考研数学二-200

考研数学二-200
(总分：146.00，做题时间：90分钟)
一、选择题(总题数：8，分数：32.00)
1.已知f(x-1)=x2+ax+πa=()．
A．a=-(π+1) B．a=0
C．a=π D．a的取值不唯一
（分数：4.00）
A. √
B.
C.
D.
解析：[解析] 利用极限的运算法则及性质求之．
令x-1=t，则
f(t)=(t+1)2+a(t+1)+π，
即
f(x)=(x+1)2+a(x+1)+π．
由及知，必有
，即
所以f(0)=0，即1+a+π=0，故a=-(π+1)．仅(A)入选．
2.f(x)的间断点，其结论是______．
A．不存在间断点 B．存在间断点x=1
C．存在间断点x=0 D．存在间断点x=-1
（分数：4.00）
A.
B. √
C.
D.
解析：[解析] 先求出分段函数f(x)的表示式，再考察在分段点的左、右极限，求出间断点，再判断其类型．
当|x|＜1时，；
当|x|＞1时，．
当x=1时，f(x)=1，当x=-1时，f(x)=0．
由于
故x=-1是f(x)的连续点．
所以x=1是间断点．仅(B)入选．
3.f(x)在x=0处______．
A．导数存在，且f'(0)≠0 B．导数不存在
C．取得极小值 D．取得极大信
（分数：4.00）
A.
B.
C. √
D.
解析：[解析] 利用极限的局部保号性及极值的定义判别之．
由及知．f(0)=0，且存在x=0，即
f(x)＞0=f(0)，
所以f(x)在x=0处取极小值．仅(C)入选．
4.设’其中f(x)在x=0处连续，且f(0)=0．若F(x)在x=0处连续，则k等于______．
A． B．0 C． D
（分数：4.00）
A.
B. √
C.
D.
解析：[解析] 利用F(x)在x=0处连续的定义求之．
根据连续的定义，有
仅(B)入选．
5.设无穷长直线L的线密度为1，引力常数为k，则L对距直线为a的单位质点P沿y轴方向的引力为______．A． B． C． D
（分数：4.00）
A. √
B.
C.
D.
解析：[解析] 先写出所求的引力微元dF y，然后再按反常定积分的计算公式求之．
取L为x轴，y轴过P点，如图所示. 在L上任取一小段[x，x+dx]，它对点P的引力沿y轴方向分量为
其中，所以
于是L对质点P沿y轴方向的引力
仅(A)入选．
6.设矩形域D：0≤x≤π，0≤y≤π，则二重积分为______.
A．π B． C． D
（分数：4.00）
A.
B.
C.
D. √
解析：[解析] 用直线y=x将区域D划分为两个子区域，去掉max{x，y}再积分．
仅(D)入选．
7.设n阶方阵A，B，C，D满足关系式ABCD=E，其中E为n阶单位矩阵，则必有______．
A．ACBD=E B．BDCA=E
C．CDAB=E D．DCAB=E
（分数：4.00）
A.
B.
C. √
D.
解析：[解析] 利用可逆矩阵的定义：
如AB=E或ABC=E，或ABCD=E，则分别有
AB=BA=E，
ABC=BCA=CAB=E，
ABCD=BCDA=CDAB=DABC=E，
即满足上式依次循环的矩阵乘积等式是成立的．
由ABCD=E知，AB·CD=CD·AB=E．仅(C)入选．
8.(A-E)+秩(A-3E)=______．
A．7
B．6
C．5
D．4
（分数：4.00）
A.
B. √
C.
D.
解析：[解析] B为实对称矩阵，可对角化，又因A～B，故B的特征值0、3(二重根)、-2必是A的特征值，且重数相同，故秩(A-3E)=4-2=2．
及A～B知，B的特征值为0，3(重根)与-2，且它们也是A的特征值．又因B是实对称，必可对角化，因此A可对角化，那么A对于λ=3必有两个线性无关的特征向量，从而
秩(3E-A)=n-2=4-2=2．
又因λ=1不是A的特征值，即|E-A|≠0，故秩(E-A)=4．于是
秩(A-E)+秩(A-3E)=4+2=6．仅(B)入选．
二、填空题(总题数：6，分数：24.00)
9.a=______．
（分数：4.00）
填空项1:__________________ （正确答案：-2）
解析：[解析] 高阶无穷小在求极限的过程中可去掉，而且不影响所求极限的值．
因
分子、分母去掉高阶无穷小，得到
故a=-2．
10.曲线y=x2e-1/x2+1的水平渐近线方程是______.
（分数：4.00）
填空项1:__________________ （正确答案：y=1）
解析：[解析] 按照水平渐近线的定义求之．
故水平渐近方程是y=1．
11.设函数f(x)在x=1f'(1)=______．
（分数：4.00）
填空项1:__________________ （正确答案：1/2）
解析：[解析] 用导数定义求之．
解一因
故又函数在x=1处连续，故f(1)=0，于是
故f'(1)=1/2．
（分数：4.00）
填空项1:__________________
解析：[解析] 先用洛必达法则去掉分子、分母的积分号，再按幂指函数求其极限的方法求之．
原式
或
(重要极限e的定义)．
（分数：4.00）
填空项1:__________________ ）
解析：[解析] 先画出积分区域，如图阴影部分所示．然后调换积分次序(先对y后对x)计算．这是因为被积函数为直接对x积分是无法求出结果的．
交换积分次序(先对y后对x)计算，得到：
14.设A为三阶方阵，B为四阶方阵，且A的三个特征值分别为1，2，3，B2=O
为______．
（分数：4.00）
解析：[解析] 幂零矩阵(A k=O)(k≥2)的特征值全为0，关键是由A的特征值求出2A*+E的特征值，从而求出非零特征值．
矩阵的特征值由2A*+E与B的特征值组成.由B2=O知，B的特征值为0．而2A*+E，其中λi(i=1，2，3)为A的特征值，故
|A|=λ1λ2λ3=6．
于是2A*+E的三个特征值为
又因B的特征值全为0的非零特征值为5，7，13．
三、解答题(总题数：9，分数：90.00)
15.设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，若在(0，1)内有x1＜x2，使
证明：在(0，1)内存在ξ1，ξ2，使f'(ξ1)≥f'(ξ2)．
（分数：10.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(要产生两个中值点ξ1与ξ2满足f'(ξ1)≥f'(ξ2)，一般要使用两次中值定理．如果令
x0=(x1+x2)/2，则有
2f(x0)≥f(x1)+f(x2)，
即
f(x0)-f(x1)≥f(x2)-f(x0)．
不等式两边的差值就是使用拉格朗日中值定理的信号．这样问题就解决了．
证令，有，移项有
f(x0)-f(x1)≥f(x2)-f(x0)．
①
利用拉格朗日中值定理，有
f(x0)-f(x1)=f'(ξ1)(x0-x1)
②
f(x2)-f(x0)=f'(ξ2)(x2-x0)
③
将式②、式③代入式①，有
f'(ξ1)(x0-x1)≥f'(ξ2)(x2-x0)，
因x0-x1=x2-x0，故有
f'(ξ1)≥f'(ξ2)．)
解析：
16.设0＜a＜b，f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f'(x)≠0，求证：存在ε，η∈(a，b)，使得
（分数：10.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(将待证等式改写为
等式右边启示我们应对f(x)及lnx在[a，b]上使用柯西中值定理．于是
上式右边还表示可对f(x)在[a，b]上使用拉格朗日中值定理．于是
证由拉格朗日中值定理知，存在ε∈(a，b)，使
①
又由柯西中值定理知，存在η∈(a，b)，使
②
综合式①、式②即得
)
解析：
17.设y=y(x)由
确定，求当时的
（分数：10.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(，因而为求，需先求出及．为求，需将x的表示式通过变量代换化为变上限t的函数．
设；当时，，代入有
于是
再对3ty+ysint-e y-t2=0求，于是有
故)
解析：
18.φ为可微函数，求dz．
（分数：10.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(给出确定隐函数的函数方程．要想到作一个方程F(x，y，z)=0确定该函数，然后再用其公式
求出．
令，则
故
于是
)
解析：
19.
（分数：10.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(利用曲线质心坐标的计算公式直接计算．一定要记住质心坐标的计算公式．
设该曲线的全长为l，质心为()，则曲线的质心坐标计算公式为
可用上述公式计算曲线的质心，其中ds为弧微分．
当s∈[0，l]时，对应于于是
因此，代入上式得
同理，可求得
则
)
解析：
20.设g(x)＞0为已知连续函数，在圆域
D=(x，y)|x2+y2≤a2(a＞0)
其中λ，μ为正常数．
（分数：10.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(所给二重积分的被积函数的形式使人易想到积分区域D是否有关于y=x的对称性．事实上，所给区域D关于y=x对称，利用此对称性可简化计算．
由于积分区域D关于直线y=x对称，故对连续函数f(x，y)，有
因此
故
于是有
)
解析：
21.
(Ⅰ)求f(x)在(0，+∞)上的最小值点；
(Ⅱ)判断f(x)在(0，+∞)上是否存在最大值?并说明理由．
（分数：10.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(为求f(x)在(0，+∞)上的最小值点，首先求出f(x)在(0，+∞)上的分段函数的形式，然后按求最小值的一般方法求出其最小值点．
(Ⅰ)由定积分的几何意义知，
(这是以原点为圆心，半径为x的圆在第一象限部分的面积)．再用分段积分法求f(x)表达式中的另一积分：当0＜x＜1时，
当x≥1时，
于是
为求f(x)在(0，+∞)上的最小值，先f'(x)．
由于
故f(x)在内单调减少，而在上单调增加．所以f(x)的最小值是，则f(x)在(0，+∞)上的最小值点是．
(Ⅱ)由于，
所以f(x)在(0，+∞)上不存在最大值．)
解析：
22.已知三阶矩阵B≠O，且B的每一个列向量都是下方程组的解：
(Ⅰ)求λ值；
(Ⅱ)证明|B|=0．
（分数：10.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(方程组AX=0有非零解，r(A)＜3，则其三阶子行列式必等于0，从而求出λ．可用反证法证明|B|=0．
(Ⅰ)因B≠0，故B中至少有一个非零列向量，于是推出所给齐次方程组AX=0有非零解，故其系数矩阵的秩r(A)＜3，则其三阶子式必等于0，即
(Ⅱ)因B的每一列向量都是方程组的解，故有
AB=O．
由A≠O，则必有|B|=0．
事实上，若|B|≠0，则B可逆，在AB=O两边右乘B-1必有
ABB-1=OB-1，A=O，
这与A≠O的事实矛盾，故|B|=0．)
解析：
23.已知
α1=[1，3，5，-1]T，α2=[2，7，a，4]T，α3=[5，17，-1，7]T．
(Ⅰ)若a1，a2，a3线性相关，求a的值；
(Ⅱ)当a=3时，求与α1，α2，α3都正交的非零向量α4；
(Ⅲ)当a=3时，证明α1，α2，α3，α4可表示任一个四维列向量．
（分数：10.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((1)利用向量组线性相关、线性无关的定义求之；
(2)按齐次线性方程组求解的方法求之．
(3)归结证明对任意四维向量α，方程组x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α总有解．
(Ⅰ)由α1，α2，α3线性相关，得秩(α1，α2，α3)＜3．由于
所以a=-3．
(Ⅱ)设α4=[x1，x2，x3，x4]T，则有
＜α1,α4＞=0,＜α2,α4＞=0,＜α3,α4＞=0
即
而
所以
X=[x1，x2，x3，x4]T=α4=k[19，-6，0，1]，
其中k≠0为任意常数．
所以x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α恒有解，即任一四维列向量必可由α1，α2，α3，α4线性表出．
或由(Ⅰ)知a=3时，α1，α2，α3必线性无关，那么如果
k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0，
用左乘上式两端并利用
有，故必有k4=0．于是
k1α1+k2α2+k3α3=0，
从而α1，α2，α3，α4必线性无关．而5个四维向量必线性相关，因此任一个四维列向量都可由α1，α2，α3，α4线性表出．)
解析：。