2
解析 因为ab ≤⎝
⎛⎭⎪⎫
a ＋
b 22
＝1，所以A 正确；因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤2＋a ＋b ＝4，故B 不正确；a 2
＋b 2
≥（a ＋b ）22＝2，所以C 正确；
1a ＋1
b ＝
a ＋
b ab ＝2
ab ≥2，所以D 正确. 答案 ACD
12.下列命题是假命题的是( ) A.不等式1
x >1的解集为{x |x <1}
B.函数y ＝x 2－2x －8的零点是(－2，0)和(4，0)
C.若x ∈R ，则函数y ＝x 2＋4＋
1
x 2＋4
的最小值为2 D.x 2－3x ＋2<0是x <2成立的充分不必要条件
解析 由1
x >1得x －1x <0，∴解集为(0，1)，故A 错误；二次函数的零点是指其图象与x 轴交点的横坐标，应为－2和4，故B 错误；C 中，x 2＋4≥2，故y ＝x 2＋4＋
1
x 2
＋4
≥2.等号成立的条件为x 2＋4＝1，无解，故C 错误；D 中，由x 2－3x ＋2<0得1<x <2，能够推出x <2，但反之不成立，所以是充分不必要条件. 答案 ABC
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上) 13.设全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A ＝{1，2，3，5}，B ＝{2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为________.
解析 全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A ＝{1，2，3，5}，B ＝{2，4，6}，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(∁U A )∩B ，∵∁U A ＝{4，6，7，8}，∴(∁
U A )∩B ＝{4，6}.
答案 {4，6}
14.命题“对任意x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是_____________________. 解析 由定义知命题的否定为“存在x ∈R ，使得|x －2|＋|x －4|≤3”. 答案 存在x ∈R ，使得|x －2|＋|x －4|≤3
15．若正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则13a ＋2＋1
3b ＋2的最小值为________．
答案：47
16.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨，和最小值为________(本题第一空2分，第二空3分).
解析 设一年总费用为y 万元，每年购买次数为400x 次，则y ＝400x ·4＋4x ＝1 600
x
＋4x ≥2 1 600x ·4x ＝160(万元)，当且仅当
1 600
x ＝4x ，即x ＝20时等号成立，故x ＝20. 答案 20 160
四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分8分)解下列不等式(组)：
(1)⎩⎪⎨⎪
⎧x （x ＋2）>0，x 2<1；
(2)6－2x ≤x 2－3x <18.
解：(1)原不等式组可化为⎩
⎪⎨⎪⎧x <－2或x >0，－1<x <1，即0<x <1，所以原不等式组的解集为{x |0<x <1}．
(2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧6－2x ≤x 2－3x ，x 2－3x <18，即⎩
⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≥0，
x 2－3x －18<0，
因式分解，得⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）（x ＋2）≥0，（x －6）（x ＋3）<0，所以⎩
⎪⎨⎪⎧x ≤－2或x ≥3，
－3<x <6，
所以－3<x ≤－2或3≤x <6.
所以不等式的解集为{x |－3<x ≤－2或3≤x <6}．
18.(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |2－a ≤x ≤2＋a }，B ＝{x |x ≤1，或x ≥4}. (1)当a ＝3时，求A ∩B ；
(2)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围.
解 (1)当a ＝3时，A ＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |x ≤1，或x ≥4}，∴A ∩B ＝{x |－
1≤x ≤1，或4≤x ≤5}.
(2)①若A ＝∅，此时2－a >2＋a ， ∴a <0，满足A ∩B ＝∅.
②当a ≥0时，A ＝{x |2－a ≤x ≤2＋a }≠∅， ∵A ∩B ＝∅，∴⎩⎨⎧2－a >1，
2＋a <4，
∴0≤a <1.
综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，1).
19．(本小题满分12分)已知P ＝{x |1≤x ≤2}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．
(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充分条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由；
(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：(1)要使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，需使P ＝S ，即⎩
⎪⎨⎪⎧
1－m ＝1，
1＋m ＝2，此方程组无解，故
不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．
(2)要使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，需使S ⊆P . 当S ＝∅时，1－m >1＋m ，解得m <0，满足题意； 当S ≠∅时，1－m ≤1＋m ，解得m ≥0，要使S ⊆P ，则有
⎩
⎪⎨⎪⎧
1－m ≥1，
1＋m ≤2，解得m ≤0，所以m ＝0. 综上可得，当实数m ≤0时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件． 20．(本小题满分8分)已知a >0，b >0且1a ＋2
b ＝1.
(1)求ab 的最小值； (2)求a ＋b 的最小值．
解：(1)因为a >0，b >0且1a ＋2
b ＝1，
所以1a ＋2b
≥2
1a ·2b
＝22
ab
，则22
ab
≤1， 即ab ≥8，当且仅当⎩⎨⎧1
a ＋2
b ＝1，
1a ＝2b ，
即⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4时取等号，所以ab 的最小值是8. (2)因为a >0，b >0且1a ＋2
b ＝1，
所以a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫
1a ＋2b (a ＋b ) ＝3＋b a ＋2a
b
≥3＋2
b a ·2a
b
＝3＋22， 当且仅当⎩⎨⎧1a ＋2
b
＝1，b a ＝2a
b ，
即⎩⎨⎧a ＝1＋2，b ＝2＋2
时取等号， 所以a ＋b 的最小值是3＋2 2.
21．南康某服装厂拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m 万件与年促销费用()04x x ≤≤万元满足1
31
m x =-
+.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.
（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用x 万元的函数； （2）该服装厂2020年的促销费用投入多少万元时，利润最大？ （1）由题意知：每件产品的销售价格为8162m
m
+⨯， 解
()816116281681681635611m y m m x m x x x m x x +⎛
⎫∴=⋅⨯
-++=+-=+--=-- ⎪++⎝
⎭[]()0,4x ∈；
（2）由()161656571574911y x x x x ⎡⎤
=-
-=-++≤-=⎢⎥++⎣⎦
， 当且仅当
16
11
x x =++，即3x =时取等号. 答：该服装厂2020年的促销费用投入3万元时，利润最大.
22.(本小题满分12分)已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }. (1)求a ，b 的值；
(2)m 为何值时，ax 2＋m x ＋3≥0的解集为R .
(3)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.
解 (1)由题意知，1和b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两根，
则⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝1＋b ，2a ＝b ，
解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2. (2)不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，
即为x 2－(c ＋2)x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.
①当c >2时，原不等式的解集为{x |2<x <c }；
②当c <2时，原不等式的解集为{x |c <x <2}；
③当c ＝2时，原不等式无解.
综上知，当c >2时，原不等式的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，原不等式的解集为{x |c <x <2}；
当c ＝2时，原不等式的解集为∅.。