双曲线及其标准方程

双曲线及其 标准方程
一、知识回顾
1.椭圆的定义是什么？ (1)定义:平面内与两个定点F1,F2的距离之和等
于非零常数( 大于 |F1F2|)的点的轨迹. ①符号表示:|MF1|+|MF2|=2a (常数)(2a>|F1F2|). ②焦点:两个定点F1,F2. ③焦距:两个定点F1,F2 的距离,表示为|F1F2|.
双曲线的定义： 定义:平面内与两个定点F1,F2的距离之差的
绝对值等于非零常数( 小于 |F1F2|)的点的轨迹. ①符号表示:||MF1|-|MF2||=2a (常数)(0<2a<|F1F2|). ②焦点:两个定点F1,F2. ③焦距:两个定点F1,F2 的距离,表示为|F1F2|.
思考：
①当2a=|F1F2|时，轨迹是什么？ 点P的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线. ②当2a>|F1F2|时，轨迹又是什么？
PF1 x c2 y2 PF2 x c2 y2
由双曲线的定义式 PF1 PF2 2a 得
x c2 y2 x c2 y2 2a
整理得
x2 a2
c2
y2 a2
1
令 c2 a2 b2 ，则有
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0
这叫作双曲线的标准方程，其焦点在x轴上.
思考3 已知两定点F1(0,-5),F2(0,5),曲线上 的点P到F1,F2的距离之差的绝对值为6.求 曲线的方程，并画出曲线的草图.
四、课堂练习
选修2-1 教材P80练习1，2
五、课堂小结
这节课我们主要是类比椭圆的定义及标 准方程来学习双曲线的定义及其标准方程， 我们要熟练掌握双曲线的定义和它的标准 方程的推导及注意事项，还有它和椭圆的 相同点和不同点.
六、课后作业
选修2-1教材P83 习题3-3 A组 第1、2题
(±c,0)
(0，±c)
a2 b2 c2，a＞0，b＞0
三、思考探究
思考 1 已知双曲线的两个焦点坐标分别是 F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上的点到两个焦点的 距离之差的绝对值是6，求双曲线的标准方 程.
思考2 相距2km的两个哨所A,B听到远处传来 的炮弹爆炸声，在A哨所听到爆炸声的时间 比B哨所迟4s.已知当时的声速为340m/s， 试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出 曲线方程.
点P的轨迹是轨迹不存在.
问题3：我们在推导椭圆的方程时时怎么样建立 坐标系的？
问题4：我们能否以同样的方法建立坐标系来推 导双曲线的方程？
双曲线的标准方程
以线段F1F2所在直线为x轴，以线段F1F2的垂 直平分线为另y轴建立平面坐标系，如图 F1（ -c ,0 ）,F2 ( c , 0 ) P(x,y) 根据平面内两点间 距离公式有
思考：那么，当双曲线的焦点在y轴上时， 方程会是什么呢？
由定义有 x2 y c2 x2 y c2 2a
整理得
y2 a2
x2 b2
1a
0, b
0
双曲线标准方程整理表格如下： 焦点在x轴 焦点在y轴
图形
标准方程
焦点 a,b,c关系
x2 y2 1 a2 b2
y2 x2 1 a2 b2
2.椭圆的标准方程是什么？
焦点在x轴
焦点在y轴
图形
标准方程
焦点 a,b,c关系
x2 y2 a2 b2 1
y2Байду номын сангаасa2
x2 b2
1
(±c,0)
(0，±c)
a2 b2 c2 ，a＞b＞0，c＞0
二、问题探究
问题1：根据椭圆的定义我们可以类比出双 曲线的定义吗？
问题2：根据上一个问题你能总结出双曲线的 定义吗？