219391666_巧用导数证明不等式

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注意到 故 进一步化简就得 $$M*l$$Ml$% $$M*l8-)$*M** l$&
运用柯西中值定理证明不等式的关键是%寻找恰当的
用%而导数的一个重要应用就是判断函数的单调性%并得 到了下面重要的结论!
函数?%F 及区间'$%9(& 进一步说明其满足定理的条件% 定理3'3( 设 ! ?)**在区间H上可导%则?)**在H上递增
再根据等式))*得到所要证明的结论&
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综合可得所要证明的不等式&
应用微分中值定理证明不等式的关键步骤就是恰当
地选取满足定理条件的函数%利用定理的结果出现不等式
中的形式%再根据取值情况得到所要证明的结论&
%利用函数单调性证明不等式
函数的单调性在证明不等式的过程中有着重要的作
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利用微分中值定理证明不等式 首先介绍拉格朗日中值定理在证明不等式中的应用& 为了需要%先引入此定理& 定理$'3( !若函数?在闭区间'$%9(上连续%在开区间
例 证明对 有 )4
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分析将上述不等式两边同时除以*)
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对于例(%我们还可以利用泰勒中值定理进行证明& 即 L%% )*M$m)M*8-)&
泰勒中值定理叙述如下!
除了不等式两边做差这种形式之外%还可以将不等式
定理('3(!若函数?在'$%9(上存在直至6 阶的连续导 两边做商来构造辅助函数& 接下来%给出一个不等式两边
函数在 % )$%9*上存在6M$ 阶导函数%则对任意给定的*%*% 做商的例子&
[ ] 上递减所以 得到不等式的左 定理 若为 上的凸函数则对任意 %% $ )
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增所以 即得到不等式的右端 若为 上的凹函数则有 % ?)**?)$*L$%
注意到在证明上述例的过程中构造辅助函数既没 例 设 是三角形的三个内角证明不等式 0
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巧用导数证明不等式
许俊莲
宝鸡文理学院数学与信息科学学院陕西宝鸡
摘4要在高等数学和中学数学学习过程中不等式作为解题的一种重要工具发挥着重要的作用 证明不等式往往 也是考试中常见的一类题型 导数在判断函数单调性以及函数凹凸性等问题中有着重要的地位在此过程中也蕴含着 一些证明不等式的方法 本文通过分析导数在判断函数特性中的应用归纳总结出几种证明不等式的方法 为了更好地 掌握理解这些方法通过举例加以说明 本文还进一步拓宽了导数的应用范围为初学者提供了更多证明不等式的方法 同时在培养学生数学思维以及提高逻辑推理能力等方面有重要的作用
法能达到事半功倍的效果& 常见的证明不等式的方法有 比较法#分析法#配方法#数学归纳法#反证法等& 具体选
理证明该不等式& 对该不等式变形成</-*$K</-*) *$ K*)
$&
取哪种方法%往往需要根据不等式的特点来选择& 有些不 等式可以用多种方法证明%因此在学习的过程中要善于分 析总结归纳&
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有用到做差%也没有用到做商& 而是直接构造了辅助函 数& 在解决实际问题时%需要通过观察分析所要证明的不 等式%以确定采取正确的方法构造辅助函数&
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到所要证明的不等式&
)
从上面两个例子可以看出%利用拉格朗日中值定理证
$ K*) ,;<m$ K3 L$ K) m$ K3) L$ m$ &
明不等式的难点就是构造满足条件的函数?)**%并确定区
间'$%9(%因此需要通过多做练习加以巩固&
接下来%介绍柯西中值定理在证明不等式中的应用&
定理)'3( 若函数?%F 在闭区间'$%9(上连续%在开区间
上可导且 不同时为 则 )$%9*
% ?@) ** %Fd) **
%%F) $* F) 9* %
存在 使得 )$%9*% !
) )3
) )3 ) '0 ) '0 (
)**在'$%9(上满足拉格朗日中值定理的条件& 最后%再利
用导函数?@)**在'$%9(上的取值情况或者有界性%得到所
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( ) 时 故 %% %4?) * l?)** l?)%*& )*l</-*l*&
构造函数%常用的方法是将不等式两边做差&
)
)

若上述例题采用做差法构造辅助函数%会发现不等式
例 证明 其中 Q4 !</-*) *)$K**%
*'%%$( &
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的左端不容易证明&
可证 当知明当在时不时妨假不设上等满式足显拉然格成设朗立日定理的条件即 *)(%
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?) ** ' *$ %*) (
*$ l*) &
& ?) **L</-*%*' *$ %
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导数是大学理工科"高等数学$'$K(( 和数学专业"数学 分析$ '3( 课程中一个重要的概念%在微积分中扮演着重要 的角色& 华东师范大学版-数学分析.教材第六章-微分 中值定理及其应用.中着重讨论了如何利用导数判断函数 的特性& 通过学习讲授本章的内容%注意到它蕴含了几种 证明不等式的方法& 因此%本文将详细介绍这些方法%并 给出具体的实例加以说明&
%% )
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?) 0* L,;<0%F) 0*
L0)%0'%%*(& 显然函数?%F 在区间'%%*( 上满足柯西中
值定理的条件%因此存在)%%**%使得
?) ** F) **
K?)%* KF)%*
L,;*<*) KK%,;)<% LK<)/-&
者做商%或者直接构造辅助函数%利用定理3 判断该函数的 单调性& 根据函数的取值情况得到所要证明的不等式&
例 证明当 时有 34 ! *m% % )*M$ m)M*8-)& 分析!该不等式既可以用拉格朗日中值定理证明%只
需稍加变形即证明 %
)*M$ K) m8-)&
也可以在不等式两边做
由于当 ( ) 时不等式 成立从而 差利用函数单调性证明这里仅介绍第二种方法 *
%% )
综合上式得 证明设函数 则 K$ lK</-lK$ & 可知当 时 且 在 点连续因此 ) )
)
,;<*K) )$K)** %4?G) **L))$K</-** %& )
因此 为 ?)** '%%$(上的凸的连续函数%故由定理0 得
从而推出所证不等式 ?)**>6T4?)%*%?)$*5 L%%
&
可知当 时 故 在区间 %
%
*
$ )
% ?@) ** %&
?) **
此外%还可以应用著名的詹森不等式来证明不等式& 下面给出詹森不等式的一般形式&
)$%9*上可导%则至少存在一点) 使得 $%9*% !
数就得到 %
*l8-)$M** l*&
进一步%为了化成式) $ * 的形
?@) *L?) 9*9KK?$) $*
)$*
首先%利用拉格朗日中值定理证明不等式的关键是%
通过对不等式进行适当变形%使其出现式)$*右边的形式&
以此来选取函数?)**并确定区间'$%9(& 其次%验证函数?
至少存在一点 使得 '$%9(%
) $%9* %
?) **L?) *% *
M?@) *% *
)
*K*% *
M?G) *% * )2
)
*K*% *
)
M3M
?)6*) *% * 62
)
*K*% *
6
M?)6M$*) * ) 6M$* 2
)
*K*% *
6M$
&
例 证明 ( ) O4
!)*l</-*l*%*
&
为了判断其符号% 进一步令
导数% 所以满足泰勒中值定理的条件% 从而存在 那么 因此 在区 F)**L*,;<*K</-*% F@)**LK*</-*l%& %F)**
( ) 使得 整理可得 间[ ] 上严格递减故当 ( ) 时 %% )
%
,;<*L$K*) M*3 ,;<& ) 32
$K,;<*L$ K *) )
)减*%且在点$ 右连续%则?在' $%9* 上也) 严格* 递增 )减*%对右端点9有类似结论&
进一步变形为 $ &
)
K$ )
l,;*<*) KK%,;)<%lK$ &
利用函数单调性证明不等式的关键就是构造辅助函 数& 通常构造辅助函数的方法是将所证不等式两边做差或
( ) 证明对于任给的 设函数 *
有 使得 )*$ %*) *%
</-*$ K</-*) *$ K*)
L
,;<$&
故对任意实数 都有 *$%*)%
</-*$ K</-*) *$ K*) &
在例$ 中%我们很容易地观察出所要构造的函数
?)**%因此直接利用拉格朗日中值定理比较容易证明& 往
往很多题型%需要对不等式进行适当变形之后%才能确定
关键词不等式导数单调性凹凸性詹森不等式 中图分类号"$1)44文献标识码G
44不等式证明是中学数学常见的一种题型%也是大学学 该不等式是三角函数中一个重要的不等式%在证明函
习高等数学过程中一种重要的考试题型& 通过学习%我们 数连续及一致连续中发挥着重要的作用& 通常是利用三
知道证明不等式的方法灵活多样%因此选取恰当的证明方 角函数的和差化积公式证明该不等式%现利用拉格朗日定