基于节约矩阵法的物流配送线路优化问题研究

基于节约矩阵法的配送中心送货路线优化问题研究
[摘要]在关于物流配送中心送货路线优化问题的研究中，针对其在我国的应用现状，提出了求解该问题的节约矩阵算法，详述了其求解步骤，并给出了计算实例。

求解结果表明，用节约矩阵法进行物流送货路线优化，可以简单有效地求得问题的最优解或近似最优解。

[关键词]送货路线；节约矩阵法；优化；最远插入法
Study of the optimization of distribution routing problem based on the
economy-matrix method
Zhang Yu
（School of Management, Xi’an Polytechnic University, Xi’an710048,China ）
Abstract：On the study of the optimization of distribution routing problem, according to the status quo in China, this paper presents the economy-matrix method to solve the problem and explains its solution steps in details and finally gives an example. The results demonstrates that the optimal or nearly optimal solutions to the distribution routing problem can be easily obtained by using economy-matrix method.
Keywords：Distribution routing; Economy-matrix method; Optimization;Furthest insert method
1 引言
随着市场经济的发展和物流技术专业化水平的提高，物流配送业得到了迅猛发展。

物流配送是指按照用户的订货要求，在配送中心进行分货、配货，并将配好的货物及时送交收货人[1]。

在现代物流系统中，物流配送朝着小批量、多品种、多批次的即时送货方向发展，是一种个性化服务。

现代物流系统中的配送问题涉及因素众多，关系十分复杂。

其中，送货线路的选择是否合理，对加快配送速度、提高物流服务质量、降低配送成本都有很大影响。

然而，目前我国大部分自营物流配送中心的运营现状是：送货业务量不大、终端客户多；送货成本高，缺乏合理的送货规划；物流信息化程度低、有关送货线路优化软件缺乏；物流规划人才缺乏等。

因此，找到一种适合我国物流发展现状、简单实用的物流送货线路优化方法，具有重要的现实意义。

2 问题分析
货物的运输一般是由中心仓库运到子库，再由子库的车辆运到多个零售点（需求点）。

从中心仓库到子库的送货安排可以按运筹学中的一般运输问题解决。

本文主要关注从子库到零售点
送货安排的优化算法的实现，即通过制定合理的送货线路，快速而经济地将子库货物送达用户手中。

关于送货路线优化问题的研究，国内外有关专家学者提出了很多理论方法，例如遗传（Genetic Algorithm ）算法、禁忌搜索（Tabu Search ）算法、模拟退火（Simulated Annealing ）算法等[2]。

这些算法能够解决复杂的配送路线优化问题，但是存在模型复杂、求解难、运算量大的缺点，由此限制了它们在我国物流企业中的推广应用[3]。

本文提出的节约矩阵法，已知条件较少、操作方法简单、优化效果良好，即使在时间限制或者其它限制存在的情况下，它仍然可以用来决定哪些货车为哪些客户送货，以及每辆货车的最优送货路线，非常适用于我国现有的中、小型物流企业
[4] 。

运用节约矩阵法进行送货线路优
化时，已知条件如下：①已知配送中心的位置坐标以及拥有的车辆数；②已知每个客户的位置坐标和订货量；优化目标为给所有参与送货的车辆下达送货任务书（即确定每一个参与送货的车辆该运多少货物，走什么线路，送货到哪几个零售点），使得送货总费用最小。

[5]
3 节约矩阵分析法
首先提出该方法的假定。

由于交通运输是一个网状结构，因此可以把分布于这个网状结构中的配送中心和用户假定成一个个数学上的点，把配送中心与用户以及用户与用户之间的运输线路假定成一条条的线。

那么，送货线路优化问题就可转化为在一个以许多“点”和“线”组成的“图”中寻找各点与点间的最佳路径问题。

设配送中心为O 点，位置坐标为（x O ，y O ）；订货客户为A 、B 、……N ，位置坐标分别为（x A ，y A ）、（x B ，y B ）……（x N ，y N ）。

节约矩阵分析法的主要求解步骤包括： （1）确认距离方阵
确认距离方阵是要确认任何将要经过的两个地点之间的距离。

坐标系中任意两点之间的距离见公式见式3-1。

()()2
2
),(M K M K y y x x M K Dist -+-=
（3-1）
式中，K 、M 都可以取O 和A ～N 之间的任意点。

这样，就构造出一个N ＋1阶的距离方阵。

由于两点之间距离的对等关系，亦即Dist (K ，M )= Dist (M ，K )，不难看出该距离方阵是一个对称矩阵。

因此可以把该距离方阵简化为上三角或下三角矩阵。

（2）确认节约方阵
节约方阵是指将两个客户的订货放在一辆货车上联合运送时节约的累积。

节约可以按照距离、时间或者货币来计量。

本文按照距离建立节约方阵。

运输工具的行程依其所经过地点的顺序不同来确认。

O－K－O这一行程表示始于配送中心，送货给客户后返回到配送中心。

节约S(K，M)表示将两个行程O－K－O、O－M－O合成为一个行程O－K－M－O后而节约的距离，计算公式见式3-2。

()()()()M
S,
,
K
+
=（3-2）
,-
,
M
M
Dist
K
O
Dist
O
K
Dist
K，M的取值范围同式3-1，节约矩阵表见表3-1。

表3-1 节约矩阵表
客户A 客户B …客户I …客户N 客户A S(A，A)
客户B S(B，A) S(B，B)
…………
客户I S(I，A) S(I，B) …S(I，I)
………………
客户N S(N，A) S(N，B) …S(N，I) …S(N，N) （3）将客户划归到不同运输线路
将客户划归到不同运输线路的运输工具时，总目标就是在完成送货任务的同时使总的节约最大化。

划分步骤为先把每一客户划分到各自独立的运输线路中去，然后不断把已有线路与剩下的某点进行合并。

合并优先权按照两条线路的节约大小确定，节约越大优先权越高。

合并可行性规则是两条运输线路上的运输总量不超过货车的最大载质量。

每一辆车的合并过程持续到合并不可行为止（即合并运货量超过车辆的最大载质量），然后进行另一辆车的合并，直到所有的客户订货量都被划归到相应的运输车辆中。

（4）排定车辆的初始送货线路
排定送货线路即是确定每一辆车为对应客户送货的先后顺序，目的是使每一运输车辆的运输行程或运输成本最小化。

实际应用中，客户要求被服务的时间经常有一定的限制，即时间窗。

时间窗分为硬时间窗（Hard Time Window）和软时间窗（Soft Time Window）。

硬时间窗是指对某客户的服务必须在给定的时间段内进行，否则该客户拒绝接收服务；软时间窗是指可以不在指定的时间段内提供服务，但在此时间段外提供服务时，必须补偿由之而为客户带来的损失[6]。

本文研究带软时间窗的送货路线优化问题，在这里引入惩罚函数的概念，亦即当某个客户的时间窗要求得不到满足时，则给予访问它的车辆一定的惩罚[7]。

设某个客户K ,LT K)，若车辆在ET K之前到达K点，则车辆需在此等待，发生机会成本损
的时间窗为(ET
K
失；若车辆在LT
之后到达K点，则服务被延误，须支付一定的罚金。

据此，设置如下惩罚
K
函数，见式3-3。

()()⎪⎩⎪
⎨⎧>-≤≤<-=K
K K K
K K K K K
K K K K K K LT t LT t LT t ET ET t t ET t P ,
,
0,)(βα （3-3）
在上式中，K t 是车辆到达客户点的时刻；K α、K β是惩罚系数，可以用单位时间的运输距离或运输成本表示，其取值大小按照客户的重要程度或对送货时间要求的严格程度确定。

客户越重要、对时间要求越严格，K α、K β的值就取得越大；()K K t P 是惩罚运输距离或成本[8]。

本文用
运输距离作为惩罚函数，在进行送货路线排定时将惩罚距离叠加到原有实际运输距离中，使得原有路线长度增大而重新进行优化。

因此优化过程中送货路线必定不断逼近满足客户的时间要求，因为这样才能使得运输总距离不断变短，从而最终得到的运输总距离最短的送货线路必定完全或者最大程度满足客户的送货时间要求。

引入惩罚距离函数以后，可以采用以下方法排定车辆的初始送货线路。

值得一提的是在进行路线长度或其增加值的计算过程中都必须把各客户点的对应惩罚函数值考虑进去[9]。

①最远插入法。

该方法以配送中心为运输线路的初始点，以规划到同一车辆的尚未纳入运输线路的客户点为集合，分别测算出集合中的每一点插入到已有线路的任何位置（起始点除外）后得到的线路长度的增加值，从中选出最小值，即求得该点插入后对已有线路原有长度的最小增加值；然后把集合里所有点的最小增加值进行比较，选取其中的最大值，并将该值对应的客户点纳入已有线路，得到一个新的行程。

重复进行这一过程，持续到所有属于该线路的客户点全部被纳入为止。

因为距离当前线路最远的客户被一一纳入，因此这种方法被称为最远插入法。

②最近插入法。

顾名思义，这是一种与上面纳入线路原则完全相反的方法，即是以配送中心为线路始点，然后测算出该线路中其余各点插入到已有线路任何位置后带来的线路长度最小增加值，最后把各点最小增加值中的最小值对应的客户点纳入并不断得到新的行程，直到所有客户被纳入为止。

这种方法被称为最近插入法，因为是把距离当前线路最近的客户纳入。

③最近邻居法。

该方法从配送中心出发，每一步通过把与刚刚纳入客户距离最近的客户纳入而扩展行程，直到行程经过所有属于该线路的客户。

它与前两种方法的区别在于比较基准和插入位置不同，前者把剩余客户点与最近纳入的客户点的距离进行比较，新点只能一一往后插入；而后者是把剩余客户点插入后的新线路长度与原有线路长度进行比较，新点可以插入到当前线路中的任意位置。

（5）优化初始送货线路
[1] [10]
在运用上述线路排定方法得到某种初始的送货线路后，可以运用以下方法对其进行改进，从而得到使运输行程变短或运输成本变小的优化送货线路。

①二分法。

该方法从一个初始行程出发，在两处将其切断，使得现有行程一分为二，见图例3-1。

而这两部分又可以用四种不同的方法进行合并。

测量出每一种合并方法得到的新线路的长度，选取最小的线路作为结果保留下来。

反复进行这一过程，直到不再存在改进的可能为止，从而得到最优的送货线路。

②三分法。

与二分法不同的是，该方法将已有行程在三处切断，一分为三，将其合并为八种不同的新线路，然后测算出每条新线路的长度，保留长度最短的线路。

这一过程仍将持续到无法改进为止。

4 实例
某公司配送中心（DC）于某天上午收到来自12个不同客户的订单。

配送中心及每个客户的位置坐标和订货量见表4-1。

中心共有4辆卡车，每辆卡车的最大承载量是225单位（1单位＝0.1吨）。

用节约矩阵法确定每辆卡车的送货客户及送货线路。

表4-1 客户坐标及订货需求表
X坐标Y坐标订货量配送中心-12074
顾客1 -5655
顾客2 -15768
顾客3 -129109
顾客4 -31581
顾客5 02041
顾客6 21774
顾客7 4752
顾客8 6180
顾客9 61540
顾客10 720103
顾客11 9775
顾客12 -12074
解：①运用式3-1计算确定出距离矩阵见表4-2。

表4-2 距离矩阵表
配送
中心 1 23456789101112配送0
中心
1 1
2 0
2 8 90
3 17 8100
4 1
5 9840
5 15 17914110
6 20 2315201660
7 17 22132016540
8 8 17919161114100
9 6 1812222017201660
10 16 231422199848140
11 21 281826221176131950
12 11 22142421141612579130
②运用式3-2计算确定出节约矩阵见表4-3。

表4-3 节约矩阵表
1 23456789101112
1 0
2 110
3 21150
4 1815280
5 101418190
6 9131719290
7 712141627330
8 376121214150
9 021146780
10 51011122128291680
11 5111214253432168330
12 1545121516141018190
③将客户划归不同的运输车辆。

由表4-3可知，最大的节约来自客户6和11，节约量为34，两者总运量为144，小于225，
因此将6和11合并。

与6或11相关的下一个最大的节约是6和7，节约量为33，三者总运量
为218，小于225，因此将11、7、6合并。

与11、7、6相关的最大节约为10和11，节约量为33，四者总运量为287，大于225，因此合并不可行，暂时停止本次合并。

最终得到第一条路线
6、7和11。

排除客户11、6、7。

接下来最大的节约来自3和4，节约量为28，两者总运量为177，小
于225，因此将3和4合并。

与3和4相关的最大节约来自3和1，节约量为21，三者总运量为251，大于225，合并不可行。

与3和4相关的最大节约来自4和5，节约量为19，三者总运量
为258，大于225，合并不可行。

与3和4相关的最大节约来自2和3，节约量为15，三者总运量为232，大于225，合并不可行。

与3和4相关的最大节约来自4和10，节约量为12，三者总运量为246，大于225，合并不可行。

与3和4相关的最大节约来自4和8，节约量为12，三者总运量为229，大于225，合并不可行。

最终得到第二条路线是3和4。

排除客户3、4。

接下来最大的节约来自5和10，节约量为21，两者总运量为150，小于225，因此5和10合并。

与5和10相关的最大节约来自10和12，节约量为18，三者总运量为225，合并可行，最终得到第三条路线是5、10和12。

排除客户5、10和12。

接下来最大的节约来自1和2，节约量为11，两者总运量为129，小于225，因此1和2合并。

剩下客户8和9，加入客户8，三者总运量为181，合并可行。

加入客户9，,四者总运量为221，合并可行，最终得到第四条路线是1、2、8和9。

④排定每辆货车的初始送货线路。

本例中采用最远插入法排定初始送货线路，且不考虑时间窗问题。

采用最远插入法安排的初始送货路线也是最优路线。

对于第一组{6，7，11}，最初的行程只包括配送中心，长度为0。

纳入客户11，长度增加了42；纳入客户6，长度增加了40；纳入客户7，长度增加了34；运用最远插入法，首先纳入客户11得到一条新的路线（配送中、客户11、配送中心），长度为42。

下一步再纳入客户6，使行程长度增加至48；纳入客户7，使行程长度增加至44。

因此，纳入客户6，得到了长度为48的一条新的线路（配送中心、客户11、客户6、配送中心）。

现在还剩下客户7，因此把客户7放在客户6之后。

因此第一条线路的优化结果为配送中心、客户11、客户6、客户7、配送中心，路线长度为49，卡车载重量为218。

采用同样的方法（步骤略）可以确定出其余路线的最优送货路线，见表4.4。

表4-4 某公司某日送货行程安排表
货车送货路线行程长度每辆货车装载量
1 DC－11－6－7－DC 49 218
2 DC－3－4－DC 40 177
3 DC－10－5－12－DC 50 225
4 DC－1－8－2－9－DC 56 221
5 结语
本文针对我国目前物流配送业务中存在的问题，从实用化的角度出发，以总运输距离最短或总运输成本最小为目标，提出了一种操作简单、效果良好的带软时间窗的送货线路优化方法——节约矩阵法，详细阐述了其操作步骤，并列举其应用实例。

由于篇幅有限，实例中没有考
虑时间窗的限制。

节约矩阵法方法可以由人工或者借助计算机简易程序即能求解，并且能够较好地提高送货效益及降低送货成本，对我国现有物流配送系统送货线路的优化与决策有一定的参考和实用价值。

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