高考数学导与练一轮复习(浙江版)知识梳理第八章第一节向量及其运算

第一节向量及其运算
一、平面向量的有关概念
(1)定义
既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)表示方法
①用字母表示:如a,b,c等;
②用有向线段表示:有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.如AB,CD等.
(3)模
向量的大小叫做向量的模,记作|a|,|b|或|AB|,|CD|.
(1)仅从向量的模定义零向量和单位向量,它们方向不确定,因此解题时注意特殊性.
(2)按照方向相同或相反定义平行向量和共线向量,因此两个向量方向相同或相反即可判定是否为共线向量.
(1)零向量与任意向量为共线向量;
(2)0·a=0.
二、平面向量的线性运算
向
量
运
算
定义法则(或几何意义) 运算律
加法求两个向量和
的运算
交换律:
a+b=b+a;
结合律:
(a+b)+c=
a+(b+c)
减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的
差
数乘求实数λ与向
量a的积的运算
|λa|=|λ||a|.
当λ>0时,λa的方向与a的方向
相同;当λ<0时,λa的方向与a
的方向相反;当λ=0时,λa=0
λ(μ
a)=(λ
μ)a;
(λ+μ)a=
λa+μa;
λ(a+b)=λ
概念理解
(1)利用三角形法则进行加法运算时,要注意两向量的首尾相连,在几何图形中求和向量时,一般要进行向量的平移让两个向量首尾相连.
(2)减法运算必须要求两向量有相同起点,差向量即为从减数终点指向被减数终点的向量,如:AB AC= CB.
三、共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得b=λa. (1)向量的平行和直线平行不同,两向量所在直线重合也可以称平行向量.
(2)注意定理中a≠0的条件.
(1)若a,b,c均不为零向量,则平行具有传递性.
(2)在a(a≠0)方向上的单位向量:a
.
a
(3)利用共线向量定理证明三点共线的步骤:
第1步:三点构造两个向量;
第2步:证明两向量之间成倍数关系.
1.如图,e1,e2为互相垂直的单位向量,则向量ab可表示为( C )
(A)3e2e1
(B)2e14e2
(C)e13e2
(D)3e1e2
解析:由题图可知a=4e2,b=e1e2,
则ab=e13e2.
故选C.
1和
e2,且e1与e2不共线,AB=e1e2, BC=3e1+2e2,
CD=8e12e2,则下列三点共线的是( D )
(A)A,B,C (B)A,B,D (C)B,C,D (D)A,C,D
解析:AB=e1e2,AC=AB+ BC=4e1+e2,
因为AC=1
2
CD,且有公共点C,
所以A,C,D三点共线.故选D.
3.在△ABC中,点M,N满足AM=2MC,BN=NC.若MN=x AB+y AC,则x= ,y= .
解析:由题中条件得
MN=MC+CN=13AC+12CB=13AC+12(AB AC)=12AB16AC=x AB+y AC,
所以x=1
2,y=1
6
.
答案:1
21 6
考点一平面向量的基本概念
[例1] (1)下列有关向量相等的命题:
①若|a|=|b|,则a=b;
②若A,B,C,D是不共线的四点,则AB=DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;
③若a=b,b=c,则a=c;
④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是( )
(A)②③(B)①②(C)③④(D)②③④
(2)设a,b都是非零向量,则“a=2b”是“a
a =b
b
”成立的( )
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
(3)下列与共线向量有关的命题:
①相反向量就是方向相反的向量;
②若a与b同向,且|a|>|b|,则a>b;
③λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线;
④两向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件.
其中错误命题的序号为.(填序号)
解析:(1)①不正确.两个向量的长度相等,它们的方向不一定相同.
②AB=DC,所以|AB|=|DC|且AB∥DC,
又A,B,C,D是不共线的四点,
所以四边形ABCD为平行四边形;
反之,若四边形ABCD为平行四边形,
则AB∥DC且|AB|=|DC|,AB与DC方向相同,
因此,AB= DC.
③正确,因为a=b,所以a,b的长度相等且方向相同,又b=c,所以b,c的长度相等且方向相同,
所以a,c的长度相等且方向相同,故a=c.
④∥b且|a|=|b|,不一定a=b,也可以是a=b.故|a|=|b|且a∥b不是a=b 的充要条件,而是必要不充分条件.
综上所述,正确命题的序号是②③.
故选A.
解析:(2)因为a
a =b
b
,则向量a与向量b方向相同,但它们的模没有
关系.
因此“a=2b”是“a
a =b
b
”成立的充分不必要条件.故选A.
解析:(3)①不正确.相反向量满足方向相反,长度相等.②不正确,两向量不能比较大小;③λ=μ=0时,a与b可能不共线;④正确.
答案:(1)A (2)A (3)①②③
(1)相等向量具有传递性,共线向量不具有传递性,只有当非零向量之间才具有传递性.
(2)注意0的特殊性,验证命题为假命题时,通常采用举反例的方式,在向量概念问题的判定上,反例通常可以选取0.
(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量相等.
下列命题中正确的个数为( B )
①向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;
②若向量a与b满足a+b=0,则a与b共线;
③若向量a与b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等;
④设e为单位向量,若a与e平行,则a=|e|·a.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:①不正确,若向量a与向量b中有一个为零向量,则两个向量方向不一定相同或相反;
②正确;
③不正确,因为|a+b|≤|a|+|b|,所以|a+b|与|a|+|b|不一定相等;
④正确,因为|e|=1,所以a=|e|a成立.
故选B.
考点二平面向量的线性运算
[例2] 下列各式不能化简为PQ的是( )
(A)AB+(PA+ BQ)
(B)(AB+PC)+(BA QC)
(C)QC QP+CQ
(D) PA+AB BQ
解析:选项A,AB+(PA+BQ)= AB+BQ+PA=AQ+PA=PQ;
选项B,( AB+PC)+(BA QC)=(AB+BA)+(PC QC)=PQ;
选项C,QC QP+CQ=QC+CQ QP= PQ;
选项D,PA+ AB BQ=PB BQ得不到PQ.
故选D.
三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法,在运算时,要注意两种法则的适用条件.
在三棱锥OABC中,若D为BC的中点,则AD等于( C )
(A)1
OA+12OC OB
2
(B)1
OA+12OB+OC
2
(C)1
OB+12OC OA
2
(D)1
OB+12OC+OA
2
解析:如图根据向量加法三角形法则,
AD=12(AC+AB)=12(OC OA+OB OA),
所以AD=1
OC+12OB OA.故选C.
2
考点三共线向量定理及应用
[例3] 设两个非零向量a与b不共线, (1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(ab),
求证:A,B,D三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb同向. (1)证明:因为AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(ab), 所以BD=BC+CD
=2a+8b+3(ab)
=2a+8b+3a3b
=5(a+b)=5AB.
所以AB,BD共线,
又因为它们有公共点B,
所以A,B,D三点共线.
(2)解:因为ka+b与a+kb同向,
所以存在实数λ(λ>0),使ka+b=λ(a+kb), 即ka+b=λa+λkb.所以(kλ)a=(λk1)b.
因为a,b是不共线的两个非零向量,
1,
10,k k λλ-=⎧⎨-=⎩解得1,1k λ=⎧⎨=⎩或1,1,k λ=-⎧⎨
=-⎩
又因为λ>0,所以k=1.
(1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共
线与三点共线的区别:只有两向量有公共点且共线时,才能得出三点共线.
(2)a 与b 共线是指存在不全为零的λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0,若λ1a+λ
2
b=0,当且仅当λ1=λ2=0时成立,则a 与b 不共线.
1.设a,b 是不共线的两个非零向量,若
OA
=ka+12b,
OB =4a+5b,OC =ka+10b,且点
A,B,C 三点共线,则k= .
解析:AB =OB OA =(4k)a7b,
CB =OB OC =(4+k)a5b,
因为A,B,C 三点共线,所以44k k -+=75--,k=23
. 答案:23
△ABC 所在平面内有一点P,如果PA +PB +PC =AB ,则△PAB 与△ABC 的面积之比是 . 解析:因为PA +PB +PC =AB =PB PA , 所以2PA +PC =0,
PC =2PA =2AP ,
所以点P 是线段AC 的一个靠近点A 的三等分点. 所以△PAB 与△ABC 的面积之比是1∶3. 答案:1∶3
类型一 平面向量的基本概念
1.以下给出了4个命题:
(1)两个长度相等的向量一定相等;
(2)相等的向量起点必相同;
(3)若a·b=a·c,且a≠0,则b=c;
(4)若向量a的模小于b的模,则a<b.
其中正确命题共有( D )
(A)3个(B)2个(C)1个(D)0个
解析:长度相等方向相同的向量是相等向量,故(1)错误;根据相等向量的定义知,相等向量起点不一定相同,故(2)错误;因为a·b=a·c,所以a·(bc)=0,又因为a≠0,所以必有a⊥(bc),而b=c不一定成立,故(3)错误;向量不能比较大小,故(4)错误.故选D.
2.如图,在正方形ABCD中,M是BC的中点,若AC=λAM+μBD (λ,μ∈R),则λ+μ等于( B )
(A)4
3
(B)5
3
(C)15
8
(D)2
解析:根据向量的平行四边形加法法则,AC=AB+AD,
又根据向量的三角形加法法则,
AM=AB+AM=AB+12BC=AB+12AD,BD=AD AB,所以AC=λAM+μBD=
λ(AB+1
AD0+μ(AD AB)=(λμ)AB+(12λ+μ)AD,
2
所以
1, 1
1, 2
λμ
λμ
-=
⎧
⎪
⎨
+=⎪⎩
解得
4
,
3
1
,
3
λ
μ
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
所以λ+μ=5
3
.
故选B.
类型二平面向量的线性运算
3.在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E是线段OD的中点,AE 的延长线与CD交于点F,若AC=a,BD=b,则AF等于( B )
(A)1
4a+1
2
b (B)2
3
a+1
3
b
(C)1
2a+1
4
b (D)1
3
a+2
3
b
解析:AF=AD+DF,DE∶BE=1∶3=DF∶AB, 所以DF=1
3
AB,
所以AF=1
2a+1
2
b+1
3
(1
2
a1
2
b)=2
3
a+1
3
b.
故选B.
△ABC中,G为△ABC的重心,D在边AC上,且CD=3DA,则( B ) (A)GD=1
3
AB+712AC
(B)GD=1
3AB
1
12
AC
(C)GD=1
3
AB+712AC
(D)GD=1
3
AB+112AC
解析:如图所示,GD=GA+AD, AG=23×12(AB+AC)
=1
3
(AB+AC),
AD=14AC.
所以GD=(1
3
AB+13AC)+14AC
=1 3AB
1
12
AC.
故选B.
5.任意四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,则EF= (用向量AB,DC表示).
解析:因为EF=EA+AB+BF,
EF=ED+DC+CF,
所以2EF=AB+DC+BF+CF+EA+ED=AB+DC,
所以EF=1
2
(AB+DC).
答案:1
2
(AB+DC)
类型三共线向量定理
△ABC内一点,且AO=1
2
(OB+OC),AD=t AC,若B,O,D三点共线,则t等于( B )
(A)1
4(B)1
3
(C)1
2
(D)2
3
解析:设E是BC边的中点, 则1
2
(OB+OC)=OE,
由题意得AO=OE,
所以AO=1
2AE=14(AB+AC)=14AB+14AD
t
,
又因为B,O,D三点共线,
所以1
4+1
4t
=1,解得t=1
3
,
故选B.
△ABC所在平面内一点,边BC的中点为D,若2PD=(1λ)
PA+CB,其中λ∈R,则P点一定在( C )
(A)AB边所在的直线上(B)BC边所在的直线上
(C)AC边所在的直线上(D)△ABC的内部
解析:因为D为边BC的中点,
所以2PD=PB+PC
=(1λ)PA+CB
=(1λ)PA+PB PC,
即2PC=(1λ)PA,
故A,P,C三点共线,
即点P在AC边所在的直线上.
故选C.
8.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若OA4OB+3OC=0,则AB
等于
BC
( A )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析:由OA4OB+3OC=0,
得OA OB=3(OB OC),即BA=3CB,
所以AB=3BC,
所以|AB|=3|BC|,
所以AB
=3.故选A.
BC。