人教版高中数学A版必修4章末检测卷 第二章 平面向量

章末检测卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．与向量a ＝(1，3)的夹角为30°的单位向量是( )
A ．(12，32)或(1，3)
B ．(32，12
) C ．(0,1) D ．(0,1)或(
32，12
) 答案 D
2．设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12
)，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22 C ．a －b 与b 垂直 D ．a ∥b
答案 C
3．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f 4，则f 4等于( )
A ．(－1，－2)
B ．(1，－2)
C ．(－1,2)
D ．(1,2)
答案 D
4．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则a ＋b ＋c 的模等于( )
A ．0
B ．2＋ 2 C. 2 D ．22
答案 D
解析 |a ＋b ＋c |＝|AB →＋BC →＋AC →|＝|2AC →|
＝2|AC →|＝2 2.
5．已知|a |＝5，|b |＝3，且a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 上的投影等于( )
A ．－4
B ．4
C ．－125 D.125
答案 A
6．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )
A ．－12a ＋32b B.12a －32
b
C.32a －12b D ．－32a ＋12
b 答案 B
解析 令c ＝λa ＋μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋μ＝－1，
λ－μ＝2，
∴⎩⎨⎧ λ＝12μ＝－32，
∴c ＝12a －32b . 7．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x 等于( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
答案 C
解析 ∵a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，
∴8a －b ＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．
又∵(8a －b )·c ＝30，
∴(6,3)·(3，x )＝18＋3x ＝30.∴x ＝4.
8．向量BA →＝(4，－3)，向量BC →＝(2，－4)，则△ABC 的形状为( )
A ．等腰非直角三角形
B ．等边三角形
C ．直角非等腰三角形
D ．等腰直角三角形
答案 C
解析 ∵BA →＝(4，－3)，BC →＝(2，－4)，
∴AC →＝BC →－BA →＝(－2，－1)，
∴CA →·CB →＝(2,1)·(－2,4)＝0，
∴∠C ＝90°，且|CA →|＝5，|CB →|＝25，|CA →|≠|CB →|.
∴△ABC 是直角非等腰三角形．
9．设点A (1,2)、B (3,5)，将向量AB →按向量a ＝(－1，－1)平移后得到A ′B ′→为( )
A ．(1,2)
B ．(2,3)
C ．(3,4)
D ．(4,7)
答案 B
解析 ∵AB →＝(3,5)－(1,2)＝(2,3)，平移向量AB →后得A ′B ′→，A ′B ′→＝AB →＝(2,3)．
10．若a ＝(λ，2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则λ的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭⎫103，＋∞
B.⎣⎡⎭
⎫103，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－∞，103 D.⎝
⎛⎦⎤－∞，103 答案 A
11．在菱形ABCD 中，若AC ＝2，则CA →·AB →等于( )
A ．2
B ．－2
C ．|AB →|cos A
D ．与菱形的边长有关
答案 B
解析
如图，设对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB →＝AO →＋OB →.
CA →·AB →＝CA →·(AO →＋OB →)
＝－2＋0＝－2.
12．设0≤θ<2π，已知两个向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P 1P 2
→长度的最大值是( )
A. 2
B. 3 C ．3 2 D ．23
答案 C
解析 ∵P 1P 2→＝OP 2→－OP 1→
＝(2＋sin θ－cos θ，2－cos θ－sin θ)，
∴|P 1P 2→|＝(2＋sin θ－cos θ)2＋(2－cos θ－sin θ)2＝10－8cos θ≤3 2.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 答案 －1
14．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a ·b ＝________.
答案 3
15．已知非零向量a ，b ，若|a |＝|b |＝1，且a ⊥b ，又知(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则实数k 的值为________．
答案 6
16.
如图所示，半圆的直径AB ＝2，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半
径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值是________．
答案 －12 解析 因为点O 是A ，B 的中点，
所以P A →＋PB →＝2PO →，
设|PC →|＝x ，则|PO →|＝1－x (0≤x ≤1)．
所以(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2x (1－x )
＝2(x －12)2－12
. ∴当x ＝12时，(P A →＋PB →)·PC →取到最小值－12
. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知O ，A ，B 是平面上不共线的三点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，
(1)用OA →，OB →表示OC →；
(2)若点D 是OB 的中点，证明四边形OCAD 是梯形．
(1)解 ∵2AC →＋CB →＝0，
∴2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0，
2OC →－2OA →＋OB →－OC →＝0，
∴OC →＝2OA →－OB →.
(2)证明 如图，DA →＝DO →＋OA →
＝－12OB →＋OA →＝12
(2OA →－OB →)．
故DA →＝12
OC →. 故四边形OCAD 为梯形．
18．(12分)已知a ，b ，c 在同一平面内，且a ＝(1,2)．
(1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c ；
(2)若|b |＝52
，且(a ＋2b )⊥(2a －b )，求a 与b 的夹角． 解 (1)∵c ∥a ，∴设c ＝λa ，则c ＝(λ，2λ)．
又|c |＝25，∴λ＝±2，∴c ＝(2,4)或(－2，－4)．
(2)∵()
a ＋2
b ⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0.
∵|a |＝5，|b |＝52，∴a·b ＝－52. ∴cos θ＝a·b |a||b |
＝－1，∴θ＝180°. 19．(12分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°，c ＝5a ＋3b ，d ＝3a ＋k b ，当实数k 为何值时：
(1)c ∥d ；(2)c ⊥d .
解 由题意得a·b ＝|a||b |cos 60°＝2×3×12
＝3. (1)当c ∥d ，c ＝λd ，则5a ＋3b ＝λ(3a ＋k b )．
∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k ＝95
. (2)当c ⊥d 时，c·d ＝0，则(5a ＋3b )·(3a ＋k b )＝0.
∴15a 2＋3k b 2＋(9＋5k )a·b ＝0，∴k ＝－2914
. 20．(12分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<α<β<π.
(1)求|a |的值；
(2)求证：a ＋b 与a －b 互相垂直．
(1)解 ∵a ＝(cos α，sin α)，
∴|a |＝cos 2α＋sin 2α＝1.
(2)证明 ∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝1－1＝0，∴a ＋b 与a －b 互相垂直．
21．(12分)已知向量OP 1→、OP 2→、OP 3→满足条件OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|＝1.
求证：△P 1P 2P 3是正三角形．
证明 ∵OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，
∴OP 1→＋OP 2→＝－OP 3→，
∴(OP 1→＋OP 2→)2＝(－OP 3→)2，
∴|OP 1→|2＋|OP 2→|2＋2OP 1→·OP 2→＝|OP 3→|2，
∴OP 1→·OP 2→＝－12， cos ∠P 1OP 2＝OP 1→·OP 2→|OP 1→|·|OP 2→|
＝－12， ∴∠P 1OP 2＝120°.
∴|P 1P 2→|＝|OP 2→－OP 1→|＝
(OP 2→－OP 1→)2 ＝OP 1→2＋OP 2→2－2OP 1→·OP 2→＝ 3.
同理可得|P 2P 3→|＝|P 3P 1→|＝ 3.
故△P 1P 2P 3是正三角形．
22．(12分)已知正方形ABCD ，E 、F 分别是CD 、AD 的中点，BE 、CF 交于点P .求证：
(1)BE ⊥CF ；(2)AP ＝AB .
证明
如图建立直角坐标系xOy ，其中A 为原点，不妨设AB ＝2，
则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，
E (1,2)，
F (0,1)．
(1)BE →＝OE →－OB →＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)，
CF →＝OF →－OC →＝(0,1)－(2,2)
＝(－2，－1)，
∵BE →·CF →＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴BE →⊥CF →，即BE ⊥CF .
(2)设P (x ，y )，则FP →＝(x ，y －1)，CF →＝(－2，－1)，
∵FP →∥CF →，∴－x ＝－2(y －1)，即x ＝2y －2.
同理由BP →∥BE →，得y ＝－2x ＋4，代入x ＝2y －2. 解得x ＝65，∴y ＝85，即P ⎝⎛⎭⎫65，85.
∴AP →2＝⎝⎛⎭⎫652＋⎝⎛⎭⎫852＝4＝AB →2，
∴|AP →|＝|AB →|，即AP ＝AB .。