高考数学二轮 选择题的解法名师精编精析(21)

第二十一讲 选择题的解法
一、题型特点：
1．高考数学试题中，选择题注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，体现以考查“三基”为重点的导向，能否在选择题上获取高分，对高考数学成绩影响重大.解答选择题的基本要求是四个字——准确、迅速.
2．选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面. 解答选择题的基本策略是：要充分利用题设和选择支两方面提供的信息作出判断。

一般说来，能定性判断的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判断的，就不必采用常规解法；能使用间接法解的，就不必采用直接解；对于明显可以否定的选择应及早排除，以缩小选择的范围；对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等。

解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确。

3．解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法；但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答.因此，我们还要掌握一些特殊的解答选择题的方法.
二、例题解析
1.直接求解法 涉及数学定义、定理、法则、公式的应用的问题，常通过直接演算得出结果，与选择支进行比照，作出选择，称之直接求解法．
例1、 圆x2＋2x ＋y2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有（ ） Ａ.1个 Ｂ.2个 Ｃ.3个 Ｄ.4个
解 :本题的关键是确定已知直线与圆的相对位置,这就需对圆心到直线的距离作定量分析．将圆的方程化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝(22)2,∴ r ＝22.∵ 圆心(－1，－2)到直
线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝2|
121|+--＝2,恰为半径的一半．故选Ｃ．
例2、设F1、F2为双曲线42
x －y2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上满足∠F1PF2＝90o ，则△F1PF2的面积是（ ）
Ａ.1 Ｂ.5/2 Ｃ.2 Ｄ.5
解 ∵ |PF1|－|PF2|＝±2a ＝±4，∴ |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝16，
∵ ∠F1PF2＝90o ，∴ 2
1PF F S ∆＝21|PF1|·|PF2|＝41(|PF1|2＋|PF2|2－16). 又∵ |PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝20.∴ 21PF F S ∆＝1，选Ａ．
例3、 椭圆mx2＋ny2＝1与直线x ＋y ＝1交于A 、B 两点，过AB 中点M 与原点的直线斜率为22，则n m 的值为（ ）
Ａ.22 Ｂ.33
2 Ｃ.1 Ｄ.23
分析:命题：“若斜率为k(k ≠0)的直线与椭圆22a x ＋22b y ＝1（或双曲线22a x －22
b y ＝1）相交于
A 、
B 的中点，则k ·kOM ＝－22a b (或k ·kOM ＝22
a b )，”（证明留给读者）在处理有关圆锥曲线
的中点弦问题中有着广泛的应用．运用这一结论，不难得到：
解 ∵ kAB ·kOM ＝－22a b ＝－m n 11＝－n m ,∴ n m ＝－kAB ·kOM ＝1·22＝22
，故选Ａ．
2.直接判断法
例1、甲：二面角相等或互补．”则甲是乙的（ ） Ａ.充分而非必要条件 Ｂ.必要而非充分条件 Ｃ.充要条件 Ｄ.既非充分又非要条件
分析 显然“乙⇒甲”不成立，因而本题关键是判断
“甲⇒乙”是否成立？由反例：正方体中，二面角A1－AB －C 与B1－DD1－A 满足条件甲(图31－1)，但它们的度数
分别为90o 和45o ，并不满足乙，故应选Ｄ．
例2、下列四个函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） Ａ.f(x)＝x ＋lg x a x
a -+ Ｂ.f(x)＝(x －1)11-+x x Ｃ.f(x)＝2|2|12
-+-x x Ｄ.f(x)＝111122+--+++x x x x
解 由于选择支Ｂ给出的函数的定义域为[－1，1]，该定义区间关于原点不对称，故选Ｂ．
3、特殊化法（即特例判断法）
例1．如右下图,定圆半径为a ，圆心为 ( b ,c ), 则直线ax+by+c=0
与直线 x –y+1=0的交点在( B )
A. 第四象限
B. 第三象限
C. 第二象限
D. 第一象限
提示：取满足题设的特殊值a=2，b=–3，c=1 解方程231010x y x y -+=⎧⎨-+=⎩ 得 21x y =-⎧⎨=-⎩
于是排除A 、C 、D ，故应选B 例2．函数f(x)=Msin(ϕ+ωx ) (0>ω)在区间[a ，b]上是增函数，且f(a)=–M ，
f(b)=M ，则函数g(x)=Mcos(ϕ+ωx )在[a ，b]上（ C ）
A ．是增函数
B ．是减函数
C ．可以取得最大值M
D ．可以取得最小值–M 解：取特殊值。

令ϕ=0，1,1M ω==，则()sin f x x =
因()1,()122f f ππ-=-=，则
[,][,]22a b ππ
=-，这时()cos g x x =, 显然应选C 例3．已知等差数列{an}的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ C ）
A ．130
B ．170
C ．210
D ．260
解：特殊化法。

令m=1，则a1=S1=30，又a1+a2=S2=100 ∴a2=70, ∴等差数列的公差d=a2–a1=40，于是a3=a2+d=110, 故应选C 例4．已知实数a ，b 均不为零，β=α-αα+αtan sin b cos a sin b sin a ，且6π=α-β，则a b 等于（ B ）
A ．3
B ．33
C ．–3
D ．–33
提示：特殊化法。

取
0,6παβ==
，则tan 63b a π== 故应选B
4、排除法（筛选法） 例1．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-)0x (x )0x (12)x (f 21
x ，若f(x0)>1，则x0的取值范围是（ D ）
A ．(–1,1)
B ．(–1,+∞)
C ．(–∞,–2) (0,+∞)
D ．(–∞,–1) (1,+∞) 例2．已知θ是第三象限角，|cos θ|=m ，且02cos 2sin >θ+θ，则
2cos θ等于（ D ） A ．
2m 1+ B ．–2m 1+ C ．2m 1- D ．–2m
1- 例3．已知二次函数f(x)=x2+2(p –2)x+p ，若f(x)在区间[0，1]内至少存在一个实数c ，使f( c)>0，
则实数p 的取值范围是（ C ）
A ．（1，4）
B ．（1，+∞）
C ．（0，+∞）
D ．（0，1）
点评：排除法，是从选择支入手，根据题设条件与各选择支的关系，逐个淘汰与题设矛盾的选择支，从而筛选出正确答案。

5、数形结合法（图象法） 根据题目特点，画出图象，得出结论。

例1．对于任意x ∈R ，函数f(x)表示–x+3，312
2x +，x2–4x+3中的较大者，则f(x)的最小值是（ A ）
A ．2
B ．3
C ．8
D ．–1
例2．已知向量(2,0)OB =，向量(2,2)OC =，
向量(2)CA αα=，则向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围是（ D ）
A ．[0，4π]
B ．[4π，512π]
C ．[512π，2π]
D ．[12π，512π
]
例3．已知方程|x –
∈N*)在区间[2n –1，2n+1]上有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ B ）
A ．k>0
B ．0<k
C ．1
21n +≤k
D ．以上都不是
6、代入检验法（验证法）
将选择支中给出的答案（尤其关注分界点），代入题干逐一检验，从而确定正确答案的方法为验证法。

例1．已知a ，b 是任意实数，记|a+b|，|a –b|，|b –1|中的最大值为M ，则（D ）
A ．M ≥0
B ．0≤M ≤12
C ．M ≥1
D ．M ≥1
2
解：把M=0代入，排除A 、B ；再把M=1
2代入检验满足条件，排除C 。

例2．已知二次函数
2()2(2)f x x p x p =+-+，若在区间[0，1]内至少存在一个实数c ，使()0f c >，则实数p 的取值范围是（ C ）
A ．（1，4）
B ．（1，+∞）
C ．（0，+∞）
D ．（0，1）
解：取p=1代入检验。

例3．(2004广东)变量x ，y 满足下列条件：21229362324
0,0x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨+=⎪⎪≥≥⎩
则使得z=3x+2y 的值的最小的(x ，y)是（ B ）
A ．（4.5，3）
B ．（3，6）
C ．（9，2）
D ．（6，4）
解：一一代入检验。

代入运算后比较大小。

7、推理分析法
通过对四个选择支之间的逻辑关系的分析，达到否定谬误支，肯定正确支的方法，称之为逻辑分析法，例如：若“(A)真 ⇒ (B)真”，则(A)必假，否则将与“只有一个选择支正确”的前提相矛盾．
例1 当x ∈[－4，0]时，a ＋x x 42--≤34
x ＋1恒成立，则a 的一个可能值是（ ）
Ａ.5 Ｂ.35 Ｃ.－35
Ｄ.－5
解 ∵ x x 42--≥0， ∴ (A)真⇒(B)真⇒(C)真⇒(D)真， ∴ (D)真.
例3、已知sin θ ＝53+-m m ,cos θ ＝524+-m m （2π＜θ ＜π）,则tg 2θ
＝( ).
Ａ.m m --93 Ｂ.|m m --93| Ｃ.31
Ｄ.5
解 因受条件sin2θ ＋cos2θ ＝1的制约，故m 为一确定值，于是sin θ 、cos θ 的值应与
m 无关，进而推知tg 2θ的值与m 无关，∵ 2π＜θ ＜π， ∴ 2θ∈(4π，2π)，∴ tg 2θ
＞1，故选(Ｄ)．
注:直接运用半角公式求tg 2θ，将会错选(Ａ)．若直接计算，由(53+-m m )2＋(524+-m m
)2＝1，
可得m ＝0或m ＝8，∵ 2π
＜θ ＜π， ∴ sin θ ＞0，cos θ ＜0，故应舍去m ＝0，取m ＝8，
得sin θ ＝135，cos θ ＝1312-,再由半角公式求出tg ＝2θ
＝5,也不如上述解法简捷.
三、练习
1已知点P （sin α-cos α,tan α）在第一象限，则在)2,0[π内α的取值范围为（ B ） A )45,()4
3,2(ππππ B )45,()2,4(ππππ C )23,45()43,2(ππππ D ),43()2,4(ππππ
2一个直角三角形的三内角成等比数列，则其最小内角为（ B ） A 215arccos
- B 215arcsin - C 251arccos - D 251arcsin -
3若)22(,cot tan sin παπααα<<-
>>，则∈α（ B ） A )4,2(ππ-- B )0,4(π- C
)4,0(π D )2,4(ππ 4函数
)1,(156≠∈-+=x R x x x y 的反函数为（ B ） A )1,(156≠∈-+=
x R x x x y B )6,(65≠∈-+=x R x x x y C
)65,(561-≠∈+-=x R x x x y D )5,(56-≠∈+-=x R x x x y 5已知函数)2(log ax y a -=在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围为（ B ）
A （0，1）
B （1，2）
C （0，2）
D ),2[+∞
6．（07天津）设a b c ，，均为正数，且122log a a =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2c
c ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则
（ A ）
Ａ．a b c << Ｂ．c b a << Ｃ．c a b << Ｄ．b a c << 7设f(x)是定义在实数集R 上的任意一个增函数，且F （x ）=f(x)-f(-x),那么F （x ）应为（ A ）
A 增函数且是奇函数
B 增函数且是偶函数
C 减函数且是奇函数
D 减函数且是偶函数
解: 取f(x)=x ，知F （x ）=x-(-x)=2x ，故选A 。

8定义在),(+∞-∞上的奇函数)(x f 为增函数，偶函数)(x g 在区间),0[+∞的图象与)(x f 的图象重合，设0>>b a ，给出下列不等式：
1）f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) 2) f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b)
3) f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a) 4) f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a)
其中成立的是（ C ）
A 1）与2）
B 2）与3）
C 1）与3）
D 2）与4）
9若)
,0(,),cos (cos 31sin sin πβααββα∈-=
+，则βα-的值为（ D ） A 32π- B 3π- C 3π D 32π
10将直线3x-y+2=0绕原点按逆时针方向旋转900，得到的直线方程为（ A ）
A x+3y+2=0
B x+3y-2=0
C x-3y+2=0
D x-3y-2=0
11已知集合A=}1|||||),{(≤+y x y x ，B ＝
}1|),{(22≤+y x y x ，C }1||,1|||),{(≤≤y x y x 的则A 、B 、C 的关系是（ C ）.
A.B A C ⊂⊂
B. A B C ⊂⊂
C.C B A ⊂⊂
D. C A B ⊂⊂
12集合=P {x ，1}，=Q {y ，1，2}，其中∈y x ，{1，2，…，9}且Q P ⊂，把满足上述条件的一对有序整数（y x ，）作为一个点，这样的点的个数是(B)
（A ）9 （B ）14 （C ）15 （D ）21
13已知函数3)(x x x f --=，1x ，2x ，∈3x R ，且021>+x x ，032>+x x ，013>+x x ，则
)()()(321x f x f x f ++的值(B)
（A ）一定大于零 （B ）一定小于零 （C ）等于零 （D ）正负都有可能
14已知1是2a 与2
b 的等比中项，又是a 1与b 1的等差中项，则22b a b
a ++的值是 (D) （A ）1或21 （B ）1或21- （C ）1或31 （D ）1或31-
15平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （2，－1），B （－1，3），若点C 满足OB OA OC βα+=其中0≤βα，≤1，且1=+βα，则点C 的轨迹方程为(C)
（A ）0432=-+y x （B ）25)1()21(22=-+-y x
（C ）0534=-+y x （－1≤x ≤2） （D ）083=+-y x （－1≤x ≤2）
16．已知定义域为R 的函数()f x 在(8)+∞，
上为减函数，且函数(8)y f x =+为偶函数，则（ D ）
Ａ．(6)(7)f f > Ｂ．(6)(9)f f > Ｃ．(7)(9)f f > Ｄ．(7)(10)f f > 17下列各图是正方体或正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是
(D)
P
P Q Q R S S
P P P Q Q R R R S S S
P
P P Q Q Q R R S S
S P P Q Q R R R S
S
（A ） （B ） （C ） （D ） 18如图所示，单位圆中弧AB 的长为x,f(x)表示弧AB 与弦AB
所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是 ( D )
19为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4.a b b c c d d +++例如，明
文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（B ）
（A ）7,6,1,4 （B ）6,4,1,7 （C ）4,6,1,7 （D ）1,6,4,7
20关于x 的方程()01122
2=+---k x x ，给出下列四个命题：
①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根.
其中假命题的个数是 （A ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
21设21()1x x f x x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩，≥，，，()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[)0+，∞，则()g x 的值域
是（ C ）
A ．
(][)11--+∞，，∞ B ．(][)10--+∞，，∞ C ．[)0+，∞ D ．[)1+，∞
22如果
111A BC ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（ D ） A ．
111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．
111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形 C ．
111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形 D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形
23已知非零向量AB 与AC 满足().0AB
AC
BC AB AC +=且1..2AB AC AB AC =则ABC ∆为（A ）
（A ）等边三角形 （B ）直角三角形 （C ）等腰非等边三角形 （D ）三边均不相等的三角形
24已知双曲线22
221(00)x y a b a b -=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是准线上一点，
且12PF PF ⊥，124PF PF ab =，则双曲线的离心率是（ B ）
Ｃ．2Ｄ．3
25如图，平面中两条直线1
l和
2
l相交于点O，对于平面上任意一点M，
若
p、q分别是M到直线
1
l和
2
l的距离，则称有序非负实数对（p，
q）是点M的“距离坐标”．已知常数p≥0，q≥0，给出下列命题：
①若
p＝q＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点
有且仅有1个；
②若
pq＝0，且p＋q≠0，则“距离坐标”为
（
p，q）的点有且仅有2个；
③若
pq≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个．
上述命题中，正确命题的个数是( D )
（A）0；（B）1；（C）2；（D）3．
26（06江西）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）f x
'（）≥0，则必有（ C ）
f（0）＋f（2）<2f（1） B. f（0）＋f（2）≤2f（1）
C. f（0）＋f（2）≥2f（1）
D. f（0）＋f（2）>2f（1）
1
l
2
l
O
M（
p，q）。