四川省古蔺县中学高中数学 2.4.1反函数课件 新人教A版必修1

① f (x) 2x
x y
② f (x) x
x 0 1 -1 · · · y
2
2 f (x) x ③
(x 1)
1 4 9 · ·
x
-1 -2 -3 · ·
y
0
1 · · ·
1 2 2 4 3 6 · · · · f : x y 2x
f : x y x2
f : x y x2
f 1 (x) 2 x 1 (x 0).
∴ x 2 y 1.
例2： 若函数y=ax+b（a≠0）的反函数就 是它本身，求a，b应满足的条件.
解：∵ y=ax+b , ∴
xb . ∴ y=ax+b 的反函数是 y a
yb x . a
∵ y=ax+b 的反函数就是它本身
七、课后思考：
2 f (x) x 2x 5 (x 0) , 求 f 1 (0) 1、 若
2、 若 y f (x) 存在反函数，求 y f (x 1) 的反函数.
y C x C
思考: 1、哪些函数有反函数？
1 y f (x) 互为反函数. 3、函数 y f (x) 与 4 、x f 1 ( y), y C与 y f 1 ( x), x C.
2、单调函数一定有反函数吗？有反函数的函数一定为单调吗?
是同一个函数吗？
1 y f (x) 的定义域与值域的关系. 5、函数 y f (x)与
反函数
古蔺中学
一、复习旧知
映射：设A、B是两个集合， 如果按照某种 对应法则f ，对于集合A中的任何一个元素， 在集合B中都有唯一的元素和它对应， 那么这样的对应叫做集合A到集合B的映 射. 函数：建立在两个非空数集上的映射.
二、引入新课 考察确定下列函数的映射, 记函数的定义域 为A, 值域为C, 哪些映射的逆对应能构成从 C到A的映射?
① f (x) 2x
x y
2 f (x) x ②
2 f (x) x ③
(x 1)
1 4 9 · ·
x 0 1 -1 · · ·
y
x -1 -2 -3 · ·
y
0
1 · · ·
1 2 2 4 3 6 · · · · f : x y 2x
f : x y x2
f : x y x2
xb , ∴ ∴ ax b a
a 1 ∴ 或 b 0
1 a , a b b . a
a 1, b R.
六、课堂小结：
1、构成函数的映射是一一映射时，这个函数才
有反函数；
2、反函数的定义域、值域分别是原函数的值 域、定义域； 3、求反函数的一般步骤是： ①解方程； ②x，y互换； ③写出反函数的定义域．
(2) f (x) x 1,
解： ∵ y x 1,
(x 0).
∴ x (y 1)2 .
1 2 f (x) (x 1) ∴
(x 1)
(3)
f (x) x 2 4x 3, (x 3).
2 2
解：∵ y x 4x 3 (x 2) 1, 2 (x 2) y 1, ∵ｘ＞３, ∴ ∴ x 2 1, ∴ x 2 y 1, ∴
1 1
这样的函数 的反函数.
对调
x f (y) 中的字母x, y, 把它改写成：y f (x)
四剖析定义:
y f ( x), x A, C { f ( x) | x A}
解方程 记作 X, y互换
x ( y),
y C
x f 1 ( y), y f 1 ( x),
f
1
y :y x 2
f 1: y x y
f 1: y x y
若确定一个函数的从定义域到值域的映射，它的逆对 应也是一个映射（称这个映射为原映射的逆映射），则由 逆映射所确定的函数称为原来函数的反函数.
三、新授课
反函数定义：
反函数： 函数 y f (x)
(x A) 中，设它的值域为C，
y f (x)
1
2、互换： x f 1 (y)
3、求原函数值域，即为反函数的定义域.
五、例题
例1：已知下列函数都有反函数，试求出它们 的反函数.
2x 1 . (1) f (x) x 1
2x 3 , 解：∵y = x2 y3 ∴x = . y2
∴ f
1
x 3 (x) （x≠2). x2
根据这个函数中x、y的关系，用y把x表示出来，得到 x (y) 如果对于y在C中的任何一个值，通过 x在A中都有唯一的值和它对应， 那么 x
x (y)
，
ห้องสมุดไป่ตู้y) 就表示y是自变量，x是自变量y的函数，
x (y) （y∈C）叫做函数 y f (x) (x A) 1 记作：x f (y) （y∈C）
y f (x) y f 1 (x)
定义域
值域
A
C
C
A
f y
f 1
6、
f (f (x)) x, (x A) f (f (x)) x, (x C)
1
1
x
x
y f
f 1
求反函数的步骤：
1、反解：
y f (x)
x f 1 (y)