必修5第二章水平测试

第二章水平测试
(测试时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．有穷数列1,23,26,29，…，23n ＋6的项数是( ) A ．3n ＋7 B ．3n ＋6 C ．n ＋3 D ．n ＋2
[答案] C
[解析] 此数列的次数依次为0,3,6,9，…，3n ＋6，为等差数列，且首项a 1＝0，公差为d ＝3，设3n ＋6是第x 项，则3n ＋6＝0＋(x －1)×3⇒x ＝n ＋3.
2．[2015·衡水高二检测]等比数列{a n }中，已知前4项之和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q 为( )
A ．2
B ．－2
C ．2或－2
D ．2或－1 [答案] C
[解析] S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝1，①
S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝17，②
②÷①得1＋q 4＝17，q 4＝16. q ＝±2.
3．[2015·湖北荆州检测]《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的1
7是较小的两份之和，
则最小的1份为( )
A.53
B.5
6 C.103 D.116
[答案] A
[解析] 设此等差数列的首项为a 1，公差为d ，由题意可得a 1＋a 1＋d ＋a 1＋2d ＋a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝100，
即a 1＋2d ＝20.①
1
7(a 1＋2d ＋a 1＋3d ＋a 1＋4d )＝a 1＋a 1＋d ， 整理得 d ＝11
2a 1② 把②代入①得a 1＝5
3. 4．下列四个命题：
①若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列；
②若{a n }为等差数列，且常数c >0且c ≠1，则数列{ca n }为等比数列；
③若{a n }为等比数列，则数列{a 4n }为等比数列； ④非零常数列既是等差数列，又是等比数列． 其中，真命题的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 [答案] C
[解析] 对于①当a 、b 、c 都为零时，命题不成立；②③④成立． 5．[2015·浙江高考]已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n .若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )
A ．a 1d >0，dS 4>0
B ．a 1d <0，dS 4<0
C ．a 1d >0，dS 4<0
D ．a 1d <0，dS 4>0
[答案] B
[解析] 由a 2
4＝a 3a 8，得(a 1＋2d )(a 1＋7d )＝(a 1＋3d )2，整理得d (5d
＋3a 1)＝0，又d ≠0，∴a 1＝－53d ，则a 1d ＝－5
3d 2<0，又∵S 4＝4a 1＋6d ＝－23d ，∴dS 4＝－23d 2
<0，故选B.
6．[2015·江西高二检测]已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10＝( )
A ．1
B ．9
C ．10
D ．55
[答案] A
[解析] S 2＝S 1＋S 1＝2，可得a 2＝1，S 3＝S 1＋S 2＝3，可得a 3＝S 3－S 2＝1，同理可得a 4＝a 5＝…＝a 10＝1.
7．小正方形按照如图所示的规律排列：
每个图中的小正方形的个数构成一个数列{a n }，有以下结论：①a 5＝15；②数列{a n }是一个等差数列；③数列{a n }是一个等比数列；④数列的递推公式为：a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N *)．其中正确的命题序号为( )
A ．①②
B ．①③
C ．①④
D ．①
[答案] C
[解析] 当n ＝1时，a 1＝1；当n ＝2时，a 2＝3，当n ＝3时，a 3
＝6；当n ＝4时，a 4＝10，…观察图中规律，有a n ＋1＝a n ＋n ＋1，a 5
＝15.故①④正确．
8．数列{a n }满足3＋a n ＝a n ＋1(n ∈N *
)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 1
6
(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )
A ．－2
B ．－1
2 C ．2 D.12
[答案] A
[解析] 由3＋a n ＝a n ＋1(n ∈N *)得a n ＋1－a n ＝3. ∴数列{a n }是以3为公差的等差数列． 由a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝9，得a 4＝3.
∴log 16(a 5＋a 7＋a 9)＝log 16(3a 7)＝log 1
6[3(a 4＋3d )] ＝－log 6[3(3＋9)]＝－log 636＝－2.
9．等差数列{a n }共有2n ＋1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为( )
A ．28
B ．29
C ．30
D ．31
[答案] B
[解析] 可知中间项为第n ＋1项， 依题意得⎩⎪⎨
⎪⎧
(n ＋1)(a 1
＋a 2n ＋1
)2
＝319，n (a 2
＋a 2n
)2＝290.
∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴n ＋1n ＝319
290，得n ＝10.
又S 2n ＋1＝(2n ＋1)·(a 1＋a 2n ＋1)
2＝(2n ＋1)·a n ＋1＝319＋290，∴a n ＋1
＝a 11＝609
21＝29.
10．若数列{a n }是等差数列，a 1>0，a 2009＋a 2010>0，a 2009·a 2010<0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( )
A ．4017
B ．4018
C ．4019
D ．4020
[答案] B
[解析] 由a 2009＋a 2010>0，a 2009·a 2010<0及a 1>0得a 2009>0，a 2010<0，且|a 2009|>|a 2010|，
∴S 4017＝4017(a 1＋a 4017)2＝4017a 2009>0. S 4018＝4018(a 1＋a 4018)2＝4018(a 2009＋a 2010)2>0， S 4019＝4019(a 1＋a 4019)2
＝4019a 2010<0. 11．[2015·武汉高二检测]已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1.若数列
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n ＋1为等差数列，则a 11等于( ) A ．0 B.12 C.2
3 D ．－1
[答案] B
[解析] 设b n ＝1a n ＋1，则b 3＝1a 3＋1＝13，b 7＝1a 7＋1＝1
2.
{b n }为等差数列，设其公差为d ，
则d ＝b 7－b 37－3＝12－1
34＝124.
∴b 11＝b 7＋4d ＝12＋424＝2
3， 即1
a 11＋1
＝23，解得a 11＝1
2. 12．[2015·福建高考]若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
[答案] D
[解析] 由题可知a ，b 是x 2－px ＋q ＝0的两根，∴a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0，故a ，b 均为正数．∵a ，b ，－2适当排序后成等比数列，∴－2 是a ，b 的等比中项，得ab ＝4，∴q ＝4.又a ，b ，－2适当排序后成等差数列，所以－2是第一项或第三项，不妨设a <b ，则－2，a ，b
成递增的等差数列，∴2a ＝b －2，联立⎩⎨
⎧
2a ＝b －2，ab ＝4，
消去b 得a 2＋a
－2＝0，得a ＝1或a ＝－2，又a >0，∴a ＝1，此时b ＝4，∴p ＝a ＋b ＝5，∴p ＋q ＝9，选D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上．)
13．等差数列{a n }的公差为d >0，其前n 项和为S n ，满足S 9<0，S 10>0，则n ＝________时S n 最小．
[答案] 5
[解析] 由于S 9<0，得S 9＝9(a 1＋a 9)
2＝9a 5<0， ∴a 5<0，S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 5＋a 6)>0， ∴a 6>0，因此前5项和最小．
14．[2015·江苏高考]设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n
∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 前10项的和为________．
[答案] 20
11
[解析] 由a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)得， a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)
2，
则1a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫1n －1n ＋1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和S 10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋110－111＝2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1－111＝2011. 15．[2014·课标全国卷Ⅱ]数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n
，a 8＝2，则
a 1＝________.
[答案] 1
2
[解析] 将a 8＝2代入a n ＋1＝1
1－a n
可求得a 7＝12；再将a 7＝1
2代入
a n ＋1＝11－a n 可求得a 6＝－1；再将a 6＝－1代入a n ＋1＝1
1－a n 可求得a 5
＝2；由此可推出数列{a n }是一个周期数列，且周期为3，所以a 1＝a 7
＝12.
16．定义一种运算“*”，对于自然数n 满足以下运算性质： ①1] . [答案] 3n －1
[解析] 由(n ＋1)*1＝3(n *1)知{n *1}构成一个公比为3的等比数列，其首项为1]
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)已知等差数列{a n }，a 6＝5，a 3＋a 8＝5. (1)求{a n }的通项公式a n ；
(2)若数列{a n }满足b n ＝a 2n －1，求{b n }的通项公式b n . [解] (1)设{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意
⎩⎨
⎧
a 1＋5d ＝5，2a 1＋9d ＝5，
∴⎩⎨
⎧
a 1＝－20，d ＝5，
∴a n ＝5n －25.
(2)由(1)a n ＝5n －25， b n ＝a 2n －1＝5(2n －1)－25 ＝10n －30.
18．[2014·福建高考](本小题满分12分)在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81.
(1)求a n ；
(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . [解]
(1)设{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎨⎧
a 1q ＝3，
a 1q 4
＝81，
解得⎩⎨
⎧
a 1＝1，q ＝3.
所以a n ＝3n －1.
(2)∵b n ＝log 3a n ＝n －1，
∴数列{b n }的前n 项和S n ＝n (b 1＋b n )2
＝n 2－n
2. 19．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝10－3n ，求|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |.
[解] 当a n ＝10－3n ≥0时，n ≤3， 所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |
＝⎩⎨
⎧
a 1＋a 2＋…＋a n (n ≤3)，a 1＋a 2＋a 3－a 4－…－a n (n ≥4)，
＝⎩⎪⎨⎪⎧
n (a 1＋a n )2(n ≤3)，
2(a 1＋a 2＋a 3)－(a 1＋a 2＋…＋a n )(n ≥4)，
＝⎩⎪⎨
⎪⎧
－3n 2＋17n
2
(n ≤3)，3n 2
－17n ＋482
(n ≥4).
20．[2013·广东高考](本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *.
(1)求a 1的值；
(2)求数列{a n }的通项公式．
[解] (1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－1.因为T 1＝S 1＝a 1，所以a 1＝2a 1
－1，解得a 1＝1.
(2)当n ≥2时，
S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2]＝2S n －2S n －1－2n ＋1， 所以S n ＝2S n －1＋2n －1 ①， 所以S n ＋1＝2S n ＋2n ＋1 ②， ②－①得a n ＋1＝2a n ＋2，
所以a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，即a n ＋1＋2
a n ＋2＝2(n ≥2)，
易得a 1＋2＝3，a 2＋2＝6，则a 2＋2
a 1＋2
＝2，
所以{a n ＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列， 所以a n ＋2＝3·2n －1，所以a n ＝3·2n －1－2，n ∈N *.
21．[2015·赤峰高二检测](本小题满分12分)已知递增的等比数列{a n }前三项之积是512，且这三项分别减去1,3,9后又成等差数列，
求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
n a n 的前n 项的和S n .
[解] 设数列{a n }的公比为q ，据题意有 ⎩⎨⎧
a 1a 2a 3＝a 31·
q 3＝512，2(a 1q －3)＝a 1－1＋a 1q 2
－9，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝16q ＝1
2
(舍去)或⎩⎨
⎧
a 1＝4，
q ＝2.
∴a n ＝4·2n －1＝2n ＋1.
设b n ＝n
a n
＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，则 S n ＝1×⎝ ⎛⎭
⎪⎫122＋2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫123＋…＋n ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12
n ＋1
，
12S n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋…＋(n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＋n ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n ＋2， 两式相减，得
12S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－n ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n ＋2， ∴S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n ＋1. 22．[2015·课标全国卷Ⅰ](本小题满分12分)S n 为数列{a n }的前n
项和，已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝1a n a n ＋1
，求数列{b n }的前n 项和． [解] (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.
可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即
2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．
由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.
又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3. 所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1.
(2)由a n ＝2n ＋1可知
b n ＝1a n a n ＋1＝1
(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n ＋1－12n ＋3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则
T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝12⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n ＋1－12n ＋3
＝n 3(2n ＋3).。