综合解析青岛版七年级数学下册第12章乘法公式与因式分解专题测评试题(名师精选)

七年级数学下册第12章乘法公式与因式分解专题测评
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、下列多项式能用“两数和（差）的平方公式”进行因式分解的是（ ）
A ．22x y +
B ．21x x -+
C ．221x x +-
D ．2441x x -+
2、()2212424
a m a a -=++，则m =（ ） A ．14 B ．1
4- C ．12 D ．1
2
- 3、下列运算正确的是（ ）
A ．3225(2)4xy x y -=
B ．222(2)44x y x xy y -=-+
C ．2(21)(12)41x x x +-=-
D ．2()()a b a c a bc -+=-
4、如图，两个正方形的边长分别为a 、b ，若7a b +=，3ab =，则阴影部分的面积是（ ）
A ．40
B ．492
C ．20
D ．23
5、下列多项式不能用公式法进行因式分解的是（ ）
A ．216a --
B ．21
4a a ++ C ．21025a a -+ D ．264a -
6、下列计算正确的是（ ）
A ．()222a b a b +=+
B ．()()22a b b a a b -+-+=-
C ．()2222a b a ab b -+=++
D ．()2
2121a a a --=++ 7、已知3m n -=，则226m n n --的值是（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
8、在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（ ）
A ．(a +b )2=a 2+2ab +b 2
B ．(a ﹣b )2=a 2﹣2ab +b 2
C ．a 2﹣b 2=(a +b )(a ﹣b )
D ．(a +b )(a ﹣2b )=a 2﹣ab ﹣2b 2 9、已知31,2
ab a b =-+=，则22a b +的值等于（ ）
A ．254
B ．12
C ．172
D ．174
10、下列式子可用平方差公式计算的是（ ）
A ．（a +b ）（﹣a ﹣b ）
B ．（m ﹣n ）（n ﹣m ）
C ．（s +2t ）（2t +s ）
D ．（y ﹣2x ）（2x +y ）
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、要使2169x bx -+成为完全平方式，那么b 的值是______．
2、若x 2+（2m ﹣3）x +16是完全平方式，则m 的值等于 _____．
3、在实数范围内分解因式：344x y xy -=________．
4、计算：15(42+1)(821+)(1621+)(3221+)= _____
5、因式分解：3312x x -=_______．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：用配方法分解因式：268a a ++．
解原式()2
222681169131a a a a a =+++-=++-=+- ()()()()313142a a a a =+++-=++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．
请根据以上材料解决下列问题：
(1)用配方法分解因式x 2+2xy -3y 2
(2)若M =2x 2+8x +10，求M 的最小值；
(3)已知x 2+6y 2+z 2-4xy -4y +2yz +4=0，求x +y +z 的值．
2、（1）先化简，再求值x （x ﹣1）+2x （x +1）；其中x ＝1；
（2）计算：（2x +y ﹣6）（2x ﹣y +6）．
3、分解因式：3244m m m -+．
4、我们知道，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．比如：用图 1 所示的正方形与长方形纸片，可以拼成一个图 2 所示的正方形．
请你解决下列问题：
(1)利用不同的代数式表示：图 2 中阴影部分的面积 S ，写出你从中获得的等式，并加以证明；
(2)已知（2022−m ）（2019−m ）=3505，请用（1）中的结论，求 （2022−m ）2+（2019−m ）2的值．
5、计算：2(3)(6)x x x ---
-参考答案-
一、单选题
1、D
【解析】
【分析】
根据完全平方公式的结构特征，对每一个选项所给算式进行变形后，再判断其是否能用完全平方公式进行因式分解．
【详解】
A 、22
x y +不满足完全平方公式的结构特征，不符合题意；
B 、21x x -+中间项应为-2x ，故不符合完全平方公式，不符合题意；
C 、221x x +-中间项应为2x -，最后一项应为1+，故不符合完全平方公式，不符合题意；
D 、()()22
224412212121x x x x x -+=-⨯⨯+=-，符合完全平方公式，符合题意；
故选：D ．
【点睛】
本题考查完全平方公式，因式分解，能够熟悉完全平方公式的结构特征，以及利用完全平方公式进行因式分解是解决此类题型的关键．
2、D
【解析】
【分析】
根据题意和完全平方公式“222()2a b a ab b -=-+”可得222144424a am m a a -+=++，则24214m m -=⎧⎪⎨=⎪⎩进行解答即可得．
【详解】 解：221(2)424
a m a a -=++
222144424a am m a a -+=++ 则24214m m -=⎧⎪⎨=⎪⎩
解得12
m =-，
故选D ．
【点睛】
本题考查了完全平方公式，解题的关键是理解题意，掌握完全平方公式．
3、B
【解析】
【分析】
根据积的乘方可以判断A ；根据完全平方公式可以判断B ；根据平方差公式可以判断C ；根据多项式乘多项式可以判断D ．
【详解】
解：A 、3226(2)4xy x y -=，故选项错误，不符合题意；
B 、222(2)44x y x xy y -=-+，故选项正确，符合题意；
C 、2(21)(12)14x x x +-=-，故选项错误，不符合题意；
D 、2()()a b a c a ac ab bc -+=+--，故选项错误，不符合题意；
故选：B ．
【点睛】
本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．
4、C
【解析】
【分析】
根据阴影部分面积等于2个正方形面积减去2个空白部分的三角形面积，进而根据完全平方公式的变形求解即可
【详解】 解：阴影部分面积等于()2221
122
a b a a b b +--+ 22111222
a b ab =+-
()21322
a b ab =+- ∵7a b +=，3ab =， ∴阴影部分面积等于213732022
⨯-⨯= 故答案为：C
【点睛】
本题考查了完全平方公式变形求图形面积，掌握完全平方公式是解题的关键．
5、A
【解析】
【分析】
B 、
C 选项考虑利用完全平方公式分解，A 、
D 选项两项式考虑利用平方差公式分解．
【详解】
解：A. ()221616a a --=-+选项A 不能用公式法进行因式分解，故选项A 符合题意；
B . 2211=()42
a a a +++，选项B 能用公式法进行因式分解，故选项B 不符合题意； C . ()2210255a a a -+=-，选项C 能用公式法进行因式分解，故选项C 不符合题意；
D . ()()22248886a a a a =-=+--，选项D 能用公式法进行因式分解，故选项D 不符合题意；
故选A ．
【点睛】
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的公式法是解决本题的关键．
6、D
【解析】
利用完全平方公式计算即可．
【详解】
解：A 、原式＝a 2+2ab +b 2，本选项错误；
B 、原式＝()2
a b --=-a 2+2ab -b 2，本选项错误；
C 、原式＝a 2−2ab ＋b 2，本选项错误；
D 、原式＝a 2＋2ab ＋b 2，本选项正确，
故选：D ．
【点睛】
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7、C
【解析】
【分析】
把22m n -化为()()m n m n +-，代入3m n -=，整理后即可求解.
【详解】
解：∵3m n -=，
∴226m n n --=()()6m n m n n +--=3()6m n n +-=3()m n -=339⨯=，
故答选：C
【点睛】
此题考查了代数式求值，掌握平方差公式是解答此题的关键.
8、C
【解析】
图甲中根据阴影部分面积等于大正方形减去小正方的面积，图乙中直接求长方形的 即可，根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可求解
【详解】
解：图甲阴影部分的面积为22a b -，图乙中阴影部分的面积等于()()a b a b +-
两个图形中阴影部分的面积相等，
∴22a b -=()()a b a b +-
故选C
【点睛】
本题考查了平方差公式与图形面积，正确的求出阴影部分面积是解题的关键．
9、D
【解析】
【分析】 根据31,2ab a b =-+=
，可得()222924
a b a ab b +=++=，即可求解． 【详解】 解：∵31,2
ab a b =-+=， ∴()2222
39224a b a ab b ⎛⎫+=++== ⎪⎝⎭， ∴()()22291722144
a b ab a b =+-=-⨯-=+． 故选：D
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式()222
a b a ab b
+=++，
2
()222
-=-+是解题的关键．
2
a b a ab b
10、D
【解析】
【分析】
根据平方差公式的特点逐项排查即可．
【详解】
解：A．括号中的两项符号都相反，不符合公式特点，故此选项错误；
B．括号中的两项符号都相反，不符合公式特点，故此选项错误；
C．括号中的两项符号都相同，不符合公式特点，故此选项错误；
D．y的符号相同，2x的符号相反，符合公式特点，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了平方差公式，掌握平方差公式的特点“一项的符号相同，另一项的符号相反”成为解答本题的关键．
二、填空题
1、24
±
【解析】
【分析】
根据完全平方式的性质：22
±+，可得出答案.
a a
b b
2
【详解】
∵222
-+=-+是完全平方式
169163
x bx x bx
∴=243bx x -±⋅⋅
解得24b =±
故答案为24±.
【点睛】
本题考查完全平方式，熟记完全平方式的形式，找出公式中的a 和b 的关键.
2、5.5或−2.5
【解析】
【分析】
根据完全平方式的特点：两数的平方和，加上或减去这两个数乘积的2倍，即可完成解答．
【详解】
∵2222316(23)4x m x x m x +
-+=+-+（） ∴238m -=±
解得： 5.5m =或 2.5m =-
故答案为：5.5或−2.5
【点睛】
本题考查了完全平方式，掌握完全平方式是本题的关键．
3、4(1)(1)xy x x +-
【解析】
【分析】
先提公因式，再逆用平方差公式进行因式分解．
【详解】
解：32444(1)4(1)(1)x y xy xy x xy x x -=-=+-．
故答案为：4(1)(1)xy x x +-．
【点睛】
本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解决本题的关键． 4、6421-
【解析】
【分析】
首先将原式变形（24-1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1），利用平方差公式求解，即可求得答案．
【详解】
解：15(42+1)(821+)(1621+)(3221+)，
=（24-1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1），
=（28-1）（28+1）（216+1）（232+1），
=（216-1）（216+1）（232+1），
=（232-1）（232+1），
=264-1．
故答案为：6421-．
【点睛】
此题考查了平方差公式的应用．注意掌握平方差公式：（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2．
5、3(12)(12)x x x +-
【解析】
【分析】
先提出公因式，再利用平方差公式进行分解，即可求解．
【详解】
解：()()()3231431231212x x x x x x x ==+---．
故答案为：3(12)(12)x x x +-
【点睛】
本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解的方法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．
三、解答题
1、 (1)()()3x y x y +-
(2)M 的最小值为2；
(3)4
【解析】
【分析】
（1）将原式变形为x 2+2xy +y 2-y 2-3y 2，然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解；
（2）原式通过配方，然后根据偶次幂的非负性求其最小值；
（3）将原式整理为（x 2+4y 2-4xy ）+（y 2-4y +4）+（z 2+2yz +y 2）=0，然后利用完全平方公式进行变形，从而利用偶次幂的非负性求得x ，y ，z 的值，从而代入求值．
(1)
解：x 2+2xy -3y 2
=x 2+2xy +y 2-y 2-3y 2
=（x +y ）2-4y 2
=（x +y +2y ）（x +y -2y ）
=（x +3y ）（x -y ）；
(2)
解：M=2x2+8x+10
=2（x2+4x）+10
=2（x2+4x+4）-8+10
=2（x+2）2+2，
∵（x+2）2≥0，
∴M的最小值为2；
(3)
解：x2+6y2+z2-4xy-4y+2yz+4=0，
整理得：（x2+4y2-4xy）+（y2-4y+4）+（z2+2yz+y2）=0，
即（x-2y）2+（y-2）2+（z+y）2=0，
∵（x-2y）2≥0，（y-2）2≥0，（z+y）2≥0，
∴x-2y=0，y-2=0，z+y=0，
解得：x=4，y=2，z=-2，
则x+y+z=2+4+（-2）=4．
【点睛】
本题考查了整式的运算与因式分解，理解偶次幂的非负性，掌握完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2和平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2是解题关键．
2、（1）3x2+x，4．（2）4x2﹣y2+12y﹣36．
【解析】
【分析】
（1）先根据整式的加减运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
（2）根据平方差公式以及完全平方公式即可求出答案．
【详解】
解：（1）原式＝x 2﹣x +2x 2+2x
＝3x 2+x ，
当x ＝1时，
原式＝3×1+1
＝4．
（2）原式＝[2x +（y ﹣6）][2x ﹣（y ﹣6）]
＝4x 2﹣（y ﹣6）2
＝4x 2﹣（y 2﹣12y +36）
＝4x 2﹣y 2+12y ﹣36．
【点睛】
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则和乘法公式进行计算．
3、()2
2m m -
【解析】
【分析】
先提取公因式，然后再利用完全平方公式进行分解因式即可．
【详解】
解：原式()244m m m =-+()22m m =-． 【点睛】
本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
4、 (1)（a +b ）2−2ab =a 2+b 2，证明见解析
(2)7019
【解析】
【分析】
（1）根据用两种代数式表示同一阴影面积得出等式，然后利用完全平方公式展开合并同类项即可；
（2）利用换元思想设2022m a -=，2019m b -=得出3505ab =，()()202220193a b m m -=---=，利用公式变形求出()2
222935053514a b a b ab +=-+=+=即可．
(1)
解：等式为：()2222a b a b ab +=+-， ∵()2
2222222S a b ab a ab b ab a b =+-=++-=+，22S a b =+， ∴()2
222a b a b ab +=+-；
(2)
设2022m a -=，2019m b -=，
∵（2022−m ）（2019−m ）=3505，
∴3505ab =，()()202220193a b m m -=---=， ()2
2229235057019a b a b ab +=-+=+⨯=， ∴（2022−m ）2+（2019−m ）2的值=7019．
【点睛】
本题考查完全平方公式的变形公式，代数式，换元思想，利用变形公式求解是解题关键． 5、9
【解析】
【分析】
首先根据完全平方公式及单项式乘以多项式法则运算，再根据去括号法则去括号，最后合并同类项，即可求得
【详解】
解：2(3)(6)x x x ---
2269(6)x x x x =-+--
22696x x x x =-+-+
9=
【点睛】
本题考查了完全平方公式，单项式乘以多项式法则，注意去括号时符号的变化。