新教材高中数学第二章平面向量及其应用微专题1平面向量数量积的综合应用强化练含解析北师大版必修第二册

微专题强化练(一) 平面向量数量积的综合应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则a 与b 的夹角θ为( )
A ．150°
B ．120°
C ．60°
D ．30°
B 〖由|a |＝|b |＝|c |且a ＋b ＝c ，得|a ＋b |＝|b |，平方得|a |2＋|b |2＋2a·b ＝|b |2⇒2a·b ＝－|a |2
⇒2|a |·|b |·cos θ＝－|a |2⇒cos θ＝－12
⇒θ＝120°.〗 2．设e 1和e 2是互相垂直的单位向量，且a ＝3e 1＋2e 2，b ＝－3e 1＋4e 2，则a·b 等于( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
B 〖因为|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，
所以a·b ＝(3e 1＋2e 2)·(－3e 1＋4e 2)＝－9|e 1|2＋8|e 2|2＋6e 1·e 2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－
1.〗
3．已知a ，b 方向相同，且|a |＝2，|b |＝4，则|2a ＋3b |等于( )
A ．16
B ．256
C ．8
D ．64
A 〖法一：∵|2a ＋3b |2＝4a 2＋9b 2＋12a ·b ＝16＋144＋96＝256，∴|2a ＋3b |＝16. 法二：由题意知2a ＝b ，
∴|2a ＋3b |＝|4b |＝4|b |＝16.〗
4．(多选题)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为θ，则下列结论正确的是( )
A ．e 1在e 2方向上的投影数量为cos θ
B ．e 21＝e 22
C ．(e 1＋e 2)⊥(e 1－e 2)
D ．e 1·e 2＝1
ABC 〖因为两个单位向量e 1，e 2的夹角为θ，
则|e 1|＝|e 2|＝1，则e 1在e 2方向上的投影数量为|e 1|cos θ ＝cos θ，故A 正确；
e 21＝e 22＝1，故B 正确；
(e 1＋e 2)·(e 1－e 2)＝e 21－e 22＝0，
故(e 1＋e 2)⊥(e 1－e 2)，故C 正确；
e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos θ＝cos θ，故D 错误．〗
5．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b 等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．5
A 〖∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝10，
① |a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝6， ② 由①－②得4a ·b ＝4，∴a ·b ＝1.〗 二、填空题
6．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，AB →·AC →＝8，则△ABC 的形状是________．
等边三角形 〖AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ，
即8＝4×4cos ∠BAC ，于是cos ∠BAC ＝12
， 因为0°<∠BAC <180°，所以∠BAC ＝60°.
又AB ＝AC ，故△ABC 是等边三角形．〗
7．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ＝________．
32 〖∵(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2＋(2λ－3)a·b －2b 2＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0，∴λ＝32
.〗 8.如图，在△ABC 中，若AB ＝AC ＝3，cos ∠BAC ＝12，DC →＝2BD →，则AD →·BC →＝________．
－32
〖根据条件： AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13
(AC →－AB →) ＝23AB →＋13
AC →； 所以AD →·BC →＝(23AB →＋13
AC →)·(AC →－AB →) ＝13AB →·AC →－23AB →2＋13
AC →2 ＝13×3×3×12－23×9＋13×9＝－32
.〗 三、解答题
9．已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3
，求|a ＋b |，|a －b |.
〖解〗 a·b ＝|a ||b |cos π3＝5×5×12＝252
. |a ＋b |＝
（a ＋b ）2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2 ＝25＋2×252
＋25＝5 3. |a －b |＝
（a －b ）2＝|a |2－2a·b ＋|b |2 ＝25－2×252
＋25＝5. 10．设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．
〖解〗 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 的夹角是60°，
∴m·n ＝|m ||n |cos 60°＝1×1×12＝12
. |a |＝|2m ＋n |＝
（2m ＋n ）2＝4×1＋1＋4m·n ＝4×1＋1＋4×12
＝7， |b |＝|2n －3m |＝（2n －3m ）2 ＝
4×1＋9×1－12m·n ＝4×1＋9×1－12×12
＝7， a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2
＝12－6×1＋2×1＝－72
. 设a 与b 的夹角为θ，
则cos θ＝a·b |a ||b |＝－727×7
＝－12. 又∵θ∈〖0，π〗，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3
.。