新教材人教A版选择性必修第二册 5.1.1 变化率问题 课件(22张)

(2)取一时间段[2,2＋Δt]，所以 Δs＝s(2＋Δt)－s(2)
＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)
＝－Δt－(Δt)2，
ΔΔst ＝－Δt－Δt Δt2＝－1－Δt，
li m Δt→0
ΔΔst ＝liΔmt→0
(－1－Δt)＝－1，
所以当 t＝2 时，物体的瞬时速度为－1.
Δs Δt
＝li m (4.8＋2Δt)＝4.8， Δt→0
故物体在 1.2 s 末的瞬时速度为 4.8 m/s.
求物体在 1.2 s 末的瞬时速度即求lim Δt→0
Δs Δt
方法归纳
(1)求运动物体瞬时速度的三个步骤 ①求时间改变量 Δt 和位移改变量 Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)． ②求平均速度 v ＝ΔΔst. ③求瞬时速度，当 Δt 无限趋近于 0 时，ΔΔst无限趋近于常数 v， 即为瞬时速度．
ΔΔyx＝Δlixm→0
(2Δx＋16)＝16.
∴在点(3,30)处的切线方程为：
y－30＝16(x－3)
即：16x－y－18＝0.
要点二 抛物线的切线的斜率
抛物线 f(x)在点 P(1,1)处的切线斜率为 k＝lim Δx→0
f1＋Δx－f1
Δx
.
状元随笔 当 Δx 无限趋近于 0 时，
k
＝f1
＋Δx Δx
－f1的极限，记为
lim
Δx→0
f1
＋Δx Δx
－f1 .Δx
可以是正值也可以是负值，但不为
0.
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)Δx 趋近于 0 表示 Δx＝0.( × ) (2)平均速度与瞬时速度有可能相等．( √ ) (3) 平 均 变 化 率 是 刻 画 某 函 数 在 某 区 间 上 变 化 快 慢 的 物 理 量．( √ ) (4)一物体的运动方程是 S＝12at2(a 为常数)，则该物体在 t＝t0 时的瞬时速度是 at0.( √ )
解析：－v ＝ΔΔst＝S22－－0S0＝3×2－222－0＝1 (m/s)． 答案：1 m/s
题型二 求瞬时速度——师生共研 例 2 如果某物体的运动路程 s 与时间 t 满足函数 s＝2(1＋t2)(s 的单位为 m，t 的单位为 s)，求此物体在 1.2 s 末的瞬时速度．
解析：Δs＝2[1＋(1.2＋Δt)2]－2(1＋1.22)＝4.8Δt＋2(Δt)2，li m Δt→0
(2)求ΔΔyx(当 Δx 无限趋近于 0 时)的极限的方法 ①在极限表达式中，可把 Δx 作为一个数来参与运算． ②求出ΔΔyx的表达式后，Δx 无限趋近于 0，可令 Δx＝0，求出结 果即可．
跟踪训练 2 一做直线运动的物体，其位移 s 与时间 t 的关系 是 s(t)＝3t－t2.
(1)求此物体的初速度； (2)求此物体在 t＝2 时的瞬时速度．
5.1.1 变化率问题
[教材要点]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
要点一 平均速度与瞬时速度
1．平均速度：时间段[1,1＋Δt]内的平均速度
－v ＝h11＋＋ΔΔtt－－h11.
2．瞬时速度：当 Δt 无限趋近于 0 时，
－v ＝h1＋ΔΔtt－h1的极限，记为
lim
Δt→0
h1＋ΔΔtt－h1，即为 t＝1 时的瞬时速度．
状元随笔 在 t ＝1 之后或之前，任意取一个时刻 1 ＋Δt，Δt
f－1＋Δx－f－1 －1＋Δx－－1
＝ lim Δx→0
－－1＋1＋ΔxΔx－2－－11＝Δlixm→0
(Δx－2)
＝－2.
答案：－2
题型一 求平均速度——师生共研 例 1 已知一物体的运动方程为 s(t)＝t2＋2t＋3，求该物体在 t ＝1 到 t＝1＋Δt 这段时间内的平均速度．
解析：物体在 t＝1 到 t＝1＋Δt 这段时间内的位移增量
解析：(1)t＝0 时的速度为初速度．在 0 时刻取一时间段[0,0＋ Δt]，即[0，Δt]，
所以 Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02) ＝3Δt－(Δt)2，ΔΔst＝3Δt－ΔtΔt2＝3－Δt，
liΔmt→0＝ΔΔst＝liΔmt→0 (3－Δt)＝3. 所以物体的初速度为 3.
2．质点运动规律 s(t)＝t2＋3，则从 3 到 3.3 内，质点运动的平 均速度为( )
A．6.3 B．36.3 C．3.3 D．9.3
解析：s(3)＝12，s(3.3)＝13.89 ∴－v ＝s33.3.3－ －s33＝10.8.39＝6.3，故选 A. 答案：A
3．如果质点 M 按照规律 s＝3t2 运动，则在 t＝3 时的瞬时速度
为( )
A．6 B．18
C．54 D．81
解析：ΔΔst＝33＋ΔtΔ2t－3×32＝18＋3Δt，
s′＝li m Δt→0
ΔΔst ＝lΔit→m0
(18＋3Δt)＝18，故选 B.
答案：B
4．抛物线 f(x)＝x2 在点(－1,1)处切线的斜率为________．
解析：切线斜率为 k＝lim Δx→0
Δs＝s(1＋Δt)－s(1)
＝[(1＋Δt)2＋2(1＋Δt)＋3]－(12＋2×1＋3)
＝(Δt)2＋4Δt.
物体在
t＝1
到
t ＝1＋ Δt
这
段
时
间
内
的
平
均
速
度
为
Δs Δt
＝
Δt2Δ＋t 4Δt＝4＋Δt.
方法归纳 求平均速度的一般步骤
(1)作差，计算 Δs； (2)作商：计算ΔΔst.
跟踪训练 1 已知一物体的运动方程为 s(t)＝3t－t2，求 t＝0 到 t＝2 时平均速度．(s 的单位是 m，t 的单位是 s)．
是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为 0.当 Δt >0 时， 1 ＋Δt 在 1 之后；当 Δt<0 时，1 ＋Δt 在 1 之前．
当 Δt 无限趋近于 0，即无论 t 从小于 1 的一边，还是从大于 1 的一边无限趋近于 1 时，平均速度 v 无限趋近 v(1)，即为 t ＝1 时 的瞬时速度．
题型三 求在某点处的切线方程——师生共研 例 3 求抛物线 y＝2x2＋4x 在点(3,30)处的切线方程．
解析：Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx
∴ΔΔyx＝2Δx2Δ＋x 16Δx＝2Δx＋16.
∴k＝lim Δx→0