广东省天河地区高考数学一轮复习试题精选统计与概率03

统计与概率03
21.（本小题满分13分）
为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重
数据（单位：千克）全部介于45至70之间．将数据分成以下5组：第1组[4550)，
，第2组[5055)，
，第3组[5560)，，第4组[6065)，，第5组[6570]，，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生做初检． （Ⅰ）求每组抽取的学生人数；
（Ⅱ）若从6名学生中再次随机抽取2名学生进行复检，求这2名学生不在同一组的概率．
【答案】（Ⅰ）解：由频率分布直方图知，第3，4，5组的学生人数之比为3:2:1．…2分
所以，每组抽取的人数分别为： 第3组：
3636⨯=；第4组：2626⨯=；第5组：1
616
⨯=． 所以从3，4，5组应依次抽取3名学生，2名学生，1名学生． ………………5分
（Ⅱ）解：记第3组的3位同学为1A ，2A ，3A ；第4组的2位同学为1B ，2B ；第5组的1位同学为C ． ………………6分 则从6位同学中随机抽取2位同学所有可能的情形为：
121311121232122231(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),
A A A A A
B A B A
C A A A B A B A C A B 3231212(,),(,),(,),(,),(,)A B A C B B B C B C ，共15种可能． ………………10分
其中，111212122231323(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),A B A B A C A B A B A C A B A B A C
12(,),(,)B C B C 这11种情形符合2名学生不在同一组的要求． ………………12分
故所求概率为11
15
P =． ………………13分 22.（本小题共13分）
一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1､2､3､4．现从盒子
中随机抽取卡片．
（Ⅰ）若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率；
（Ⅱ）若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率．
.
【答案】（Ⅰ）设A表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于7”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)．
其中数字之和大于7的是(1,3,4)，(2,3,4)，
所以
1
()
2
P A=．…….……6分
（Ⅱ）设B表示事件“至少一次抽到3”，
第一次抽1张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有：
(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)
(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)，共16个基本结果．事件B包含的基本结果有(1,3)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,3)，共7个基本结果．
所以所求事件的概率为
7
()
16
P B=．…………………13分
23.（本小题满分13分）
某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图（如右）.
（Ⅰ）根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定；
（Ⅱ）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取两件样品重量之差不超过2克的概率．
【答案】（Ⅰ）设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为X 甲 、X 乙，方差分别为2s 甲 、2
s 乙，
则122114113111111107
1136
X +++++=
=甲， ……………………1分
1241101121151081091136
X +++++==乙， ……………………2分
()()()2222
11221131141131131136s ⎡=-+-+-⎣
甲
()()()222
111113111113107113⎤+-+-+-⎦
21=， ……………………4分 ()()()2222
11241131101131121136s ⎡=-+-+-⎣
乙
()(
)(
)2
2
2
115113108
113109
113
⎤+-+-+-⎦
29.33=， ……………………6分
由于 22
s s <甲乙
，所以 甲车间的产品的重量相对稳定；……………………7分 （Ⅱ）从乙车间６件样品中随机抽取两件，结果共有15个：
()()()()()124,110,124,112,124,115,124,108,124,109, ()()()()()110,112,110,115,110,108,110,109,112,115,
()()()()()112,108,112,109,115,108,115,109,108,109． ………………9分
设所抽取两件样品重量之差不超过２克的事件为A ，则事件A 共有4个结果：
()()()()110,112,110,108,110,109,108,109． ………………11分
所以 ()4
15
P A =
． ………………13分 24.（本小题满分13分）
以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学在某次数学测验中的成绩，甲组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示. 甲组 乙组 6 X
8 7
4 1 9 0 0 3
（Ⅰ）如果甲组同学与乙组同学的平均成绩一样，求X 及甲组同学数学成绩的方差； （Ⅱ）如果X=7，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名，求这两名同学的数学成绩之和大于
180
的概率.（注：方差2
222
121=[()()...()],n s x x x x x x n
-+-++-其中
12,,...,.n x x x x 为的平均数）
【答案】 解：（I ）乙组同学的平均成绩为87909093
904
+++=，甲组同学的平均成
绩为90，
所以80869194
90,9.4
X X ++++==…………………………………2分
甲
组
同
学
数
学
成
绩
的
方
差
为
22222
8690)(8990)(9190)(9490)17=42
s -+-+-+-=甲
（…………… 6分
(II)设甲组成绩为86,87,91,94的同学分别为1234,,,,a a a a 乙组成绩为87,90,90,93的同学分别为1234,,,,b b b b 则所有的事件构成的基本事件空间为：
11121314212223243132{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b
333441424344(,),(,),(,),(,),(,),(,)}.a b a b a b a b a b a b 共16个基本事件.
设事件A =“这两名同学的数学成绩之和大于180”，则事件A 包含的基本事件的空间为{32333441424344(,),(,)(,),(,),(,),(,),(,)}.a b a b a b a b a b a b a b 共7个基本事件，
7
()16
P A =
………………………………………………………………………….13分 25.（本小题满分13分）
某汽车租赁公司为了调查A ，B 两种车型的出租情况，现随机抽取这两种车型各50辆，分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表:
A 型车
B 型车
（I ） 试根据上面的统计数据，判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系（只
需写出结果）；
（Ⅱ）现从出租天数为3天的汽车（仅限A ，B 两种车型）中随机抽取一辆，试估计这辆汽
车是A 型车的概率；
（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据
所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.
【答案】解：（I ）由数据的离散程度可以看出，B 型车在本星期内出租天数的方差较大
………………3分
（Ⅱ）这辆汽车是A 类型车的概率约为
3A 33
3A,B 10313
==+出租天数为天的型车辆数出租天数为天的型车辆数总和
这辆汽车是A 类型车的概率为
3
13
………………7分 （Ⅲ）50辆A 类型车出租的天数的平均数为
334305156775
4.6250A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
= ………………9分
50辆B 类型车出租的天数的平均数为
31041051561075
4.850
B x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
= ………………11分
答案一：一辆A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B 类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，选择B 类型的出租车的利润较大,应该购买B 型车
………………13分
答案二：一辆A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B 类车型一个星期出租天数的平均值为 4.8，而B 型车出租天数的方差较大，所以选择A 型车 ………………13分 26.本小题满分13分）
某中学举行了一次“环保知识竞赛”， 全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
（Ⅰ）写出,,,a b x y 的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学
到广场参加环保知识的志愿宣传活动.
（ⅰ）求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率； （ⅱ）求所抽取的2名同学来自同一组的概率.
【答案】解：（Ⅰ）由题意可知，16,0.04,0.032,0.004a b x y ====．………4分 （Ⅱ）（ⅰ）由题意可知，第4组共有4人，记为,,,A B C D ，第5组共有2人，记为,X Y ． 从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有
,,,,,,,AB AC AD BC BD CD AX AY ，,,,,,,BX BY CX CY DX DY XY
共15种情况．…………………………………………………………………………6分 设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E ， …………7分 有,AX AY ，,,,,,,BX BY CX CY DX DY XY 共9种情况． ……………8分 所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是93
()155
P E ==． 答：随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率
3
5
. ……………10分 （ⅱ）设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件F ，有,,,,,,A B A C A D B C B D C D X Y 共7种情况． …………………………………………………………………………11分 所以7
()15
P F =
组别 分组 频数
频率
第1组 [50，60） 8
0.16 第2组 [60，70） a
▓
第3组
[70，80）
20
0.40 第4组 [80，90） ▓ 0.08
第5组
[90，100]
2 b
合计
▓
▓
频率分布表
频率
频率分布直方图
7 15．………………………………13分
答：随机抽取的2名同学来自同一组的概率是。