2021届高考数学统考第二轮专题复习微专题一数列与其他知识的综合学案理含解析

微专题一数列与其他知识的综合
微点1数列与新信息的综合
含“新信息”背景的数列问题,常常有图表迁移、新运算、新概念、新情境等.此类问题有以下几个难点:一是对于新的概念与规则,学生在处理时会有一个熟悉的过程,不易抓住信息的关键部分并用于解题.二是学生不易发现每一问所指向的知识点,传统题目通常在问法上就直接表明该用哪些知识进行处理,例如“求通项”“求和”,但因为新信息问题与新信息相关,所以要运用的知识隐藏得较深,不易让学生找到解题的方向.三是此类问题在设计时通常注重几问之间的联系,即前面问题的处理是为了给最后一问做好铺垫.
1(1)[2020·全国卷Ⅱ]0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a1a2…a n…满足a i∈{0,1}(i=1,2,…),且存在正整数m,使得a i+m=a i(i=1,2,…)成立,则称其为0-1周期序列,并称满足a i+m=a i(i=1,2,…)的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列a1a2…
a n…,C(k)=1
m ∑
i=1
m
a i a i+k(k=1,2,…,m-1)是描述其性质的重要指标.下列周期为5的0-1序列中,
满足C(k)≤1
5
(k=1,2,3,4)的序列是()
A.11010…
B.11011…
C.10001…
D.11001…
(2)图W1-1是某省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图.
若该省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例数按日期顺序排列构成数列{a n},{a n}的前n项和为S n,则下列说法中正确的是()
图W1-1
A.数列{a n}是递增数列
B.数列{S n}是递增数列
C.数列{a n}的最大项是a11
D.数列{S n}的最大项是S11
微点2数列与函数的综合
数列与函数的综合问题的解题策略:
(1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、图像研究数列问题;
(2)已知数列条件,解决函数问题,一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.
另外要注意数学思想方法的应用,如函数与方程思想等.
2(1)若数列{a n}为等差数列,{b n}为等比数列,且满足a1+a2020=27,b1·b2020=2,函数f(x)满足
f(x+2)=-f(x)且f(x)=e x,x∈[0,2],则f a1010+a1011
1+b1010b1011
=()
A.e
B.e2
C.e-1
D.e9
(2)已知数列{a n}满足对任意n∈N*,a n∈0,π
2,且a1=π
3
,f(a n+1)=√f'(a n),其中f(x)=tan x,则使得
sin a1·sin a2·…·sin a k<1
10
成立的最小正整数k为.
微点3数列与解析几何的综合
数列与解析几何的综合,主要从探究数列递推关系开始,其步骤是:①探究递推公式;②研究数列的前n项和或通项公式.因此,其突破口是探究点与点的关系,挖掘数列的递推关系. 3两光滑的曲线相切,那么它们在公共点处的切线相同.如图W1-2所示,一列圆
C n:x2+(y-a n)2=r n2(a n>0,r n>0,n=1,2,…)逐个外切,且均与曲线y=x2相切,若r1=1,则
a1= ,r n= .
图W1-2
微点4 数列与平面向量的综合
4(1)如图W1-3,已知点E 是平行四边形的边AB 的中点,F n (n ∈N *)为边BC 上的一列点,
连接AF n 交BD 于G n ,点G n 满足G n D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a n+1·G n A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -2(2a n +3)·G n E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中数列{a n }是首项为1的正项数列,S n 是数列{a n }的前n 项和,则下列结论正确的是 ( )
图W1-3
A .a 3=15
B .数列{a n +3}是等比数列
C .a n =4n-3
D .S n =2n+1-n-2
(2)设S n ,T n 分别为等差数列{a n },{b n }的前n 项和,且S
n T n =
3n+24n+5
.设点A 是直线BC 外一点,点P 是
直线BC 上一点,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a 1+a 4b
3
·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ的值为 ( ) A .28
25
B .-3
25
C .3
28
D .-18
25
1.已知函数f (x )={1-4x,x ≤0,
1+log 3x,x >0,在等差数列{a n }中,a 7=7,a 9=11,则f (a 8)= ( )
A .1
B .2
C .3
D .4
2.若数列{a n}的首项a1=2,且点(a n,a n+1)在直线x-y=2上,则数列{a n}的前n项和S n等于
()
A.3n-1
B.-n2+3n
C.3n+1
D.n2-3n
3.在数列{a n}中,a1=1,若OP⃗⃗⃗⃗⃗ =(a n+1,-1),OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,a n+2),且OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,S n为数列{a n}的前n项和,令
b n=1
S n+n
,若数列{b n}的前n项和为T n,则T n=()
A.n
n+1B.n+1
n+2
C.n+2
n+3D.n+3
n+4
4.设函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对于任意正数x,y均有f(xy)=f(x)+f(y),已知
f(2)=1,若一个各项均为正数的数列{a n}满足f(S n)=f(a n)+f(a n+1)-1(n∈N*),其中S n是数列{a n}
的前n项和,令b n=1
a n a n+1
,数列{b n}的前n项和为T n,则T2020的值为()
A.2020
B.1
2020
C.2019
2020D.2020
2021
5.若数列{a n}满足:存在正整数T,对于任意正整数n都有a n+T=a n成立,则称数列{a n}为周期数
列,周期为T.已知数列{a n}满足a1=m(m>0),a n+1={a n-1,a n>1,
1
a n
,0<a n≤1,则下列结论中错误的是
()
A.若a3=4,则m可以取3个不同的值
B.若m=√2,则数列{a n}是周期为3的数列
C.对于任意的T∈N*且T≥2,存在m>1,使得{a n}是周期为T的数列
D.存在m∈Q且m≥2,使得数列{a n}是周期数列
6.对于数列{a n },令P n =1
n (a 1+2a 2+…+2n-1a n )(n ∈N *),则称{P n }为{a n }的“伴随数列”.已知数列{a n }的“伴随数列”{P n }的通项公式为P n =2n+1(n ∈N *),记数列{a n -kn }的前n 项和为S n ,若S n ≤S 4对任意的正整数n 恒成立,则实数k 的取值范围为 .
7.我们把一系列向量a i (i=1,2,…,n )按次序排列成一列,称为向量列,记作{a n }.已知向量列{a n }满足:a 1=(1,1),a n =(x n ,y n )=1
2
(x n-1-y n-1,x n-1+y n-1)(n ≥2),设θn 表示向量a n-1与a n 的夹角,若b n =n 2
π
θn ,
对于任意正整数n ,不等式√1
b n+1
+√1
b
n+2
+…+√1b 2n
>1
2log a (1-2a )恒成立,则实数a 的取值范围
是 .
8.牛顿迭代法(Newton'smethod)又称为牛顿-拉夫逊方法(Newton-Raphsonmethod),是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法.如图W1-4,设r 是f (x )=0的根,选取x 0作为r 的初始近似值,过点(x 0,f (x 0))作曲线y=f (x )的切线l ,l 与x 轴的交点的横坐标x 1=x 0-f(x 0)
f'(x 0
)(f'(x 0)≠0),
称x 1是r 的一次近似值,过点(x 1,f (x 1))作曲线y=f (x )的切线,则该切线与x 轴的交点的横坐标为x 2=x 1-f(x 1)
f'(x 1
)(f'(x 1)≠0),称x 2是r 的二次近似值.重复以上过程,得到r 的近似值序列.请你写出
r 的n+1次近似值与r 的n 次近似值的关系式 .若f (x )=x 2-2,取x 0=1作为r 的初始近似值,试求f (x )=0的一个根√2的三次近似值 (请用分数作答).
图W1-4
微专题一数列与其他知识的综合
微点1
例1(1)C(2)C[解析](1)对于A选项,C(1)=1
5∑
i=1
5
a i a i+1=1
5
×(1+0+0+0+0)=1
5
,
C(2)=1
5∑
i=1
5
a i a i+2=1
5
×(0+1+0+1+0)=2
5
>1
5
,不满足题意;
对于B选项,C(1)=1
5∑
i=1
5
a i a i+1=1
5
×(1+0+0+1+1)=3
5
>1
5
,不满足题意;
对于C选项,C(1)=1
5∑
i=1
5
a i a i+1=1
5
×(0+0+0+0+1)=1
5
,
C(2)=1
5∑
i=1
5
a i a i+2=1
5
×(0+0+0+0+0)=0,
C(3)=1
5∑
i=1
5
a i a i+3=1
5
×(0+0+0+0+0)=0,
C(4)=1
5∑
i=1
5
a i a i+4=1
5
×(1+0+0+0+0)=1
5
,满足题意;
对于D选项,C(1)=1
5∑
i=1
5
a i a i+1=1
5
×(1+0+0+0+1)=2
5
>1
5
,不满足题意.故选C.
(2)因为1月28日的新增确诊病例数小于1月27日的新增确诊病例数,即a7>a8,所以{a n}不是递增数列,所以选项A错误;因为2月23日新增确诊病例数为0,所以S33=S34,所以数列{S n}不是递增数列,所以选项B错误;因为1月31日新增确诊病例数最多,从1月21日算起,1月31日是第11天,所以数列{a n}的最大项是a11,所以选项C正确;数列{S n}的最大项是S35,所以选项D错误.故选C.
微点2
例2 (1)A (2)298 [解析](1)因为数列{a n }为等差数列,且a 1+a 2020=27,所以a 1010+a 1011=27.因为{b n }为等比数列,且b 1·b 2020=2,所以b 1010b 1011=2,所以
a 1010+a 10111+
b 1010b 1011
=27
3=9.因为f (x+2)=-f (x ),
所以f (x+4)=-f (x+2)=f (x ),所以函数f (x )的周期为4,又f (x )=e x ,x ∈[0,2],所以
f (9)=f (2×4+1)=f (1)=e,即f
a 1010+a 10111+
b 1010b 1011=e .故选A .
(2)f (x )=tan x=sinx
cosx ,f'(x )=
cos 2x+sin 2x
cos 2x
=1+tan 2x.
∵f (a n+1)=√f'(a n ),∴tan a n+1=√12a n
即tan 2a n+1-tan 2a n =1,
∴数列{tan 2a n }是首项为3,公差为1的等差数列, ∴tan a n =√n +2. ∵a n ∈0,π
2,∴sin a n =
√n+2
√n+3
, ∴sin a 1·sin a 2·…·sin a k =√3
4×4
5×5
6×…×k+2
k+3=√3
k+3,由√3
k+3<1
10,
解得k>297,
∴使得sin a 1·sin a 2·…·sin a k <1
10成立的最小正整数k 为298.
微点3
例3
54
n [解析]当r 1=1时,圆C 1:x 2+(y-a 1)2=1,将圆C 1的方程与y=x 2联立,消去x 得
y 2-(2a 1-1)y+a 12-1=0,则Δ=(2a 1-1)2-4(a 12
-1)=0,解得a 1=5
4.由图可知当n ≥2时,a n =a n-1+r n-1+r n ①.将x 2+(y-a n )2=r n 2与y=x 2联立,消去x 得y 2-(2a n -1)y+a n 2-r n 2=0,则Δ=(2a n -1)2-4(a n 2-r n 2)=0,整理得a n =r n 2+1
4,代入①得r n 2+1
4=r n -12+1
4+r n-1+r n ,整理得r n -r n-1=1,则r n =r 1+(n-1)=n.
微点4
例4 (1)B (2)B [解析](1)∵E 为AB 的中点,∴2G n E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =G n A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +G n B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴G n B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-G n A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2G n E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .又∵D ,G n ,B 三点共线,∴G n D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λG n B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-λG n A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2λG n E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .又
∵G n D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a n+1·G n A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -2(2a n +3)·G n E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴{
-λ=a n+1,
2λ=-2(2a n +3),
可得a n+1=2a n +3,∴a n+1+3=2(a n +3),∴数列
{a n +3}是等比数列.又∵a 1=1,∴a n +3=(1+3)×2n-1,∴a n =2n+1-3,∴a 3=13,S n =4(1-2n )1-2-3n=2n+2-3n-4.
故选B .
(2)由题知S n ,T n 分别为等差数列{a n },{b n }的前n 项和,且S n T n
=3n+2
4n+5,不妨取
S n =3n 2+2n ,T n =4n 2+5n ,当n=1时,a 1=S 1=5,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=6n-1,验证得当n=1时上式
成立,所以数列{a n }的通项公式为a n =6n-1,同理可得,数列{b n }的通项公式为b n =8n+1, 则
a 1+a 4
b 3
=2825.由点P 在直线BC 上,可设BP
⃗⃗⃗⃗⃗ =k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +k (AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1-k )AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +k AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2825
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以1-k=2825
,所以λ=k=-325
.故选B . 【强化训练】
1.C [解析]在等差数列{a n }中,a 7=7,a 9=11,可得a 8=7+112
=9,所以f (a 8)=f (9)=1+log 39=3.故选
C .
2.B [解析]由点(a n ,a n+1)在直线x-y=2上,可得a n -a n+1=2,即a n+1-a n =-2,所以数列{a n }是首项为2,公差为-2的等差数列,则S n =2n+1
2n (n-1)·(-2)=3n-n 2.故选B .
3.A [解析]∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a n+1,-1),OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,a n +2),且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OQ
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴a n+1=a n +2,又a 1=1,∴数列{a n }是以1为首项,2为公差的等差数列, ∴a n =1+2×(n-1)=2n-1,∴S n =
(a 1+a n )n
2
=n 2,∴b n =1
S
n
+n =1n 2+n =1n -1n+1
,∴T n =11-1
2
+12-1
3
+13-14
+…+
1
n -1
n+1
=1-1
n+1=n
n+1.故选A .
4.D [解析]由题意可知当n ∈N *时,f (S n )+1=f (a n )+f (a n +1),即f (S n )+f (2)=f (a n )+f (a n +1),故
f (2S n )=f [a n ·(a n +1)],即2S n =a n ·(a n +1)=a n 2
+a n .当n=1时,2a 1=2S 1=a 1·(a 1+1),得a 1=1.当n ≥2时,由2S n =a n 2+a n ,可得2S n-1=a n -12+a n-1,两式相减,可得2a n =2S n -2S n-1=a n 2+a n -a n -12-a n-1,整理得
(a n +a n-1)(a n -a n-1-1)=0,∵a n +a n-1>0,∴a n -a n-1-1=0,即a n -a n-1=1,故数列{a n }是以1为首项,1为公
差的等差数列,∴a n =1+1·(n-1)=n ,n ∈N *,∴b n =1
a
n a n+1
=1n(n+1),∴T 2020=b 1+b 2+…+b 2020=11×2+1
2×3+…
+1
2020×2021=1-12+12-1
3+…+1
2020-1
2021=1-1
2021=2020
2021.故选D .
5.D [解析]对于A,若a 3=4,因为a n+1={a n -1,a n >1,
1a n
,0<a n
≤1,所以当a 2>1时,a 2-1=a 3=4,解得a 2=5,
当a 1>1时,a 1-1=a 2=5,解得a 1=6,当0<a 1≤1时,1a 1
=a 2=5,解得a 1=15;当0<a 2≤1时,1
a 2
=a 3=4,解
得a 2=14
,当a 1>1时,a 1-1=a 2=14
,解得a 1=54
,当0<a 1≤1时,1a 1
=a 2=1
4
,解得a 1=4,不合题意,舍去.故m
可以取3个不同的值,故A 中结论正确.对于B,若m=√2,则
a 2=a 1-1=√2-1,a 3=1
a 2
=√2+1,a 4=a 3-1=√2,…,所以a n+3=a n ,则数列{a n }是周期为3的数列,故B
中结论正确.对于C,D,先考虑数列{a n }的周期性.如果a 1=k+a ,k ∈N *,0<a ≤1,那么
a 2=k-1+a ,a 3=k-2+a ,…,a k+1=a.要使得数列{a n }有周期性,只需要a k+2=1
a =a 1=k+a.因为方程1
a
=k+a ,即a 2+ka-1=0的正根为a=-k+√k 2+4
2
∈(0,1),所以a 一定存在,从而存在m=k+a ,使得数列
{a n }的周期为k+1.
对于C,为了使数列的周期为T ,只需取k=T-1≥1,a=
-k+√k 2+4
2
即可,此时m>1,故C 中结论正确.
对于D,如果存在这样的m ,那么由前面的分析知必有m=k+a ,k ∈N *,0<a ≤1,且a=
-k+√k 2+4
2
∈Q ,
于是有√k 2+4∈Q ,这是不可能的,故D 中结论错误. 6.
125,52
[解析]由题意得a 1+2a 2+…+2n-1a n =n ·2n+1①,所以a 1=1×22=4,a 1+2a 2+…
+2n-2a n-1=(n-1)·2n (n ≥2)②,由①-②得2n-1a n =n ·2n+1-(n-1)·2n (n ≥2),所以a n =2n+2(n ≥2),当n=1
时也满足上式,所以a n =2n+2(n ∈N *).因此数列{a n -kn }的前n 项和
S n =12n (4-k+2n+2-kn )=1
2n (6-k+2n-kn ),因为S n ≤S 4对任意正整数n 恒成立,所以
{2-k <0,
4(2-k)+2≥0,5(2-k)+2≤0,所以125≤k ≤5
2
.
7.(0,√2-1) [解析]因为cos θn =a n -1·a n
|a
n -1||a n
|
=(x ,y )·(12(x -y ),12
(x +y ))
√x n -1+y n -1×√[2
(x n -1-y n -1)] 2+[2
(x n -1+y n -1)] 2=
12x 2+1
2y 2√x n -1+y n -1×√2
x n -1+2
y n -1
=√22,所以θn =π
4,故
b n =n 2
4,√1
b
n+1
+√1
b
n+2
+…+√1b 2n
=2n+1+2n+2+…+22n .令f (n )=2n+1+2n+2+…+2
2n ,则f (n+1)-f (n )=
2
n+2+2
n+3
+…+2
2(n+1)-2n+1+2n+2
+…+22n =22n+1-2
2n+2>0,所以f (n )单调递增,所以f (n )min =f (1)=1,则1>12
log a (1-2a ).因为a>0且a ≠1,1-2a>0,所以0<a<12
,则1-2a>a 2,解得-1-√2<a<-1+√2,故实数a 的取值范围为(0,√2-1). 8.x n+1=x n -f(x n )f'(x n
)(f'(x n )≠0)
577
408
[解析]由题设可得x 1=x 0-f(x 0)f'(x 0
)(f'(x 0)≠0),x 2=x 1-f(x 1)
f'(x 1
)(f'(x 1)≠0),x 3=x 2-f(x 2)f'(x 2
)(f'(x 2)≠0),依次类推,则可得x n+1=x n -f(x n )
f'(x n
),其中f'(x n )≠0.因为f (x )=x 2-2,所以
x n+1=x n -x n 2-22x n
=x n
2+2
2x n
(x n ≠0),
因为x 0=1,故x 1=32
,x 2=1712
,x 3=
577408
.。