湖南省长沙市望城区第二中学2025届高三上学期开学考试数学试题

湖南省长沙市望城区第二中学2025届高三上学期开学考试数学
试题
一、单选题
1．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点()1,2-，则sin α的值为（ ）
A B ．C D ．
2．已知向量a r
在b r
b r
在a r
方向上的投影向量的模为1，
且()()
23a b a b +⊥-r r r r ，则,a b =r
r （ ）
A ．30o
B ．45o
C ．60o
D ．135o
3．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP u u u v ＝2PC u u u v ，点Q 是AC 的中点，若PA u u u v
＝(4,3)，PQ u u u v ＝
(1,5)，则BC u u u v
等于( ) A ．(－2,7) B ．(－6,21) C ．(2，－7)
D ．(6，－21)
4．函数()f x 的定义域为R ，且()π012f f ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，若()()()2cos f x y f x y f x y ++-=⋅，则
函数()f x （ ） A ．以π为周期
B ．最大值是1
C ．π,04⎛⎫
⎪⎝⎭
是函数的一个对称中心
D ．既不是奇函数也不是偶函数
5．如图，在ABC V 中， D 是AB 边上的点，且满足3AD BD =， 2AD AC BD BC +=+=，
CD cos A =
A ．13
B C ．14
D ．0
6．已知函数()ln e x
ax
f x x x =+-有唯一的极值点t ，则()f t 的取值范围是（ ） A ．[)2,-+∞
B ．[)3,∞-+
C ．()2,-+∞
D ．()3,-+∞
7．ABC V 中，AB =π
4
ACB ∠=，O 是ABC V 外接圆圆心，是OC AB CA CB ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 的最大值为（ ）
A ．1
B 1
C ．3
D ．5
8．如图，已知椭圆1C 和双曲线2C 具有相同的焦点()1,0F c -，()2,0F c ，A 、B 、C 、D 是它们的公共点，且都在圆222x y c +=上，直线AB 与x 轴交于点P ，直线CP 与双曲线2C 交于点Q ，
记直线AC 、AQ 的斜率分别为1k 、2k ，若椭圆1C 12k k ⋅的值为（ ）
A ．2
B ．23
C ．43
D ．4
二、多选题
9．不等式“2280x x -->”的一个必要不充分条件是（ ） A ．1x <-或3x > B ．1x <-或2x > C ．2x <-或4x >
D ．<4x -或2x >
10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若27a =-，525S =-，则（ ）
A ．211n a n =-
B ．若210m n a a a a +=+，则116m n
+的最小值为2512
C ．n S 取最小值时5n =
D ．设2n n n b a =⋅，则()12213226n
n n T b b b n =+++=-+L
11．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A B ､两点，O 为坐标原点，若6AB =，则下列说法正确的是（ ）
A ．AO
B S V B ．直线AB
C ．3AF =
D ．6AF BF ⋅=
三、填空题
12．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入33⨯的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15．一般地，将连续的正整数21,2,3,,n L 填入 n n ⨯个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方．记n 阶幻方的对角线上的数字之和为n N ，如图三阶幻方的315N =，那么 9N 的值为 ．
13．由球O 的球面上一点P 作球的两两垂直的三条弦P A ，PB ，PC ，且
PA PB
PC =O 的半径R =．
14．已知双曲线22
22:1(0,0)x y M a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线右支上
的一点，Q 为12F F P V 的内心，且12234QF QF PQ +=u u u r u u u u r u u u r
，则M 的离心率为．
四、解答题
15．化简求值： （1）化简：3sin()cos(2)tan()tan()
2
()sin()
π
παπαααπαπα---+
--=
--f ； （2
．
16．如图，四棱锥P ABCD -中，PA PD =，PA PD ⊥，底面ABCD 中，//AD BC ，
224AD PC BC CD ===，ADC 60∠=o ，E 是线段AP 上一点，设AE EP λ=u u u r u u u r
.
(1)若1λ=，求证：//BE 平面PCD ；
(2)是否存在点E ，使直线BE 与平面PAD 所成角为30o ，若存在，求出λ；若不存在，请说明理由.
17．某企业使用新技术生产某种产品，该产品在出厂前要经历生产和检测两道工序，生产工序的次品率为
1
20
.检测工序包括智能自动检测和人工抽查检测，智能自动检测为合格品则进入流水线并由人工抽查检测.
(1)从经过生产工序但未经检测工序的产品中随机抽取10件进行检测，求这10件产品中的次品数X 的分布列和数学期望；
(2)若智能自动检测的准确率为98%，求一件产品进入人工抽查检测环节的概率. 18．对于函数()ln f x x =，2
1()2
g x ax bx =
+（0a ≠），()()()hx
gx f x =-.
(1)当曲线()y h x =在点()()1,1h 处的切线方程为3y x =时，求a 、b ；
(2)当1a b +=，且0a >时，过曲线()y f x =上任一点P 作x 轴的垂线l ，l 与曲线()y g x =交于点Q ，若P 点在Q 点的下方，求a 的取值范围.
19．以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，已知过点()1,2--A 且斜率为1的直线1l 与曲线C ：34cos ,
44sin ,x y αα=+⎧⎨=+⎩
（α是参数）
交于,P Q 两点，与直线2l ：cos 2sin 40ρθρθ++=交于点N
.
l的直角坐标方程；
（1）求曲线C的普通方程与直线
2
（2）若PQ的中点为M，比较PQ与MN的大小关系，并说明理由.。