2018-2018学年人教A版高中数学选修2-2课时跟踪检测(十) 定积分的概念 Word版含解析

课时跟踪检测（十） 定积分的概念
层级一 学业水平达标
1．定积分⎠⎛－22
f (x )d x (f (x )>0)的积分区间是( ) A ．[－2,2] B ．[0,2] C ．[－2,0]
D ．不确定
解析：选A 由定积分的概念得定积分⎠
⎛2－2f (x )d x 的积分区间是[－2,2]． 2．定积分⎠⎛13
(－3)d x 等于( ) A ．－6 B ．6 C ．－3
D ．3
解析：选A 由定积分的几何意义知，⎠⎛13
(－3)d x 表示由x ＝1，x ＝3，y ＝0及y ＝－3所围成的矩形面积的相反数，故⎠⎛13
(－3)d x ＝－6.
3．下列命题不正确的是( )
A ．若f (x )是连续的奇函数，则⎠
⎛a －a f (x )d x ＝0 B ．若f (x )是连续的偶函数，则⎠
⎛a －a
f (x )d x ＝2⎠⎛0a
f (x )d x
C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则⎠⎛a b
f (x )d x ＞0
D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且⎠⎛a b
f (x )d x ＞0，则f (x )在[a ，b ]上恒正
解析：选D A 项，因为f (x )是奇函数，图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 项正确；B 项，因为f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，故y 轴两侧的图象都在x 轴上方或下方且面积相等，故B 项正确；由定积分的几何意义知，C 项显然正确；D 项，f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )＞0的曲线围成的面积比f (x )＜0的曲线围成的面积大．
4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
，x ≥0，2x ，x <0，则⎠⎛1－1
f (x )d x 的值是( ) A.⎠⎛－11
x 2d x
B. ⎠⎛－11
2x
d x
C. ⎠⎛－11x 2d x ＋⎠
⎛1－12x d x D.⎠⎛－102x d x ＋⎠⎛10x 2d x
解析：选D 由定积分性质(3)求f (x )在区间[－1,1]上的定积分，可以通过求f (x )在区间[－1,0]与[0,1]上的定积分来实现，显然D 正确，故应选D.
5．下列各阴影部分的面积S 不可以用S ＝⎠⎛a b
[f (x )－g (x )]d x 求出的是( )
解析：选D 定积分S ＝⎠⎛a b
[f (x )－g (x )]d x 的几何意义是求函数f (x )与g (x )之间的阴影部分的面积，必须注意f (x )的图象要在g (x )的图象上方．对照各选项可知，D 项中f (x )的图象不全在g (x )的图象上方．故选D.
6．若⎠⎛a b
f (x )d x ＝3，⎠⎛a b
g (x )d x ＝2，则⎠⎛a b
[f (x )＋g (x )]d x ＝__________. 解析：⎠⎛a b
[f (x )＋g (x )]d x ＝⎠⎛a b
f (x )d x ＋⎠⎛a b
g (x )d x ＝3＋2＝5. 答案：5
7．若⎠⎛a
b
f (x )d x ＝1，⎠⎛a
b
g (x )d x ＝－3，则⎠⎛a
b
[2f (x )＋g (x )]d x ＝_______.
解析：⎠⎛a b [2f (x )＋g (x )]d x ＝2⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛a b
g (x )d x ＝2×1－3＝－1. 答案：－1
8．计算：⎠⎛04
16－x 2d x ＝____________.
解析：⎠⎛0416－x 2d x 表示以原点为圆心，半径为4的14圆的面积，∴⎠⎛0
4
16－x 2d x ＝14π·42＝4π.
答案：4π
9．化简下列各式，并画出各题所表示的图形的面积． (1)⎠⎛－3－2
x 2d x ＋⎠⎛1－2x 2d x ； (2)⎠⎛01
(1－x )d x ＋⎠⎛12
(x －1)d x .
解：(1)原式＝⎠⎛－31
x 2d x ，如图(1)所示．
(2)⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x ＝⎠⎛02
|1－x |d x ，如图(2)所示．
10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 5
，x ∈[－1，1]，x ，x ∈[1，π)，
sin x ，x ∈[π，3π]，
求f (x )在区间[－1,3π]上的定积分． 解：由定积分的几何意义知：
∵f (x )＝x 5是奇函数，故⎠
⎛1－1x 5
d x ＝0； ⎠⎛π3π
sin x d x ＝0(如图(1)所示)；
⎠⎛1
π
x d x ＝12(1＋π)(π－1)＝12
(π2－1)(如图(2)所示)．
∴⎠⎛－13π
f (x )d x ＝⎠⎛－11
x 5
d x ＋⎠⎛1π
x d x ＋⎠⎛－π3π
sin x d x
＝⎠⎛1π
x d x ＝12(π2－1)．
层级二 应试能力达标
1．设f (x )是[a ，b ]上的连续函数，则⎠⎛a b
f (x )d x －⎠⎛a b
f (t )d t 的值( ) A ．小于零 B ．等于零 C ．大于零
D ．不能确定
解析：选B ⎠⎛a b
f (x )d x 和⎠⎛a b
f (t )d t 都表示曲线y ＝f (x )与x ＝a ，x ＝b 及y ＝0围成的曲边梯形面积，不因曲线中变量字母不同而改变曲线的形状和位置．所以其值为0.
2．(陕西高考)如图所示，图中曲线方程为y ＝x 2－1，用定积分表示围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )
A.⎠⎛02
(x 2－1)d x B.⎠⎛01(x 2－1)d x C.⎠⎛02|x 2－1|d x
D.⎠⎛01
(x 2－1)d x ＋⎠⎛12
(x 2－1)d x
解析：选C 由定积分的几何意义和性质可得：图中围成封闭图形(阴影部分)的面积S
＝⎠⎛01
(1－x 2)d x ＋⎠⎛12
(x 2－1)d x ＝⎠⎛02
|x 2
－1|d x ，故选C.
3．设a ＝⎠⎛01x 13d x ，b ＝⎠⎛01x 2d x ，c ＝⎠⎛01
x 3
d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ＞a ＞b B ．a ＞b ＞c C ．a ＝b ＞c
D ．a ＞c ＞b
解析：选B 根据定积分的几何意义，易知⎠⎛01
x 3d x ＜⎠⎛01
x 2d x ＜⎠⎛01
x 13d x ，即a ＞b ＞c ，故选B.
4．已知t >0，若⎠⎛0t
(2x －2)d x ＝8，则t ＝( ) A ．1 B ．－2 C ．－2或4
D ．4
解析：选D 作出函数f (x )＝2x －2的图象与x 轴交于点A (1,0)，与y 轴交于点B (0，－2)，易求得S △OAB ＝1，
∵⎠⎛0t
(2x －2)d x ＝8，且⎠⎛01
(2x －2)d x ＝－1，∴t >1，
∴S △AEF ＝12|AE ||EF |＝1
2
×(t －1)(2t －2)＝(t －1)2＝9，∴t ＝4，故选D.
5．定积分⎠⎛01
(2＋1－x 2
)d x ＝________. 解析：原式＝⎠⎛01
2d x ＋⎠⎛01
1－x 2d x .
因为⎠⎛01
2d x ＝2，⎠⎛0
1
1－x 2d x ＝π4
， 所以⎠⎛0
1
(2＋1－x 2
)d x ＝2＋π4
. 答案：2＋π
4
6．已知f (x )是一次函数，其图象过点(3,4)且⎠⎛01
f (x )d x ＝1，则f (x )的解析式为______． 解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∵f (x )图象过(3,4)点，∴3a ＋b ＝4.
又⎠⎛01
f (x )d x ＝⎠⎛01
(ax ＋b )d x ＝a ⎠⎛01
x d x ＋⎠⎛0
1
b d x ＝12a ＋b ＝1. 解方程组⎩⎪⎨⎪
⎧
3a ＋b ＝4，12a ＋b ＝1，得⎩⎨⎧
a ＝6
5，b ＝25.
∴f (x )＝65x ＋2
5
.
答案：f (x )＝65x ＋2
5
7．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，用定积分法求汽车在这一分钟内行驶的路程． 解：依题意，汽车的速度v 与时间t 的函数关系式为
v (t )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
3
2
t ，0≤t <20，50－t ，20≤t <40，
10，40≤t ≤60.
所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为
s ＝∫600v (t )d t ＝∫2003
2
t d t ＋
⎠⎛2040(50－t )d t ＋⎠⎛4060
10d t
＝300＋400＋200＝900(
米)．
8．求证：1
2＜⎠⎛0
1x d x ＜1.
证明：如图，⎠⎛01
x d x 表示阴影部分面积，△OAB 的面积是1
2，正方形
OABC的面积是1，显然，△OAB的面积＜阴影部分面积＜正方形OABC的面积，即1
2＜⎠
⎛
1
x d x＜1.。