上海财经大学2009-2010学年第一学期线性代数(A
上海财经大学《线性代数》分章节习题及答案
第一章行列式1.1计算以下排列的逆序数，判别其奇偶性。
（1） 365247； （2） 5216743； （3） 7654321； （4） 12)1(⋅−⋅L n n ； （5） 24)22()2()12(531⋅−⋅⋅−⋅⋅L L n n n 。
1.2选择 与 ，使下列排列（1）成为奇排列；使（2）成为偶排列。
i k （1） 75132⋅⋅⋅⋅⋅⋅k i ； （2） 76532⋅⋅⋅⋅⋅⋅k i 。
1.3 写出把排列 1356742 变换成排列 4132567 的对换。
1.4 分别写出4级行列式和5级行列式中所有带有负号且包含因子的项。
2312a a 1.5 按定义计算下列行列式的值。
（1）121051103−−， （2） 430021001011002−， （3） 000100002000010L L L L L L L L L n n −。
1.6 按定义写出行列式xx x x x 111123111212−中 与 的系数。
4x 3x 1.7 按定义说明 级行列式n λλλ−−−nn n nan n a a a a a a a a a L L L L L L L 22222111211是一个关于λ 的 次多项式。
n1.8 计算下列行列式的值。
（1）3621−； （2） |2|−；（3）bia i bbi a −+；上海财经大学《线性代数》分章节习题及答案（4）λλ−−−1132； （5）θθθθsin cos cos sin −； （6） θθθθsin 0cos 010cos 0sin −；（7）691051203−； （8） 142151322−−−−； （9） 5142022000120003−−−；（10）2000130021403121； （11） 5142122000120023−−； （12）3242402052121303−−−；（13）101200211052014−−−−； （14） dc b a 000000000000。
09年10月线性代数(经管类)试题答案
全国2009年10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式0111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式=21A （ B ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=C （ A ） A ．ABB ．BAC ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c A 的行列式1|-=A |，则=-1*)(A （ A ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----d cb aB ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb dD ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d cb as 21（）的秩不为零的充分必要条件是（ B ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ C ） A ．n A r =)(B ．m A r =)(C ．n A r <)(D ．m A r <)(7．已知3阶矩阵A 的特征值为1,0,1-，则下列矩阵中可逆的是（ D ） A ．AB ．A E -C ．A E --D ．AE -2．．A ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101011001433241214321A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=001010A ，则二次型Ax x T 的规范形为（ D ）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z --- C ．232221z z z -- D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11．已知行列式422221111-=-+-+b a b a b a b a ，则=2211b a b a_________．12．已知矩阵)1,1,2(),1,2,1(-=-=B A ，且B A C =，则=C _________．13．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333022A ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-121A _________．14．已知矩阵方程B XA =，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1201A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0111B ，则=X _________．15．已知向量组a ),2,3(,)2,2,2(,)3,2,1(321===ααα线性相关，则数=a _________．16．设)0,1,0(,)0,0,1(21==αα，且22211,αβααβ=-=，则21,ββ的秩为_________．17．设3元方程组增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++01001010a a ，若方程组无解，则a 的取值为_______．19．已知向量k )2,,3(=α与k ),1,1(=β正交，则数=k _________．20．已知321321)3()1(),,(x a x x a x x x f +++-=正定，则数a 的取值范围是_________． 21．计算行列式1111111111111111---+-----+=x x x x D 的值．解：1111111111111111111111111111---+-----=---+-----+=x x x x x xx x x x x D 4000000000111x xx xx =--=．22．设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2112A ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足E B BA +=，求||B ．解：由E B BA +=，得E E A B =-)(，1)(--=E A B ，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-111110012112E A ，21111||=-=-E A ，21||||1=-=-E A B ． 23．已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-313232121ax x a x x a x x ，（1）讨论常数321,,a a a 满足什么条件时，方程组有解．（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）．解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=3121321110110011101110011),(a a a a a a a b A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--→32121000110011a a a a a ，0321=++a a a 时，方程组有解． （2）),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→000011001121a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-→0000110101221a a a ，⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=333213211x x x a x x a a x ，通解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1110221k a a a ． 24．设向量组T T T T )3,6,2,0(,)1,3,0,1(,)3,1,1,2(,)0,1,4,1(4321-=--=--==αααα，求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=3130631120140121),,,(4321αααα→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------3130643024700121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------2470643031300121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------612210643031300121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------15500930031300121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--3100310031300121 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000310031300121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000310060303021→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000310020103021→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000310020101001，向量组的秩为3，321,,ααα是一个极大线性无关组，=4α32132ααα+-．25．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3421A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1205B ，存在TT )1,1(,)2,1(21-==αα，使得,511αα=A 22αα-=A ；存在T T )1,0(,)1,3(21==ββ，使得2211,5ββββ-==B B ．试求可逆矩阵P ，使得B AP P =-1．解：由题意，A 的特征值为1,5-，对应的线性无关特征向量为21,αα；B 的特征值为1,5-，对应的线性无关特征向量为21,ββ．令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==1211),(211ααP ，则1P 是可逆矩阵，使得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1005111AP P ；令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==1103),(212ββP ，则2P 是可逆矩阵，使得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1005212BP P ． 由上可得=-111AP P 212BP P -，从而B P P A P P=--)()(121112，即B P P A P P =---)()(1211121，令=P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--13/113/23101121131110312111121P P ，则P 是可逆矩阵，使得B AP P =-1．26．已知323121321222),,(x x x x x x x x x f ++=，求正交变换Py x =，将二次型化为标准形．解：原二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=011101110A ．=-||A E λλλλ111111------λλλλλλλλ1111111)2(1212112-----=-------==++-=101011001)2(λλλ)2()1(2-+λλ，A 的特征值为=1λ12-=λ，23=λ．对于=1λ22=λ，解齐次方程组0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------111111111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111 ，⎪⎩⎪⎨⎧==--=3322321x x x x x x x ，取=1α⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011，=2α⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101， 先正交化：11αβ=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=011，1211222||||),(βββααβ-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12/12/101121101． 再单位化：⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==02/12/1||||1111ββp ，==222||||1ββp ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--6/26/16/1． 对于23=λ，解齐次方程组0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------211121112→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000110101 ，⎪⎩⎪⎨⎧===333231x x x x x x ，取=3α⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111，单位化为==333||||1ααp ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3/13/13/1．令⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=3/16/203/16/12/13/16/12/1P ，则P 是正交矩阵，经过正交变换Py x =后，原二次型化为标准形 2322212y y y +--． 四、证明题(本题6分)27．设向量组321,,ααα线性无关，且332211αααβk k k ++=．证明：若01≠k ，则向量组32,,ααβ也线性无关．证：设033221=++ααβx x x ，即0)()(33132212111=++++αααx x k x x k x k ．由321,,ααα线性无关，可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=00031321211x x k x x k x k ．若01≠k ，则方程组的系数行列式01001001321≠=k k k k ，只有0321===x x x ，所以32,,ααβ线性无关．。
09-10第一学期3学分(A卷)参考答案
⎛2 5 4 5 5⎞ 解方程组 ( A − E ) x = 0 求得 λ = 1 的一个特征向量为 ξ1 = ( 2, 4,5 ) ，单位化得 p1 = ⎜ ⎜ 15 , 15 , 3 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
T
T
⎛ 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 0 2 ξ1 = p1 − p3 = ( p1 + p2 ) − ( p2 + p3 ) = ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ , ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −1 0 1 ξ 2 = p2 − p4 = ( p2 + p3 ) − ( p3 + p4 ) = ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ⎜0⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝1⎠ ⎝ 1 ⎠
T T
为 A 相应于 λ2 的两个线性无关的特征向量，证明向量组 α1 , α 2 , α 3 , α 4 线性无关。 （1）解：由 b1 , b2 ," , bn 由 a1 , a2 ," , an 的线性表出关系式可知 B = AK ，其中
T (kB) = A(kB) − ( kB)T A = kAB − kBT A = kT ( B) 故 T 是 V 上的一个线性变换。
(2). T ( E11 ) = ⎜
⎛ 0 −2 ⎞ ⎛0 1⎞ ⎟ = −2 E12 − 2 E21 ， T ( E12 ) = ⎜ ⎟ = E12 − E21 − 4 E22 ⎝ −2 0 ⎠ ⎝ −1 − 4 ⎠
A = ( a1
a2
a3 " an ) ， B = ( b1
上海财经大学2012-2013数理统计试卷
4
………………………………………………………装 订 线 ………………………………………………… 4. （10 分）从总体 X 中抽取容量为 80 的样本, 频数分布如下表: 区 间 频 数 (0, 1/4] 6 (1/4,1/2] 18 (1/2,3/4] 20 (3/4, 1] 36 合计 80 试在显著性水平 0.025 下检验这批数据是否服从如下概率密度函数
诚实考试吾心不虚，公平竞争方显实力， 考试失败尚有机会，考试舞弊前功尽弃。
……………………………………………………………装 订 线 …………………………………………………
上海财经大学《概率论与数理统计 II》课程考试卷（A） （闭卷）
课程代码 101182 课程序号 1071
2012—__________；
8. 设 X 1 , X 2 , , X n 是均值为 的总体的样本 ( 其中 未知 ). 任取常数列 {ai }i 1 , 在
n
条件
下,
a X
i 1 i
n
i
是参数 的无偏估计；
n
9. 设 X 1 , X 2 , X n 是来自总体 N ( , ) 的一个样本, Q
1
样本方差分别记为 x, s , 则 P ( X 1) 的极大似然估计值为
2
。 ；
7. X 1 ,..., X n 是总体 X ~ N ( , ) 的样本， ， 均未知，统计假设为
2
2
2 2 H0 : 2 0 , H1 : 2 0
（ 0 已知） ，
2
所采用的检验统计量是__________________， 对给定的显著水平 ，检验的拒绝域
H 0 : a a0 , H1 : a a1 ( a0 ) , X 1 , , X n 为一组样本，证明：当样本量 n 充分大时，可使犯两类错误的概率任意地小。
2009年10月全国自考线性代数（经管类）真题和参考答案
2009年10月全国自考线性代数（经管类）真题参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.A.-2B.-1C.1D.2答案：B2.A.AB.BC.CD.D答案：C3.A.AB.BC.CD.D答案：A4.A.AB.BC.CD.D答案：A5.A.AB.BC.CD.D答案：B6.A.A2 自考资料,自考白皮书2009年10月全国自考线性代数（经管类）真题参考答案3B.BC.CD.D答案：C7.A.AB.BC.CD.D答案：D8.下列矩阵中不是初等矩阵的为()A.AB.BC.CD.D答案：D9.A.1B.2C.3D.4答案：B10.4A.AB.BC.CD.D答案：D二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1.图中空白出应为：___答案：22.图中空白出应为：___答案：3.图中空白出应为：___ 自考资料,自考白皮书2009年10月全国自考线性代数（经管类）真题参考答案5答案：4.图中空白出应为：___9.图中空白出应为：___答案：5.图中空白出应为：___答案：16.图中空白出应为：___答案：27.图中空白出应为：___答案：-18.图中空白出应为：___答案：246 自考资料,自考白皮书72009年10月全国自考线性代数（经管类）真题参考答案8答案：-110.图中空白出应为：___答案：-3＜a ＜1三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）1.答案：2. 自考资料,自考白皮书2009年10月全国自考线性代数（经管类）真题参考答案9答案：3.答案：4.答案：5.答案：10 自考资料,自考白皮书2009年10月全国自考线性代数（经管类）真题参考答案116.答案：四、证明题（本题6分）1.12 自考资料,自考白皮书2009年10月全国自考线性代数（经管类）真题参考答案13答案：。
《线性代数》国际09-10A期末试卷
云南财经大学20020099至20201010学年第二学期《线性代数》课程期末考试试卷（A ）（试）得分一二三四五六七八总分复核人阅卷人6小题，每小题2分，共12分，对的打√，错的打×）.若≠A O ，则||0≠A ；（）.设A 为n 阶矩阵，则T ||||=A A ；（）．当向量组中向量的维数大于向量的个数时向量组必线性相关；（）．设A 为n 阶矩阵，且||0=A ，则A 中必有一列向量可由其它列向量线性表示；）．设A 为m n ×矩阵，r()r =A ，则当r n =时非齐次方程组=Ax b 有唯一解；（）．设1λ，2λ是矩阵A 的特征值，1α，2α分别是A 的对应于1λ，2λ的特征向量，12≠λλ，则1α，2α必不成比例．（）6小题，每小题2分，共12分）.若排列38i 7j 625为奇排列，则i =；.已知1P AP B −=，且||0B ≠，则||||A B =；.设A 为三阶矩阵，且||2A =，*A 为A 的伴随矩阵，则行列式1*32|A A −−=；．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为－1，2，0，1，它们的余子式依次为5，3，－7，4，则D =；5.若向量组T 1(1,11)α=，，T 2(1,2,3)=α，T 3(1,3)=，αt 线性相关，则t 的取值满足；6．设A 为n 阶方阵，且齐次线性方程组AX =O 有非零解，则A 必有一个特征值为．三、单项选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1.设D 为n 阶行列式，则D 为零的充分必要条件是（）；（A ）D 中有两行（列）的对应元素成比例；（B ）D 中有一行（列）的所有元素均为零；（C ）D 中有一行（列）的所有元素均为可化零；（D ）D 中有一行（列）的所有元素的代数余子式均为零．2．若n 阶矩阵A 满足2230A A I −−=，则矩阵A 可逆，且1A −=（）；（A ）2A I −；（B ）2I A −；（C ）1(2)3A I −−；（D ）1(2)3A I −．3．设矩阵111213212223313233A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠a a a a a a a a a ，313233312122232111121311333B −⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠a a a a a a a a a a a a ，1103010001P −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，2001010100P ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，则B =（）；（A ）21P AP ；（B ）12AP P ；（C ）12P AP ；（D ）12P P A ．4．设n 元齐次线性方程组Ax O =，r()3A =−n ，且1α，2α，3α是其3个线性无关的解，则方程组的基础解系是（）；（A ）1α，2α，12+αα；（B ）12−αα，23−αα，31−αα；（C ）1α，12+αα，123++ααα；（D ）123++ααα，12−αα．5．设n 阶方阵A ，B 满足AB O =，则必有（）；（A ）A O =或B O =；（B ）A B O +=；（C ）|A |+|B |=0；（D ）|A |=0或|B |=0．6．三阶矩阵A 的特征值为2−，1，3，I 为三阶单位矩阵，则||A I −=（）．（A ）6−；（B ）0；（C ）2；（D ）1−．四、（10分）已知行列式1040211206002412−−=−−D ，4j A （1,2,3,4=j ）为D 的第四行第j 列元素的代数余子式，求41424344+++A A A A ．五、（12分）设矩阵A ，B 为n 阶矩阵，且满足2A B I AB −=+，其中100031062A ⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠，I 为n 阶单位矩阵，求矩阵B ．六、（16分）已知向量组T 1(2,1,3,0)α=，T 2(1,0,0,1)α=，T 3(0,1,0,1)α=，T 4(0,0,1,1)α=−．求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示．七、（16分）用基础解系表示下列线性方程组的全部解12341234123412342122233224+−+=⎧⎪++−=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩x x x x x x x x x x x x x x x x ．八、（10分）设λ是n 阶矩阵A 的一个特征值，求证：2λ是2A 的一个特征值．。
2009-2010学年第一学期线性代数A期末试卷A卷及参考答案
2.（6 分）设 n 阶方阵 A 满足 A2 + 9 A + 7 E = 0, ，求证 A − 2 E 可逆且求其逆．
⎛ 0 1 0 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ 1 −4 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3、 （8 分）解矩阵方程 ⎜ 1 0 0 ⎟ X ⎜ 0 0 1 ⎟ = ⎜ 2 0 −1 ⎟ ． ⎜ 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ 1 −2 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
浙江科技学院 2009-2010 学年第一学期线性代数A考试试卷A卷 一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）
1. 已知 4 阶行列式 D 的第二行元素分别为 1、2、3、4，与它们对应的余子式依次 为 4、 −3 、2、 −1 ，则 D =__________ . 2. 设 A 是三阶方阵, A* 是其伴随矩阵, | A |=
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⎛1 0 0 ⎞ ⎛ 1 2 1⎞ ⎜ ⎟ ⎟ −1 5.（8 分）解： A= (α 1 , α 2 , α 3 )= ⎜ 1 2 3 ⎟ ， B= ( β1 , β 2 , β 3 )= ⎜ ⎜- 1 1 3 ⎟， P = A B ， ⎜1 3 4 ⎟ ⎜ 0 1 - 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 1 ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ 由 ( A, B ) ⎯⎯ →( E , A B ), 求得P = A B = ⎜ 5 1 −14 ⎟ ⎜ −4 −1 10 ⎟ ⎝ ⎠
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⎛ 1 0 5 ⎜ ⎜ 令 P = ( p1 , p2 , p3 ) = ⎜ −2 0 5 ⎜ 1 ⎜ 0 ⎝ 2 ⎞ 5⎟ 1 ⎟ ，则 P 为正交矩阵， 5⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎠
从而 x = Py 为正交变换，使 f = − y12 + 2 y2 2 + 4 y32 四、证明题（6 分） 证：设 k1α1 + k 2α 2 + k3α 3 + k 4 (α 5 − α 4 ) = 0, 由 R(I)=R(II)=3， 得 α 4 可由 α 1 ,α 2 ,α 3 惟一线性表示， 设为 α 4 = l1α1 + l2α 2 + l3α 3 , 代入得 (k1 − l1 k 4 )α 1 + (k 2 − l 2 k 4 )α 2 + (k 3 − l3 k 4 )α 3 + k 4α 5 = 0, 因为 α1 , α 2 , α 3 , α 5 线性无关, 所以 k1 − l1 k 4 = k 2 − l 2 k 4 = k 3 − l 3 k 4 = k 4 = 0, 从而 k1 = k 2 = k 3 = k 4 = 0 ,得证。
线性代数02198自考2009年~2012年真题试题及答案(新)
2009年7月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数试题课程代码：02198试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A *表示A 的伴随矩阵；R （A ）表示矩阵A 的秩；|A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设A ，B ，C 为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立．．．的是（ ） A ．（A +B ）T =A T +B T B ．|AB |=|A ||B | C ．A （B +C ）=BA +CA D ．（AB ）T =B T A T 2．已知333231232221131211a a a a a a a a a =3，那么333231232221131211222222a a a a a a a a a ---=（ ） A ．-24 B ．-12 C ．-6D ．123．若矩阵A 可逆，则下列等式成立的是（ ）A ．A =||1A A *B ．|A |=0C ．（A 2）-1=（A -1）2D ．（3A ）-1=3A -14．若A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-251213，B =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-123214，C =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--213120，则下列矩阵运算的结果为3×2的矩阵的是（ ） A ．ABC B ．AC T B T C ．CBAD ．C T B T A T5．设有向量组A ：4321,,,αααα，其中α1，α2，α3线性无关，则（）A ．α1，α3线性无关B ．α1，α2，α3，α4线性无关C ．α1，α2，α3，α4线性相关D ．α2，α3，α4线性无关6．若四阶方阵的秩为3，则（ ） A ．A 为可逆阵B ．齐次方程组Ax =0有非零解C ．齐次方程组Ax =0只有零解D ．非齐次方程组Ax =b 必有解7．已知方阵A 与对角阵B =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---200020002相似，则A 2=（ ）A ．-64EB ．-EC ．4ED ．64E8．下列矩阵是正交矩阵的是（ ） A ．⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--100010001B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11001110121 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--θθθθcos sin sin cos D ．⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--336102233660336122 9．二次型f =x T Ax (A 为实对称阵)正定的充要条件是（ ） A ．A 可逆B ．|A |>0C ．A 的特征值之和大于0D ．A 的特征值全部大于010．设矩阵A =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--4202000k k 正定，则（ ）A ．k ＞0B ．k ≥0C ．k ＞1D ．k ≥1二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
上海应用技术学院09-10线性代数期末(A)试卷
上海应用技术学院2009—2010学年第一学期《线性代数A 》期（末）（A ）试卷课程代码: XXXXXX 学分: 2 考试时间: 100 分钟 课程序号: XXXXXXX 班级： 学号： 姓名:我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将愿接受相应的处理。
试卷共 5 页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。
一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分） 1、七阶行列式a a ij =，则-=a ij __________。
2、三阶行列式a a ij =，则a A a A a A 113112321333++=________，其中A ij 是代数余子式。
3、010100001143201120⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪X ，则X =____________________。
4、已知300030003A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，满足AB A B =+，则B =_______________。
5、设1200210000120011A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，则=-1A ____________________。
6、设A 为5阶方阵，且12A =，则()1*3A --=______________。
7、设A 为3阶方阵，且2A =，则1*A A -+=______________。
8、含有零向量的向量组必线性_________（填写相关或无关）。
9、设1(1,0,1)=-α，2(0,2,0)=α，3(2,0,)t =α，则t =_______时，线性相关。
10、n 阶矩阵A 的秩为1n -，则线性方程组AX O =的基础解系中含有______个线性无关的解向量。
二、计算题（本大题共6小题，共计64分）1、计算n 阶行列式12000012000001220001n D =。
（本题10分）2、设有3阶方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333222111d c a d c a d c a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333222111d c b d c b d c b B ，且已知2=A ，21=B ，求B A +。
华理线性代数答案
解：原式等于：
2 2 a11 x12 + a22 x2 + a33 x3 + ( a12 + a21 ) x1 x2 + ( a13 + a31 ) x1 x3 + ( a23 + a32 ) x2 x3
⎡ ⎢ (2) A = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
1 2 3 2
−
3⎤ ⎥ 2 ⎥ ，求 A2008 ； 1 ⎥ ⎥ 2 ⎦
由可交换矩阵的定义知道所求矩阵必为3阶方阵不妨设其为于是有baab11121321222331323312211331233220082007利用等式173512351235123197126673852922某公司为了技术革新计划对职工实行分批脱产轮训已知该公司现有2000人正在脱产轮训而不脱产职工有8000年从不脱产职工中抽调30的人脱产轮训同时又有60脱产轮训职工结业回到生产岗位设职工总数不变令0706800003042000试用a与x通过矩阵运算表示一年后和两年后的职工状况并据此计算届时不脱产职工与脱产职工各有多少人
αα T α 为 n 维列向量， ， 其中 I 为 n 阶单位阵， α Tα
试证 A 为对称矩阵，且 A2 = I . 证：
AT = ( I − 2
αα T T αα T T 2 αα T T T T ) 2( ) ( ) 2 αα = I − = I − = I − =A α Tα α Tα α Tα α Tα
c ⎤ ⎡0 1 0 ⎤ ⎡0 a b ⎤ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ f⎥ ⎥ ⎢0 0 1 ⎥ = ⎢0 d e ⎥ ， i⎥ ⎦ ⎣0 g h ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 0 0 ⎥ ⎦⎢ f⎤ i⎥ ⎥= 0⎥ ⎦ ⎡0 a b ⎤ ⎢0 d e ⎥ ， ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 g h ⎦ ⎣
上海财经大学线性代数第六章习题
第六章习题课一、利用特征值定义及性质的求矩阵的特征值(1) λ1+λ２+…+λn = tr(A )， λ1λ２…λn = |A |,(2)λ→ A 的特征值，则g (λ) g (A )＝a →t A t +a t-1A t-1 +…+a 1A +a 0I(3) A 可逆iff A 的特征值均不为零. (|A|=0 iff 零是A 的一个特征值)（4）A 与A T 有相同的特征值，但特征向量一般不同；可逆矩阵A 与A -1之间的特征值成倒数关系，且对应的特征向量相同。
（5）相似矩阵的特征值相同例1 填空题（1）设矩阵A 满足等式A 2-3A +2E =0, 则A 的特征值取值范围为 。
（2）设A 是三阶矩阵，0)(,0||,0||==+=A tr E A A ，则A 的特征值为 。
（3）设P 是n 阶可逆矩阵，B=P -1AP- P AP -1, 则B 的特征值之和 。
（4）已知|A |=E A B b a 2,01112133=+=−−−−, 则B 的一个特征值是 。
例2 选择题（5）设C=, 则C 的特征值是（ ）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛110101011 (A) 1，0，1； (B) 1，1，2；（C ） -1，1，2； （D ）-1，1，1.（6）设A 是n 阶可逆矩阵，λ是A 的一个特征值，则A 的伴随矩阵A *的特征值之一是（ ）(A) λ-1|A |; (B) λ|A |-1; (C) λ|A | ; (D) λn A ||.二、相似对角化（1） n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量.（即A 的k 重特征根有k 个线性无关的特征向量）（2） （充分条件）如果n 阶方阵A 有n 个不同的特征值，则A 相似于对角矩阵。
例3 填空题（1）设A 是三阶奇异矩阵，|E +A |=|2E -A |=0, 则A 相似于 。
（2）若n 阶矩阵A 有n 个属于特征值λ的线性无关特征向量，则A = .（3）已知A 相似于对角阵, 则r (A -E )+r (2E +A )= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−211. 例4 n 阶矩阵A 相似于对角阵的充要条件是(A) A 有n 个不同的特征值;(B) A 有n 个不同的特征向量 ;(C) A 的每个r i 重特征值λi , 有r (λi E -A )=n -r i ;(D) A 是实对称矩阵.例5 设均为n 阶矩阵，且C B A ,,0,0=+=C AC AB ，如果， n B r r =+)()C (例6 证明A 相似于对角阵，并求ΛΛ。
线性代数期末试卷7
（装订线内不要答题）复旦大学计算机科学技术学院2009-2010学年第二学期《线性代数》期终考试试卷（A卷）共 8页课程代码：COMP120004.02考试形式：闭卷2010年 7月（本试卷答卷时间为120分钟，答案必须写在试卷上，做在草稿纸上无效）专业学号姓名成绩一、ｎ阶行列式计算：（共20分，每小题10分）（1）nnnnnnnbababababababababaA+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=111111111212221212111（2）nn n n n n n n n y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x B -⋅⋅⋅---⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅----⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---=321333231323222121312111（装订线内不要答题）二、假设A为n阶方阵，{}ndiagDλλλλ,,,,321⋅⋅⋅=是n阶对角阵，其中nλλλλ,,,321⋅⋅⋅两两不相等，且DAAD=，证明:A必为对角阵。
(10分)三、假设n阶方阵A满足：0))((=++nnbIAaIA，其中nIba,≠是n阶单位阵，证明：（1）nbIAraIArnn=+++)()(；（2）方阵A必相似于一对角阵。
（共10分）四、讨论参数βα,的值，解下列方程组。
何时无解？何时有唯一的解？并请写出解；何时有无穷多的解？并请写出解的一般形式。
⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++4234321321321x x x x x x x x x ββα （12分）（装订线内不要答题）五、设向量),0,1,1,0(),1,0,2,1(),1,1,1,1(),1,0,0,1(),1,0,1,1(21321==-===ββααα请分别求),(),,(21321ββαααLL+和),(),,(21321ββαααLL⋂的维数及一个基。
上海商学院 2010—2011学年第2学期 《线性代数》期末考试 (习题)
上 海 商 学 院2010 ~ 2011 学年第 1学期《线性代数》期末考试试卷总课时： 36 A 卷.适用年级：200 级 本科 适用专业：（经管）考试时间： 120 分钟班级：_______________ 姓名：_______________学号：_______________一、填空题（每小题3分，共30分）1、计算：=---413202121________。
2、设3,221-==A A ，则行列式=210A BA __________。
3、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3421A ，则A 的伴随矩阵=*A ________。
4、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k A 12110321，已知秩()2r A =，则k = 。
5、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212513X ，则=X ________。
6、设向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a α，若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1111Tαα，则=ααT ____________。
7、判断向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=421,102,321321ααα的线性相关性。
_________（填相关或无关）。
8、设向量组{}31,αα是向量组{}4321,,,αααα的一个最大无关组，则向量组{}4321,,,αααα的秩为___________。
9、设0≠ξ是齐次线性方程组0=X A n 的一个解向量，且系数矩阵的秩1)(-=n A R ，则该方程组0=X A n 的通解为 。
10、设321ξξξ、、是非齐次线性方程组B AX =的解向量，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+32121ξξ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1113ξ，则导出方程组0=AX 的一个解向量为______________。
二、利用行列式性质及行列式展开定理计算：521011321014321---=D 。
（10分）三、计算T⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3121012102231012110321（10分）四、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011110012210411X ，求X 。
02198线性代数
概要&总结一、线性代数的基础内容：1、行列式——行列式的定义及计算性质(7条)，克莱姆法则；2、矩阵——运算(包括相等、加法、数乘；转置，乘法，逆)；矩阵的行列式、伴随矩阵；初等变换(包括行、列变换及与矩阵乘法的关系，求逆等)；行等价标准形(行阶梯形、行简化阶梯形)及标准形；矩阵的秩；分块矩阵3、向量——线性组合、表示、相关性；秩及极大无关组特别的，除理解概念外，尽可能深刻的理解初等变换在解决矩阵相关问题中的作用；初等变换与矩阵乘积运算的关系；矩阵的秩与向量组的秩之间的关系；如何借助矩阵的初等行变换去求向量组的秩及其极大无关组二、线性代数的应用性内容1、线性方程组求解：i)齐次的，讨论有不全为零解的条件，解的性质和基础解系(不唯一)—格式化的求基础解系的步骤；ii)非齐0Ax =次的，讨论有解的条件(唯一解、无穷多解)，解的性质和结构—格式化的解题步骤Ax b =2、向量空间：基、坐标、过渡矩阵、坐标变换公式；特殊的基，自然基和标准正交基及施密特正交化方法；正交矩阵3、特征值特征向量：i)特征值、特征向量——格式化的求解步骤，关键是在理解这组概念及其性质；ii)矩阵对角化：矩阵可对角化的条件；特征向量的性质；相似矩阵iii)实对称矩阵正交对角化：实对称矩阵特征值特征向量的性质(特征值都为实数，属于不同特征值的特征向量正交)——格式化的对角化步骤4、二次型：i)二次型与对称矩阵的关系ii) 利用正交变换的方法化二次型为标准型相当于实对称矩阵的正交对角化；配方法化二次型为标准形；合同矩阵(与等价、相似的关系)iii)二次型的规范形与惯性定理：正惯性指数与负惯性指数唯一确定iv)正定二次型与正定矩阵：如何判别？——四个等价的条件(正定；正惯性指数为；存在使；所有特征值大于零)n P TP P A =第一章 行列式关键字：行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开定理 克莱默法则一、1．行列式定义及相关概念：(这是行列式的递推法定义)由个数组成的阶行列式2n (,1,2,,)ij a i j n = n 是一个算式，特别当时，定义；当111212122212n n n n nna a a a a a D a a a = 1n=1111||D a a ==2,n ≥时，其中，是中去掉第1行第列全部元素后按照原顺序1111121211111n n n j j j D a A a A a A a A ==+++=∑ 111(1)j j j A M +=-1j M D j 拍成的阶行列式，称为元素的余子式，为元素的代数余子式。
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4 x1 + x2 + kx3 = k2 − x1 + kx2 + x3 = x − x + 2x = −4 3 1 2
2 2 2
( 12 分 )
5. 二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 + 5 x2 + 5 x3 + 4 x1 x2 − 4 x1 x3 − 8 x2 x3
四、证明题 略。
5
。
（D）以上都不对。
2 0 0 3. 矩阵 A = 0 3 0 合同于矩阵 0 0 −1
。
1 0 0 −1 0 0 −1 0 0 1 0 0 （A） 0 2 0 ；（B） 0 2 0 ； （C） 0 −2 0 ；（D） 0 −2 0 。 0 0 3 0 0 −3 0 0 −3 0 0 3
8. 二次型 f = λ x1 + λ x2 + λ x3 + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 − 2 x2 x3 + x4 正定，则 λ 为
2 2 2 2
。
。 。
9. 设三阶矩阵 A 的特征值为 2，1，1，则矩阵 = B ( A∗ ) 2 + I 的特征值为____
1
得分
二．选择题（每题 3 分，共 15 分）
C = (α 3 , α 2 , α1 ) , 且 B = 40 , C = −5 , 则 A = _________。
5. 设 R 的基为: α1 , α 2 , α 3 ，则 α1 , α 2 , α 3 到 α1 + α 3 , α 2 − 2α 3 , α1 + α 2 + α 3 的过
3
1 2
5. D
3 ( 3 − n ) 2n − 2
= AT
( 2C − B )
−1
,
1 0 0 −2 1 0 A= 1 −2 1 0 1 −2 1 0 A→ 0 0
DimL=3 基 α1 , α 2 , α 4
0 0 0 1
3.
0 1 0 0
1 1 0 0
1. 当 s =
，t =
时，为负的项。
2. 设 A, B 是 3 阶矩阵，若满足等式 A + BA = B ，则 ( A − I ) −1 =
。
3 3. 矩阵 A = a+b+c a 2 + b2 + c2
4. 设 3 阶方阵 = A
5.(1)
2 + f = 2 y12 + 3 y2
5 2 y3 , 3
1 x1 = y1 − y2 + 3 y3 2 y2 + y3 x= 2 3 x3 = y3
(2) λ = λ = 1, λ = 10 , 1 2 3
−2 = = α1 1 ,α 2 0
3
（A）参考答案 一、填空题 2. B − I ；
1. s=3,t=1；
3. 3；
4. 8；
2 0 2 5. 0 3 3 ； 6. 2； 4 −8 4
7. 4 ；
8. λ > 2 ；
9.
2，5，5。
二、选择题 1. D 2.C 三、计算题 1. 2.
3. D
4. B
0 1 0 7 , 1 −3 0 0
1 坐标 X = 1 0
4. k ≠ −1, 4
唯一解； 无解； 无穷解，
k = −1 k =4
4
−3 0 X = k −1 + 4 。 1 0
诚实考试吾心不虚 ，公平竞争方显实力， 考试失败尚有机会 ，考试舞弊前功尽弃。
……………………………………………………………装 订 线 …………………………………………………
上海财经大学《 线性代数 》课程考试卷（A）闭卷
课程代码 105208 课程序号
姓名
题号 得分
学号
一 二 三
班级
四 总分
得分
一、填空题(每小题 2 分，共计 18 分)
（1）用配方法将二次型化为标准型，并求出相应的可逆变换。 （2）用正交变换法将二次型化为标准型，并求出相应的正交变换。 （18 分）
得分
四． 证明题（7 分）
已知 n 阶矩阵 A 满足 A − 3 A + 2 I = 0 ，其中 I 是 n 阶单位矩阵，且 A 的特征值全
2
部为 1，试证： A = I 。
（A） PA = B ; （B） A P = B ; （C） PA = − B ; （D） A P = − B
。
2. n 维向量 α , β 线性无关， 则α , β ,γ − δ α , β , γ 线性无关， α , β , δ 线性无关，
（A）线性相关； （B）线性无关； （C）不一定线性无关；
1 3
1 4
度矩阵为__________。 6．向量空间 V =
{α = ( a, b, c ) a + b + c =
0, a, b ∈ R} 的维数为__________。
2 3 1 t 6 , 满足等式 BA = O , 且 r ( B ) = 2 , 则 t = 7. 设矩阵 A = 2 3 2t − 2 9
5．已知 A, B 是同阶可逆矩阵，则 （A） AB = BA = I；
。
−1
（B）存在可逆矩阵 P ，使得 P AP = B ；
（C）存在可逆矩阵 P ，使得 PT AP = B ； （D）存在可逆矩阵 P, Q ，使得 QAP = B 。
2
得分
三． 计算题（60 分）
……………………………………………………………装 ……………………………………………………………装 订 订 线 ………………………………………………… 线 …………………………………………………
2 1 0 0
0 2 1 0
1 0 , 2 1
求 A.
3. 设 α1 = (1, 2,1, 2 ) ,α 2 = (1,0,3,1) ,α 3 = ( 2, 2, 4,3) ,α 4 = ( 2,1, −2, 2 ) ,α 5 = ( 2, −1,0,1) ， 求生成空间 L (α1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 ) 的维数和一组基，并求 α 3 = ( 2 , 2 , 4 ,3) 在该组基下的 坐标。 （10 分） 4． k 为何值时，下列方程组有唯一解；无解；有无穷多解，并求解。
4. 非 齐 次 线 性 方 程 组 AX = B 的 增 广 矩 阵 经 初 等 行 变 换 化 为
2 −1 2 λ − 2 2 0 ，非齐次线性方程组 AX = B 有无穷多解，则 。 0 λ + 2 λ + 1 0 0 0 （A） λ ≠ 1 ； （B） λ ≠ −2 ； （C） λ ≠ 1 且 λ ≠ −2 ； （D） λ ≠ −1 且 λ ≠ −2 。 0 1 0 λ − 1 0 0 0 0
−1 −2 −8 2 1 5 0 1 0 1. 设 矩 阵 A = 2 1 5 ， B =− 1 −2 −8 ， P = 1 0 0 ， 7 9 1 7 9 1 0 0 1
则
∗
。
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2 − 5 1 C = 5 0 X = CY , 2
2 0 ,α3 = 1
1 3 2 , 3 2 − 3
1 2 ; −2
3 5 4 3 5 5 3 5
2 2 . f = y12 + y2 + 10 y3
a+b+c 2 a + b2 + c2 a 3 + b3 + c 3
a 2 + b2 + c2 a 3 + b3 + c3 ， a ≠ b ≠ c ，则 r ( A ) = a 4 + b4 + c4
。
(α1 + 2α 2 , 2α 2 + 3α 4 , α 4 + 3α1 ) , (α1 , α 2 , 2α 3 − α 4 + α1 ) , B =
3 3 3 2 3 1 2 1 3 1．计算 Dn = 2 1 1 2 1 1
3 3 1 1 1 1 3 1 1 3
（10 分）
1 0 −1 T −1 2． 设 (2 I − C B) A = C ， 而B = 0 0
2 −3 −2 1 1 2 −3 ，C = 0 0 1 2 0 0 0 1 0