上海洋泾中学南校数学高三上期中经典习题(含答案)

一、选择题
1．已知函数22()
()()
n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则
123100a a a a +++
+=
A ．0
B ．100
C ．100-
D ．10200
2．设x ，y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪
--≥⎨⎪--≤⎩
，若Z ax y =+的最大值为29a +，最小值为
2a +，则实数a 的取值范围是（ ）.
A ．(,7]-∞-
B ．[3,1]-
C ．[1,)+∞
D ．[7,3]--
3．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知
sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C （ ）
A ．18
B ．34
C ．2
3 D ．16
4．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,
若sin cos 0b A B -=,且2b ac =，则
a c
b
+的值为( ) A ．2
B
C
D ．4
5．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若
(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC 的形状为（）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
6．已知x ，y 满足条件0
{20
x y x
x y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( ) A ．－16
B ．－6
C ．-83
D ．6
7．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1
{}n
a 为等差数列，则9=a ( ) A ．
12
B ．
54
C ．
45
D ．45
-
8．在数列{}n a 中，12a =，11
ln(1)n n a a n +=++，则n a =
A ．2ln n +
B ．2(1)ln n n +-
C ．2ln n n +
D ．1ln n n ++
9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*1
1
n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7S D ．n S 的最小值是7S
10．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是（ ）
A ．()8,10
B ．(
C ．()
D ．
)
11．设{}n a 是首项为1a ，公差为-2的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S ，2S ，4S 成等比数列，则1a = ( ) A ．8
B ．-8
C ．1
D ．-1
12．已知4213
3
3
2,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<
D ．c a b <<
13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016·(a 2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( ) A ．S 2 016＝－2 016，a 2 013>a 4 B ．S 2 016＝2 016，a 2 013>a 4 C ．S 2 016＝－2 016，a 2 013<a 4 D ．S 2 016＝2 016，a 2 013<a 4
14．已知正项数列{}n a *(1)
()2
n n n a n N ++=
∈，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =
B ．2
n a n =
C ．2
n n
a =
D ．2
2
n n a =
15．数列{}n a 中，()1121n
n n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ） A ．32
B ．36
C ．38
D ．40
二、填空题
16．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2
7
4sin
cos 222
A B C +-=，且
5,a b c +==，则ab 为 ．
17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan tan 2tan b B b A c B +=-，且
8a =，b c +=ABC 的面积为______．
18．设数列{}(
)1,n a n n N
*
≥∈满足1
22,6a
a ==，且()()2112n n n n a a a a +++---=，若
[]x 表示不超过x 的最大整数，则12
2019
20192019
2019
[
]a a a +++
=____________． 19．已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .
20．在平面内，已知直线12l l ，点A 是12,l l 之间的定点，点A 到12,l l 的距离分别为和，点
是2l 上的一个动点，若AC AB ⊥，且AC 与1l 交于点C ，则ABC ∆面积的最小
值为____． 21．已知12
0,0,
2a b a b
>>+=，2+a b 的最小值为_______________. 22．已知数列{}n a 满足11a =，11
1n n
a a +=-
+，*n N ∈，则2019a =__________． 23．已知数列{}n a 满足11a =，132n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式为________． 24．如图所示，在平面四边形ABCD 中，2AB =
，3BC =，AB AD ⊥，
AC CD ⊥，3AD AC =，则AC =__________．
25．设变量,x y 满足约束条件：21y x x y x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值为__________．
三、解答题
26．已知数列{}n a 是等差数列，111038,160,37n n a a a a a a +>⋅=+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若从数列{}n a 中依次取出第2项，第4项，第8项，，第2n 项，按原来的顺序组
成一个新数列，求12n n S b b b =++
+.
27．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1，n a ，n S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足12n n n a b na =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 28．已知{}n a 为等差数列，前n 项和为(
)*
n S n N
∈，{}n
b 是首项为2的等比数列，且公
比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}221n n a b -⋅的前n 项和.
29．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 3a B b A π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
． （1）求A ；
（2）若,
,2
b a
c 成等差数列，ABC ∆的面积为a ． 30．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知
222,3
A b c a π
=
+=． （1）求a 的值；
（2）若1b =，求ABC ∆的面积．
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题 1．B 2．B 3．A 4．A 5．D 6．B 7．C 8．A 9．D 10．B 11．D 12．A
14．B
15．B
二、填空题
16．6【解析】试题分析：即解得所以在中考点：1诱导公式余弦二倍角公式；2余弦定理
17．【解析】【分析】由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得cosA的值由余弦定理可求64=（b+c）2﹣bc求bc即可得三角形的面积【详解】∵在△ABC中btanB+btanA=﹣
2ctanB∴由正弦
18．2018【解析】【分析】数列{an}满足a1＝2a2＝6且（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an）＝2利用等差数列的通项公式可得：an+1﹣an＝2n+2再利用累加求和方法可得an＝n（n+1）利
19．【解析】【分析】【详解】由题意解得或者而数列是递增的等比数列所以即所以因而数列的前项和故答案为考点：1等比数列的性质；2等比数列的前项和公式
20．6【解析】【分析】【详解】如图所示设由题意知与相似所以所以所以当且仅当即时等号成立所以面积的最小值为6
21．【解析】【分析】先化简再利用基本不等式求最小值【详解】由题得当且仅当时取等故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力解题的关键是常量代换
22．-2【解析】【分析】根据题干中所给的表达式得到数列的周期性进而得到结果【详解】根据题干表达式得到可以得数列具有周期性周期为3故得到故得到故答案为：-2【点睛】这个题目考查了求数列中的某些项一般方法是
23．【解析】【分析】待定系数得到得到【详解】因为满足所以即得到所以而故是以为首项为公比的等比数列所以故故答案为：【点睛】本题考查由递推关系求数列通项待定系数法构造新数列求通项属于中档题
24．3【解析】分析：详解：设在直角中得所以在中由余弦定理由于所以即整理得解得点睛：在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信息一般地如果式子中含有角
25．-10【解析】作出可行域如图所示：由得平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时最小由得此时故答案为
三、解答题
27． 28． 29． 30．
2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】
试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()2
2()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当
n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以
()
1231001399a a a a a a a ++++=+++()()()2410021359999224610099100a a a +++
+=-+++
+-++++
++=，
故选B.
考点：数列的递推公式与数列求和.
【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与
运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22()
{()
n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及
()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分
组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.
2．B
【解析】 【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值. 【详解】
作出不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪
--≥⎨⎪--≤⎩
对应的平面区域（如图阴影部分），
目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距，即y ax z =-+，
（1）当0a <时，直线z ax y =+的斜率为正，要使得z 的最大值、最小值分别在,C A 处取得，
则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率， 即3a -≤，
30a ∴-≤<.
（2）当0a >时，直线z ax y =+的斜率为负，易知最小值在A 处取得，
要使得z 的最大值在C 处取得，则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率 1a -≥-， 01a ∴<≤.
（3）当0a =时，显然满足题意. 综上：31a -≤.
故选：B . 【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.
3．A
【解析】 【分析】
利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos b
C C a
=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3
cos 24
C =，利用二倍角公式求得结果.
【详解】
由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=
则22224cos 2cos cos 22a b c b C b
C C ab ab a
+-===
ABC ∆为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=
ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+ 1112sin sin 2sin 22222
C C
b b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅
即：2sin 4sin cos 3sin 222
C C C
C ==
()0,C π∈ 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24
C ∴= 2
91cos 2cos 1212168
C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】
本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
由正弦定理，化简求得sin 0B B =，解得3
B π
=
，再由余弦定理，求得
()2
24b a c =+，即可求解，得到答案．
【详解】
在ABC ∆中，因为sin cos 0b A B -=,且2b ac =，
由正弦定理得sin sin cos 0B A A B =， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，
所以sin 0B B =，即tan B =3
B π
=
，
由余弦定理得222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()2
24b a c =+，解得2a c
b
+=，故选A ． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
5．D
解析：D 【解析】 【分析】
由正弦定理化简(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，得到sin 2sin 20B A -=，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案． 【详解】
由题意知，(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅， 结合正弦定理，化简可得(cos )(cos )a c B b b c A a -⋅⋅=-⋅⋅， 所以cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos 0B B A A -=， 所以sin 2sin 20B A -=，得22B A =或22180B A +=， 所以三角形是等腰或直角三角形． 故选D ． 【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．
6．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋3
z
，先作出0{x y x ≥≤的图象，如图所示，
因为目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，所以x ＋3y ＝8与直线y ＝x 的交点为C ，解得
C (2,2)，代入直线2x ＋y ＋k ＝0，得k ＝－6.
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果 【详解】
依题意得：7
32,1a a ==，因为数列1{}n
a 为等差数列，
所以73111
11273738
--===--a a d ，所以()9711159784a a =+-⨯=，所以94
5
=a ，故选C ．
【点睛】
本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础
8．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：在数列{}n a 中，11ln 1n n a a n +⎛⎫-=+
⎪⎝⎭
112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+
12ln
ln ln 2121n n n n -=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-- 12
ln(
)2121
n n n n -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-- ln 2n =+ 故选A. 9．D 解析：D 【解析】 【分析】
将所给条件式变形，结合等差数列前n 项和公式即可证明数列的单调性，从而由
870a a +<可得7a 和8a 的符号，即可判断n S 的最小值.
【详解】
由已知，得()11n n n S nS ++<， 所以
1
1
n n S S n n +<+，
所以()()()()
1111221n n n a a n a a n n ++++<+， 所以1n n a a +<，
所以等差数列{}n a 为递增数列.
又870a a +<，即87
1a a <-， 所以80a >，70a <，
即数列{}n a 前7项均小于0，第8项大于零，
所以n S 的最小值为7S ，
故选D.
【点睛】
本题考查了等差数列前n 项和公式的简单应用，等差数列单调性的证明和应用，前n 项和最值的判断，属于中档题.
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据大边对大角定理知边长为1所对的角不是最大角，只需对其他两条边所对的利用余弦定理，即这两角的余弦值为正，可求出a 的取值范围．
【详解】
由题意知，边长为1所对的角不是最大角，则边长为3或a 所对的角为最大角，只需这两个
角为锐角即可，则这两个角的余弦值为正数，于此得到222
2221313a a ⎧+>⎨+>⎩
，
由于0a >，解得a <<C ．
【点睛】
本题考查余弦定理的应用，在考查三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，一般由最大角来决定，并利用余弦定理结合余弦值的符号来进行转化，其关系如下： A 为锐角cos 0A ⇔>；A 为直角cos 0A ⇔=；A 为钝角cos 0A ⇔<.
11．D
解析：D
【解析】
【分析】
利用等差数列的通项公式，以及等比中项公式和前n 项和公式，准确运算，即可求解.
【详解】
由题意，可得等差数列{}n a 的通项公式为11(1)(2)2(1)n a a n a n =+-⨯-=--， 所以112141,22,412S a S a S a ==-=-，
因为1S ，2S ，4S 成等比数列，可得2111(22)(412)a a a -=-，解得11a =-.
故选：D .
【点睛】
本题主要考查了等差数列通项公式，以及等比中项公式与求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
12．A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】 因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数2
3y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.
点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小. 13．D
解析：D
【解析】
∵(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝－1，
∴(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＋(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝0，
设a 4－1＝m ，a 2 013－1＝n ，
则m 3＋2 016m ＋n 3＋2 016n ＝0，
化为(m ＋n )·
(m 2＋n 2－mn ＋2 016)＝0， ∵222
2132?0162016024m n mn m n n ⎛⎫=-++> ⎪⎝
⎭＋－＋， ∴m ＋n ＝a 4－1＋a 2 013－1＝0，
∴a 4＋a 2 013＝2， ∴()
()
1201642013201620162016201622a a a a S ++===.
很明显a 4－1>0，a 2 013－1<0，∴a 4>1>a 2 013，
本题选择D 选项.
14．B
解析：B
【解析】
【分析】
()()
11
22
n n n n
+-
=-
的表达式，可得出数列{}n a的通项公式.
【详解】
(1)(1)
,(2)
22
n n n n
n n
+-
=-=≥
1
=
，所以
2
,(1),
n
n n a n
=≥=，选B.
【点睛】
给出n S与n a的递推关系求n a，常用思路是：一是利用1,2
n n n
a S S n
-
=-≥转化为
n
a的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S的递推关系，先求出n S与n之间的关系，再求n a. 应用关系式1
1
,1
{
,2
n
n n
S n
a
S S n
-
=
=
-≥
时，一定要注意分1,2
n n
=≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.
15．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据所给数列表达式，递推后可得()1
21
121
n
n n
a a n
+
++
+-=+.并将原式两边同时乘以()1n
-后与变形后的式子相加，即可求得2n n
a a
+
+，即隔项和的形式.进而取n的值，代入即可求解.
【详解】
由已知()
1
121
n
n n
a a n
+
+-=-，①
得()1
21
121
n
n n
a a n
+
++
+-=+，②
由()1n
⨯-+
①②得()()()
2
12121
n
n n
a a n n
+
+=-⋅-++，
取1,5,9
n=及2,6,10
n=，易得
1357
2
a a a a
+=+=，
24
8
a a
+=，
68
24
a a
+=，
故81234836
S a a a a a
=++++⋅⋅⋅+=.
故选：B.
【点睛】
本题考查了数列递推公式的应用，对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键，属于中档题.
二、填空题
16．6【解析】试题分析：即解得所以在中考点：1诱导公式余弦二倍角公式；2余弦定理解析：6
【解析】
试题分析：274sin cos 222A B C +-=，274sin cos 222
C C π-∴-=，274cos cos 222C C ∴-=，()72cos 1cos 22
C C ∴+-=，24cos 4cos 10C C ∴-+=，即()22cos 11C -=，解得1cos 2
C =
． 所以在ABC ∆中60C =． 2222cos c a b ab C =+-，()2222cos60c a b ab ab ∴=+--，
()223c a b ab ∴=+-，()22257633
a b c ab +--∴==
=． 考点：1诱导公式，余弦二倍角公式；2余弦定理． 17．【解析】【分析】由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得cosA 的值由余弦定理可求64=（b+c ）2﹣bc 求bc 即可得三角形的面积【详解】∵在△ABC 中btanB+btanA=﹣2ctanB ∴由正弦
【解析】
【分析】
由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得cosA 的值，由余弦定理可求64=（b +c ）2﹣bc ，求bc ，即可得三角形的面积．
【详解】
∵在△ABC 中btanB +btanA=﹣2ctanB ，
∴由正弦定理可得sinB （tanA +tanB ）=﹣2sinCtanB ，
∴sinB （tanA+tanB ）=﹣2sinC•
sinB cosB
， ∴cosB （tanA+tanB ）=﹣2sinC ， ∴cosB （
sinA cosA +sinB cosB ）=﹣2sinC ， ∴cosB•sinAcosB cosAsinB cosAcosB +=﹣2sinC ， ∴cosB•()
sin A B cosAcosB +=sinC cosA =﹣2sinC ， 解得cosA=﹣12，A=23
π；
∵a=8，b c +=64=b 2+c 2+bc=（b+c ）2﹣bc ，
∴bc=9
∴△ABC 的面积为S =12
bcsinA=1922
⨯⨯
4，
． 【点睛】
本题考查正、余弦定理解三角形，涉及同角三角函数基本关系和三角形的面积公式，属于中档题．
18．2018【解析】【分析】数列{an}满足a1＝2a2＝6且（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an ）＝2利用等差数列的通项公式可得：an+1﹣an ＝2n+2再利用累加求和方法可得an ＝n （n+1）利
解析：2018
【解析】
【分析】
数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝6，且（a n +2﹣a n +1）﹣（a n +1﹣a n ）＝2，利用等差数列的通项公式可得：a n +1﹣a n ＝2n +2．再利用累加求和方法可得a n ＝n （n +1）．利用裂项求和方法即可得出．
【详解】
∵()()2112n n n n a a a a +++---=，
∴数列{a n +1﹣a n }为等差数列，首项为4，公差为2．
∴a n +1﹣a n ＝4+2（n ﹣1）＝2n +2．
∴a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1
＝2n +2（n ﹣1）+…+2×2+2
()
122n n +=⨯=n （n +1）． ∴12201911111111111223201920202020a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
． ∴][][1
22019201920192019201912019201820202020a a a ⎡⎤+++=-=+⎢⎥⎣⎦
＝2018． 故答案为：2018．
【点睛】 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、累加求和方法与裂项相消求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．【解析】【分析】【详解】由题意解得或者而数列是递增的等比数列所以即所以因而数列的前项和故答案为考点：1等比数列的性质；2等比数列的前项和公式
解析：21n -
【解析】
【分析】
【详解】
由题意，14231498
a a a a a a +=⎧⎨⋅=⋅=⎩，解得141,8a a ==或者148,1a a ==， 而数列{}n a 是递增的等比数列，所以141,8a a ==， 即3418a q a ==，所以2q ，
因而数列{}n a 的前n 项和1(1)1221112
n n
n n a q S q --===---，故答案为21n -. 考点：1.等比数列的性质；2.等比数列的前n 项和公式. 20．6【解析】【分析】【详解】如图所示设由题意知与相似所以所以所以当且仅当即时等号成立所以面积的最小值为6
解析：6
【解析】
【分析】
【详解】
如图所示，
设BF x =，由题意知3,2AE AF ==
ABF ∆与CAE ∆相似，所以
AB BF CA AE =,所以3AC AB x =,所以211322ABC S AB AC AB x
∆==⨯ 21363(4)622x x x x =⨯⨯+=+≥，当且仅当632
x x =，即2x =时，等号成立，所以CAE ∆面积的最小值为6.
21．【解析】【分析】先化简再利用基本不等式求最小值【详解】由题得当且仅当时取等故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力解题的关键是常量代换
解析：
92
【解析】
【分析】 先化简11122(2)2(2)()22a b a b a b a b +=
⋅+⋅=⋅+⋅+，再利用基本不等式求最小值. 【详解】 由题得11121222(2)2(2)()(5)222a b a b a b a b a b b a
+=⋅+⋅=⋅+⋅+=++
19(522
≥+=. 当且仅当221223222a b a b a b ⎧+=⎪==⎨⎪=⎩
即时取等. 故答案为：
92
【点睛】
本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.解题的关键是常量代换. 22．-2【解析】【分析】根据题干中所给的表达式得到数列的周期性进而得到结果【详解】根据题干表达式得到可以得数列具有周期性周期为3故得到故得到故答案为：-2【点睛】这个题目考查了求数列中的某些项一般方法是 解析：-2
【解析】
【分析】
根据题干中所给的表达式得到数列的周期性，进而得到结果.
【详解】 根据题干表达式得到234123
1111,2, 1.1211a a a a a a =-=-=-=-=-=+++ 567455
1111,2, 1.1211a a a a a a =-=-=-=-=-=+++ 可以得数列具有周期性，周期为3，故得到20193673.÷=
故得到2019 2.a =-
故答案为：-2.
【点睛】
这个题目考查了求数列中的某些项，一般方法是求出数列通项，对于数列通项不容易求的题目，可以列出数列的一些项，得到数列的周期或者一些其它规律，进而得到数列中的项. 23．【解析】【分析】待定系数得到得到【详解】因为满足所以即得到所以而
故是以为首项为公比的等比数列所以故故答案为：【点睛】本题考查由递推关系求数列通项待定系数法构造新数列求通项属于中档题
解析：1231n -⋅-
【解析】
【分析】
待定系数得到()13n n a a λλ++=+，得到λ
【详解】
因为{}n a 满足132n n a a +=+，
所以()13n n a a λλ++=+，
即132n n a a λ+=+，得到1λ=，
所以()1131n n a a ++=+，
而112a +=，
故{}1n a +是以2为首项，3为公比的等比数列，
所以1123n n a -+=⋅，
故1231n n a -=⋅-.
故答案为：1231n -⋅-.
【点睛】
本题考查由递推关系求数列通项，待定系数法构造新数列求通项，属于中档题. 24．3【解析】分析：详解：设在直角中得所以在中由余弦定理由于所以即整理得解得点睛：在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信息一般地如果式子中含有角 解析：3
【解析】
分析：
详解：设,3AC x AD x ==，
在直角ACD ∆中，得CD =，所以sin 3
CD CAD AD ∠==， 在ABC ∆中，由余弦定理2222cos
2AB AC BC BAC AB AC +-∠==⋅ 由于2BAC CAD π
∠+∠=，所以cos sin BAC CAD ∠=∠，
2
3=23830x x --=，解得3x =. 点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式
时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
25．-10【解析】作出可行域如图所示：由得平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时最小由得此时故答案为
解析：-10
【解析】
作出可行域如图所示：
由3z x y =-得33x z y =-，平移直线33
x z y =-，由图象可知当直线经过点A 时，直线33
x z y =-的截距最大，此时z 最小 由1{2
x x y =-+=得(1,3)A -，此时13310z =--⨯=- 故答案为10-
三、解答题
26．
（1）32n a n =+；（2）6226n n T n =⨯+-
【解析】
【分析】
（1）先由条件可以判断出数列是递增数列，再由等差数列的性质：
m n p q m n p q a a a a +=+⇒+=+ 可以求得110,a a ，然后根据等差数列通项公式即可求解.
(2)由（1）可得数列n b 的通项公式，然后利用分组求和即可求解.
【详解】
（1）等差数列{}n a 中，111038,37n n a a a a a a +>+=+=，
110110
16037a a a a ⋅=⎧⎨+=⎩
解得110
532a a =⎧⎨=⎩ 3253101
d -∴==-， ()51332n a n n ∴=+-⨯=+.
（2）由（1）知，12322b a ==⨯+，24342b a ==⨯+，…2322n n n b a ==⋅+，
()()()12322342322n n n S b b b ∴=++
+=⨯++⨯+++⋅+ ()
1
22324223212n n n n +-=⨯++++=⨯+- 13262n n +=⨯-+
6226n n =⨯+-.
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式、性质、等比数列的求和公式、利用“分组求和法”求数列前n 项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减；解题中需要熟练掌握公式和性质，对计算能力要求较高.
27．
（1）12n n a ；（2）21122n n n -++- 【解析】
【分析】
（1）利用数列的递推关系式推出数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，然后求解通项公式．
（2）化简数列的通项公式，利用分组求和法求和即可．
【详解】
（1）由已知1，n a ，n S 成等差数列得21n n a S =+①，
当1n =时，1121a S =+，∴11a =，
当2n ≥时，203m/s B B B
F m g a m μ-==② ①─②得122n n n a a a --=即12n n a a -=，因110a =≠，所以0n a ≠， ∴1
2n n a a -=， ∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴11122n n n a --=⨯=．
（2）由12n n n a b na =+得111222n n n b n n a -=
+=+， 所以()12121111n n n T b b b n n a a a =+++=+++++ ()()1111211211212
n n n n n n -⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=++=-++-． 【点睛】
数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 28． （1）32n a n =-，2n n b =，*
n N ∈；（2）()143283n n +-+，*n N ∈. 【解析】
【分析】
（1）由等差数列和等比数列的基本量法求数列的通项公式；
（2）用错位相减法求和．
【详解】
（1）数列{}n b 公比为q ，则2232212b b q q +=+=，∵0q >，∴2q ，
∴2n
n b =， {}n a 的公差为d ，首项是1a ，
则41328a a b ==-，411411112176S b ==⨯=，
∴1113281110111762a d a a d +-=⎧⎪⎨⨯+⨯=⎪⎩
，解得113a d =⎧⎨=⎩． ∴13(1)32n a n n =+-=-．
（2）21221(62)2n n n a b n --⋅=-⋅，数列{}221n n a b -⋅的前n 项和记为n T ，
352142102162(62)2n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⋅，①
23572121242102162(68)2(62)2n n n T n n -+=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅，②
①－②得：35212138626262(62)2n n n T n -+-=+⨯+⨯+
+⨯--⨯ 1218(14)86(62)214
n n n -+-=+⨯--⨯-14(23)8n n +=--，
∴14(32)83
n n n T +-+=． 【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和及错位相减法求和．在求等差数列和等比数列的通项公式及前n 项和公式时，基本量法是最基本也是最重要的方法，务必掌握，数列求和时除公式法外，有些特殊方法也需掌握：错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法等等．
29．
（1）3
π ； （2） 【解析】
【分析】
（1）由正弦定理化简已知可得sinA=sin （A +
3π），结合范围A ∈（0，π），即可计算求解A 的值；
（2）利用等差数列的性质可得b ，利用三角形面积公式可求bc 的值，进而根据余弦定理即可解得a 的值．
【详解】
（1）∵asinB=bsin （A+3
π）． ∴由正弦定理可得：sinAsinB=sinBsin （A +
3π）． ∵sinB≠0，
∴sinA=sin （A+3
π）． ∵A ∈（0，π），可得：A +A+
3π=π， ∴A=3
π．
（2）∵b ，c 成等差数列，
∴，
∵△ABC 的面积为S △ABC =
12，
∴123
bc sin π⨯⨯bc=8， ∴由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=（b+c ）2﹣2bc ﹣2bccos 3
π
=（b+c ）2﹣3bc=）2﹣24，
∴解得：
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
30．
（12 【解析】
【分析】
（1）由2223b c abc a +-
=，利用余弦定理可得2cos 3bc A abc =,结合3A π=可得结果；
（2）由正弦定理1sin 2B =，π6B =, 利用三角形内角和定理可得π2C =，由三角形面积公式可得结果.
【详解】
（1）由题意，得222b c a +-=
. ∵2222cos b c a bc A +-=.
∴2cos bc A =
,
∵π3
A = ，∴a A ==
（2）∵a =
由正弦定理sin sin a b A B =，可得1sin 2
B =. ∵a>b ，∴π6
B =, ∴ππ2
C A B =--=
.
∴1sin 22
ABC S ab C ∆=
= 【点睛】 本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数，属于中档题.对余弦定理一定要熟
记两种形式：（1）222
2cos a b c bc A =+-；（2）222
cos 2b c a A bc +-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住
o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 30,45,60。