2022年吉林省长春市市第一外国语中学高三数学文月考试题含解析

2021-2022学年吉林省长春市市第一外国语中学高三数学文月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数是偶函数，是奇函数，则（）
A.1
B.
C.
D.
参考答案：
D
略
2. 若双曲线（）的一条渐近线与直线垂直，则此双曲线的实轴长为
（）
A．2 B．4 C．18 D．36
参考答案：
C
由双曲线的方程，可得一条渐近线的方程为，
所以，解得，所以双曲线的实轴长为，故选C．
3. 平面向量的夹角为等于
A. B. C.12 D.
参考答案：
B【知识点】向量加减混合运算及其几何意义F2
由已知|a|=2，|a+2b|2=a2+4a?b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12，
∴|a+2b|=．故选：B．
【思路点拨】根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方．
4. 已知向量，，若与垂直，则的值为（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
5. 设D是函数y=f（x）定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f（x0）=﹣x0，则称x0是f（x）的一
个“次不动点”，也称f（x）在区间D上存在次不动点．若函数f（x）=ax2﹣3x﹣a+在区间[1，4]上存在次不动点，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，0）B．（0，）C．[，+∞）D．（﹣∞，]
参考答案：
D
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据“f（x）在区间D上有次不动点”当且仅当“F（x）=f（x）+x在区间D上有零点”，依题
意，存在x∈[1，4]，使F（x）=f（x）+x=ax2﹣2x﹣a+=0，讨论将a分离出来，利用导数研究出等式另一侧函数的取值范围即可求出a的范围．
【解答】解：依题意，存在x∈[1，4]，
使F（x）=f（x）+x=ax2﹣2x﹣a+=0，
当x=1时，使F（1）=≠0；
当x≠1时，解得a=，
∴a′==0，
得x=2或x=，（＜1，舍去），
x （1，2） 2 （2，4）
∴当x=2时，a最大==，
所以常数a的取值范围是（﹣∞，]，
故选：D．
6. 函数(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数a的取值范围是
A. B.(－∞,0) C. D.(0,+∞)
参考答案：
A
7. 已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，若数列
的前项和为，则的值为（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
8. 直线l与圆相交于A,B两点，若弦AB的中点，则直线l的方程为：
A. B. C. D.
参考答案：
C
9. 已知函数的图像恒过定点P，若角a的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P。

则的值为
A . B.
C. D.
参考答案：
D
略
10. 甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生。

为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生A．30人，30人，30人 B．30人，45人，15人
C．20人，30人，10人 D．30人，50人，10人
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. （5分）（2010·上饶模拟）a∈（﹣∞，0），总x0使得acosx+a≥0成立，则
的值为
．
参考答案：
∵a∈（﹣∞，0），acosx0+a≥0
∴cosx0≤﹣1
∴x0=2kπ+π
∴=sin（4kπ+2π﹣）=﹣sin=﹣
故答案为﹣
12. 设sin则sin等于
参考答案：
.
略
13. 若任意满足的实数，不等式恒成立，则实数的最大值是。

.
参考答案：
14. 下面四个命题：
①命题“?x ＞0，x
2﹣3x +2＜0”的否定是“?x ＞0，x 2﹣3x +2≥0”；
②要得到函数y=sin （2x +）的图象，只要将y =sin2x的图象向左平移个单位；
③若定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），则f（x）是周期函数；
④已知奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（﹣1）=0，则不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣
1}．
其中正确的是．（填写序号）
参考答案：
①③
15. 如图中阴影部分的面积等于____________．
参考答案：
根据题意，所求面积为函数在区间上的定积分值，即该阴影部分面积为．
16. 设数列的前项和为，且，为等差数列，则的通项公式
____________.
参考答案：
17. 若曲线f（x）=3x+ax3在点（1，a+3）处的切线与直线y=6x平行，则a=．
参考答案：
1
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出f（x）的导数，求出切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a=1．
【解答】解：f（x）=3x+ax3的导数为f′（x）=3+3ax2，
即有在点（1，a+3）处的切线斜率为k=3+3a，
由切线与直线y=6x平行，可得3+3a=6，
解得a=1．
故答案为：1．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题满分14分）已知是定义在上的增函数，且记。

（1）设，若数列满足，试写出的通项公式及前的和：
（2）对于任意、，若，判断的值的符号。

参考答案：
（1），则，
，即数列是以为首项，为公比的等比数列，
∴，；
（2）若，则，∵是定义在上的增函数
∴，则
∴，即，与矛盾，
∴
19. （本小题满分12分）已知函数的定义域为，
（1）求；
（2）当时，求的最小值．
参考答案：
（1）依题意，，解得
（2）=
又，，.
①若，即时，==，
②若，即时，
当即时，=
20. (本小题满分14分)已知函数=，其中a>0.
（Ⅰ）若a=1，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间上，恒成立，求a的取值范围。

参考答案：
（Ⅰ）y=6x-9.（Ⅱ）0<a<5.
（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f’(x)=, f’(2)=6.所以曲线y=f （x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.
（Ⅱ）解：f’(x)=.令f’(x)=0，解得x=0或x=.
以下分两种情况讨论：ks5u
（1）若，当x变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表：
当等价于 ks5u
解不等式组得-5<a<5.因此.
（2）若a>2，则.当x变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表：
+-0
当时，f（x）>0等价于即
解不等式组得或.因此2<a<5.
综合（1）和（2），可知a的取值范围为0<a<5.
21. 已知函数f（x）=lnx+x．
（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．参考答案：
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）导数值即为该点处的斜率，点斜式可得切线方程．
（2）分离变量，将原方程解的个数转化为直线y=m与函数的交点个数，再求导得函数g （x）的单调性与草图，即可求得实数m的取值范围．
【解答】解：（1）∵，k=f'（1）=2，
∴切线方程为y﹣1=2（x﹣1），
即y=2x﹣1
（2）由题意在区间[1，e2]内有唯一实数解
令，x∈[1，e2]，
∵，解得x=e，
∴函数g（x）在区间[1，e]上单调递增，在区间[e，e2]上单调递减
又g（1）=1，，
∴．
22. (本小题满分12分)已知椭圆C: 的离心率为，且过点（1，）.（1）求椭圆C的方程；
（2）设与圆相切的直线交椭圆C与A,B两点，求面积的最大值，及取得最大值时直线的方程.
参考答案：
（1）；（2）面积的最大值为，此时直线方程.
试题分析：第一问利用点在椭圆上，椭圆的离心率，结合参数的关系，从而求得，从而求得椭圆的方程，第二问分直线的斜率存在与不存在两种情况，当直线斜率不存在时，求得三角形的面积，当直线的斜率存在时，设出直线的方程，与椭圆方程联立，消元，根据韦达定理，确定出两根的关系，结合直线与圆相切，求得的关系，利用弦长公式，求得，利用基本不等式，求得弦长的最值，利用面积公式，求得面积的最值，从而求得直线的方程.
试题解析：（1）由题意可得：————————2分
——————————4分
（2）①当不存在时，，———5分
②当存在时，设直线为，
————6分
——————————7分
——————8分
———————10分
当且仅当即时等号成立————————11分
，
∴面积的最大值为，此时直线方程. ———————12分
考点：椭圆的方程，直线与椭圆的综合问题.。