人教版九年级数学上册23.1.2 旋转作图导学案
23.1 第2课时 旋转作图 人教版数学九年级上册教案
23.1 图形的旋转第2课时旋转作图教学目标：1.掌握旋转及旋转作图的概念及基本性质.2.能够根据旋转的基本性质解决实际问题和进行简单作图.教学重点：掌握旋转及旋转作图的概念及基本性质.教学难点：能够根据旋转的基本性质解决实际问题和进行简单作图.教学导入一、知识链接1.把一个平面图形绕着平面内一固定点转动一个角度，就叫做图形的旋转.这一点叫做，转动的角叫做，对应点到旋转中心的距离，对应点与旋转中心所连线段的夹角，且等于角，旋转不改变图形的和.2.如图，△ABD是△ACE绕点A顺时针旋转60°得到的.则点C的对应点是点，线段CE的对应线段是线段，∠E的对应角是，旋转中心是点，旋转的角度是.教学过程二、要点探究探究点1：简单的旋转作图画一画如图①，画出线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°后的线段．图①图②试一试画出如图②所示的四边形ABCD以O为中心，顺时针旋转60°的旋转图形．思考旋转和平移有什么异同？典例精析例1 (教材P60例题)如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形.解：∵点A是旋转中心，∴它的对应点是.正方形ABCD中，AD=AB，∠DAB= ，∴旋转后B和D重合.设点E的对应点为E′.∵△ADE△ABE′，∴∠ABE′＝＝，BE′＝，因此在CB的延长线上截取点E′，使BE′＝，则△ABE′为旋转后的图形.想一想还有其他方法确定点E的对应点E′吗？方法总结：旋转作图的基本步骤：(1)明确旋转三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. (2)找出关键点；(3)作出关键点的对应点；(4)作出新图形；(5)写出结论.练一练：下图为4×4 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，将△OAB绕点O逆时针旋转90°，你能画出△OAB旋转后的图形△O'A'B'吗？例2 如图，点A，C的坐标分别为(1，1)、(2，4)，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△A'B'C'，则C'点的坐标为( )A．(-2，4)B．(4，0)C．(-2，2)D．(-1，3)方法点拨：根据题意画出图形，然后结合直角坐标系即可得出C'的坐标．练一练：如图，正方形OABC的两边OA.OC分别在x轴、y轴上，点D(5，3)在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是( )A ．(2，10)B ．(-2，0)C ．(2，10)或(-2，0)D ．(10，2)或(-2，0)分析：要注意分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答．方法点拨：关于平面直角坐标系中的图形旋转后对应点的坐标的计算，通常要结合已知点及其对应点构造直角三角形，利用旋转的性质，证明所构造的两个直角三角形全等即可解决.探究点2：旋转设计作图合作探究1.选择不同的__________、不同的__________旋转同一个图案，会出现不同的效果.(1)两个旋转中，旋转中心不变，__________改变了，产生了_______的旋转效果.(2)两个旋转中，旋转角不变，__________改变了，产生了_______的旋转效果.2.我们可以借助旋转可以设计出许多美丽的图案.例3 如图，该图形在绕点O 按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是( )A ．72°B ．108°C ．144°D ．216°三、课堂小结作旋转图形①分析图形，找出图形的关键点；②确定三要素；③将关键点分别与旋转中心连接后旋转，找到关键点的对应点；④顺次连接各对应点.旋转的作图确定旋转中心找两条对应点连线段的垂直平分线的交点当堂检测1.如图，是由一个矩形沿顺时针方向旋转90度后所形成的图形是( )A．(1)(3)B．(2)(3)C．(1)(2)D．(3)2.等边三角形绕着它的中心O旋转，若旋转后的三角形能与自身重合，则旋转角最小是( ) A．360° B．240° C．120° D．60°3.如图，平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A的坐标为(－1，2)．(1)将△ABC向右平移3个单位得到△DEF，请在图中画出平移后的图形；(2)将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°后得到△MNC，请在图中画出旋转后的图形，并写出点M，N的坐标.4.如图，四边形ABCD绕O点旋转后，顶点A的对应点为E，试确定B.C.D对应的点的位置，以及旋转后的四边形．参考答案自主学习一、知识链接1. 旋转中心旋转角相等相等旋转形状大小2. B BD ∠D A60°课堂探究二、要点探究探究点1：画一画作法：(1)如图，以AB为一边按顺时针方向画∠BAX，使得∠BAX=60°；(2)在射线AX上取点C，使得AC=AB.线段AC为所求．图略试一试图略思考①相同：都是一种运动；运动前后不改变图形的形状和大小.②不同：图形变换运动方向运动量的衡量平移直线移动一定距离旋转顺时针或逆时针转动一定的角度典例精析例1 点A 90 ° ≌90 ° ∠ADE DE DE想一想解：延长CB，以点A为圆心，AE 的长为半径画弧，交CB的延长线于E'，连接AE'，则△ABE'为旋转后的图形.练一练图略例2 C练一练C探究点2：合作探究 1. 旋转中心旋转角(1) 旋转角不同(2) 旋转中心不同例3 B当堂检测1. B2.C3.解：（1）图略.（2）图略．M（-3，-2），N（-2，-4）4.解：(1)连接OA.OB.OC.OD.OE；(2)分别以OB.OC.OD为一边作∠BOF，∠COG，∠DOH，使∠BOF= ∠COG= ∠DOH=∠AOE；(3)分别在射线OF，OG，OH上，截取OF=OB，OG=OC，OH=OD；(4)连接EF，FG，GH，HE，四边形EFGH就是四边形ABCD绕O点旋转后的图形．。
人教版-数学-九年级上册 23.1图形的旋转导学案
23.1图形的旋转学习目标、重点、难点【学习目标】1、旋转的概念；2、旋转的基本性质；3、旋转作图；【重点难点】1、旋转的概念；2、旋转的基本性质；3、旋转作图；新课导引在日常生活中，除了物体的平行移动外，我们还可以观察到下列一些现象：时钟上的秒针在不停地转动；大风车的转动给人们带来欢乐；飞速旋转的电风扇叶片给人们带来丝丝凉意．【问题探究】无论是时钟上秒针的转动，还是大风车、电风扇的叶片的转动，它们的形状、大小、位置是否发生了变化?【点拨】观察可知它们的形状、大小均不变，但位置改变了.教材精华知识点1 旋转的概念旋转：在平面内，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，这个点O称为旋转中心，转动的角称为旋转角．如图23—1所示，△ABC绕点O顺时针旋转90°，得到△A’B’C’，这就是旋转，其中点O是旋转中心，∠AOA’，∠BOB’，∠COC’都是旋转角，且∠AOA’=∠BOB’=∠COC’．拓展(1)旋转的范围是在平面内旋转，否则有可能旋转成为立体图形，因此，“在平面内”这一条件不可忽略．(2)图形旋转的主要因素是旋转中心、旋转角度和旋转方向．(3)旋转角是180°的旋转变换是中心对称变换，这种变换将在下一节中学习，但要注意，一般情况下，旋转角小于360°．对应元素：一个图形绕定点旋转一定角度后得到它的旋转图形，如图23—1所示，△A’B’C’就是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的，其中点A，B，C分别与点A’，B’，C’是对应点，∠ABC，∠ACB，∠BAC分别与∠A’B’C’，∠A’C’B’，∠B'A’C’是对应角，线段AB，BC，CA分别与线段A’B’，B’C’，C'A’是对应边．知识点2旋转的基本性质(1)旋转不改变图形的形状和大小，旋转前后的图形全等．(2)对应点到旋转中心的距离相等．(3)每对对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角．图形的旋转示意图性质△ABC绕定点O按逆时针方向转运一定角度后得到△A＇B＇C＇不改变图形的形状和大小每一点都绕旋转中心沿相同方向转运了相同的角度任意一对应点与旋转中心所连线段的夹角都是旋转角对应点到旋转中心的距离相等△ABC≌△A＇B＇C＇∠A OA=∠BOB＇=∠COC＇∠POP＇为旋转角OA=OA＇OB=OB＇OC=OC＇拓展(1)旋转的条件：图形的旋转除了要有原图形外，还要有旋转中心旋转方向和旋转角度，这几项缺一不可．(2)利用性质(1)我们可以判定两个图形全等．(3)旋转与平移的关系．区别：平移是将一个图形沿某个方向移动一定的距离，它需要的因素有：①原图形；②平移的方向；③平移的距离．旋转是在同一平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定角度，它需要的因素有：①原图形；②旋转中心；③旋转方向；④旋转角度．(4)利用性质(2)我们可以寻找旋转中心，旋转中心与两个对应点组成了等腰三角形，旋转中心是等腰三角形的顶点，它在两对应点连线的垂直平分线上，所以找旋转中心只需分别作出两对对应点连线的垂直平分线，两平分线的交点即是旋转中心．(5)利用性质(3)可以证明角相等，当旋转角是特殊角时，一对对应点和旋转中心可以组成特殊的三角形．比如，当旋转角为60°时，组成的是等边三角形，当旋转角为90°时，组成的是等腰直角三角形．利用这些特殊图形的性质可以帮助我们解题．知识点3旋转作图简单的旋转作图的步骤．(1)确定旋转角的大小和旋转方向．根据图形和已知条件，若没有直接给出旋转角，则应找出旋转前后图形的一对对应点，并将它们与旋转中心相连，以此确定旋转角的大小和旋转方向．(2)确定每对对应点．①准确找出能代表旋转前图形特点的特殊点(通常指图中所有线段的两个端点)，并将它们与旋转中心依次连接．②以旋转中心为角的顶点，以①中线段作为旋转角的一边，运用尺规作图作出图中所有的旋转角，且旋转角的方向一致．③确定旋转后图形的对应点，根据旋转的基本性质：旋转前后图形的对应点到旋转中心的距离相等，在上述旋转角的另一边上分别截取与原图形对应相等的线段，这样就确定了旋转后图形的对应点．(3)确定旋转后的图形．简单的旋转作图技巧．当确定旋转后的图形的两个对应点后，可根据旋转变换前后图形的对应线段相等，运用尺规作图和全等三角形的判定，依次作出其余的各个对应点，这样就不用作出图中所有的旋转角了.课堂检测基本概念题1、如图23—4所示，△ABC为等边三角形，D为BC边上一点，△ABD经过旋转后到达△ACP的位置．(1)旋转中心是点；(2)旋转角度是；(3)△ADP是三角形．基础知识应用题2、大多数同学曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，如图23—5所示的是万花筒的一个图案，图中所有的小三角形均是全等的等边三角形，其中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心( )A．顺时针旋转60°得到的B．顺时针旋转120°得到的C．逆时针旋转60°得到的D．逆时针旋转120°得到的3、如图23—6所示，将左边的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转90°后得到右边的△COD，如果∠AOB=75°，BO=3 cm，则∠DOC=，∠AOD=，OD= ．综合应用题4、复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图23—14所示，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ，CP，求证BQ=CP．”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图23—14的分析，证明了△ABQ≌△ACP，进而证得BQ=CP，之后，他将点P移到等腰三角ABC之外，原题中其他条件不变，发现BQ=CP 仍然成立，请你就图23-15给出证明.探索创新题5、如图23—17所示，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，且点B的坐标为(4，2)，画△OAB向下平移3个单位长度后的△01A1B及1△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA2B2，并求出点A旋转到点A2所经过的路线长．(结果保留π)体验中考1、从3时到6时，钟表的时针旋转的角度是( )A.30°B.60°C.90°D.120°2、如图23-28所示，在△ABC中，∠CAB=70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB＇C＇的位置，使得CC＇∥AB，则∠BAB＇等于( )A.30°B.35°C.40°D.50°学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析本题主要考查的是旋转的有关概念．由于△ACP是由△ABD旋转得来的，所以这两个三角形的形状、大小都没有变化，只是位置发生了变化，在图形中，A点在旋转过程中始终保持不动，AB转到了AC处，AD转到了AP处，即AB的对应线段是AC，AD 的对应线段是AP，而旋转角是对应线段的夹角，所以∠BAC与∠DAP都是旋转角，而△ABC为等边三角形，所以∠BAC=∠DAP=60°，又AD=AP，所以△ADP是等边三角形．答案：(1)A (2)60°(3)等边【解题策略】旋转过程中的不动点是旋转中心，旋转的角度是指对应线段所夹的角，且旋转过程中所有旋转角均相等，对应线段相等，在解题过程中，应将旋转定义及旋转特征结合在一起综合解题．2、【分析】本题主要考查的是旋转的性质，以点A为旋转中心，线段AB旋转到AE 的位置，因为小三角形是等边三角形，所以∠BAE=120°，又因为AB到AE是逆时针旋转，故选D．3、【分析】本题主要考查旋转的基本性质，由于旋转前后的图形全等，对应角相等，所以∠DOC=∠AOB=75°，对应点B，D与旋转中心O的连线所夹的角是旋转角，则∠BOD= 90°，所以∠DOA=∠BOD-∠BOA=90°-75°=15°，又由于旋转前后的对应线段相等，故OD=OB=3 cm.答案：75°15° 3 cm4、分析本题主要考查利用旋转性质证明全等三角形．难度不大.证明：∵∠QAP=∠BAC.∴∠QAP+∠PAB=∠PAB+∠BAC，即∠QAB=∠PAC，在△ABQ和△ACP中，∴△ABQ≌△ACP，∴BQ=CP.5、分析本题综合考查图形的平移变换及旋转变换，平移时由平移的方向和距离不难画出平移后的图形，对于图形的旋转，要注意旋转中心、旋转方向和旋转角度的要求．A点旋转到A2所经过的路线长即为半径为4的圆的周长的14，利用圆的周长公式即可求解．解：如图23—17所示，△01A1B l，△OA2B2即为所求，A到A2所经过的路线长为14×2π×4=2π．AQ=AP,∠QAB=∠PAC,AB=AC,【解题策略】旋转过程中，点所经过的路线长为弧长，而不是线段长，另外，要注意旋转方向对旋转图形位置的限定．体验中考1、分析本题考查旋转角的概念，一对对应眯与旋转中心连线所夹的角为旋转角.由表盘可以看出，从3时到6时钟表的时针旋转的角度是90°.故选C.2、分析由CC＇∥AB，知∠C＇CA=∠CAB=70°，而AC＇与AC是旋转后产生的对应边，所以AC=AC＇，所以∠AC＇C=∠C＇CA=70°，进而可求出∠C＇AC=180°-70°×2=40°，又知∠CAB=70°，所以∠BAC＇=70°+40°=110°.由题意知∠B＇AC＇=∠BAC=70°，所以∠BAB＇=∠C＇AB-∠B＇AC＇=110°-70°=40°.故选C.。
人教版九年级数学上册导学案：23.1_图形的旋转2【精品】
1．线段OA与OA′，OB与OB′，OC与OC′有什么关系？
2．∠AOA′，∠BOB′，∠COC′有什么关系？
3．△ABC与△A′B′C′形状和大小有什么关系？
合
作
展
示
1．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B对应点的位置，以及旋转后的三角形．
学习难点
运用操作实验几何得出图形的旋转的三条基本性质．
教学准备Байду номын сангаас
激
趣
明
标
1．什么叫旋转？什么叫旋转中心？什么叫旋转角？
2．什么叫旋转的对应点？
3．请独立完成下面的题目．
如图，O是六个正三角形的公共顶点，正六边形ABCDEF能否看做是某条线段绕O点旋转若干次所形成的图形？
（老师点评）分析：能．看做是一条边（如线段AB）绕O点，按照同一方法连续旋转60°、120°、180°、240°、300°形成的．
D．图形上任意两点的连线与其对应两点的连线长度相等
3．如图，下面的四个图案中，既包含图形的旋转，又包含图形的轴对称的是（）
二、填空题
1．在作旋转图形中，各对应点与旋转中心的距离________．
2．如图，△ABC和△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，图中的△ABD绕A旋转42°后得到的图形是________，它们之间的关系是______，其中BD=_________．
老师点评：（1）距离相等，（2）夹角相等，（3）前后图形全等，那么这个是否有一般性？下面请看这个实验．
请看我手里拿着的硬纸板，我在硬纸板上挖下一个三角形的洞，再挖一个点O作为旋转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案（△ABC），然后围绕旋转中心O转动硬纸板，在黑板上再描出这个挖掉的三角形（△A′B′C′），移去硬纸板．
九年级数学上册 23.1 图形的旋转 第2课时 旋转作图导
第2课时旋转作图1.理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果.2.掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案.自学指导自学教材第61页.完成下列问题.1.回顾思考.(1)各对应点到旋转中心的距离有何关系呢？(2)各对应点与旋转中心所连线段的夹角与旋转角有何关系？(3)两个图形是旋转前后的图形，它们全等吗？2.学生独立完成作图题.如图，△ABC绕B点旋转后，O点是A点的对应点，作出△ABC旋转后的三角形.要作出△ABC旋转后的三角形，应找出三方面的关系:①旋转中心B；②旋转角∠ABO；③C点旋转后的对应点C′.知识探究从上面的作图题中，我们知道，作图应满足三要素:旋转中心、旋转角、对应点，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来.因此，下面就选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究.把一个图案以O点为中心进行旋转，选择不同的旋转中心，不同的旋转角，会出现不同的效果图形.1.旋转中心不变，改变旋转角.2.旋转角不变，改变旋转中心.我们可以设计成如下图美丽的图案.因此，从以上的画图中，我们可以得到旋转中心不变、改变旋转角与旋转角不变、改变旋转中心会产生不同的效果，所以我们可以经过旋转设计出美丽的图案.活动1 小组讨论例1如图所示，图①沿逆时针方向旋转90°可得到图⑤.图①按顺时针方向至少旋转180度可得图③.例2如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是△ABC内的一点，且AP=3，将△ABP绕点A旋转后与△ACP′重合，求PP′的长.依题意，AP绕点A旋转90°时得AP′=AP=3，则△APP′是等腰直角三角形.所以PP′=. 解题的关键是确定AP与AP′垂直且相等.活动2 跟踪训练如图所示，点C是线段AB上任意一点，分别以AC、BC为边在同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD，试找出图中能通过旋转完全重合的一对三角形，并指明旋转中心、旋转角及旋转方向.△ACE旋转后能与△DCB完全重合. 旋转中心是点C，旋转角是60°，旋转方向是顺时针方向.(也可看做△DCB绕点C逆时针旋转60°得到△ACE)教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.。
人教版九年级上数学第23章《旋转》第4课时 23.1.2《旋转作图》导学案【习题课】
第二十三章《旋转》第4课时 23.1.2《旋转作图》习题课【知识点1 】旋转作图1.旋转作图的步骤和方法：(1)确定旋转中心, 及 ; (2)作出图形的关键点经过旋转后的 ;(3)按一定的顺序连接对应点。
2. (中考·泰安)如图,在正方形网格中,线段A'B'是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的,点A'与A 对应,则角α的大小为( )A.30°B.60°C.90°D.120°3.如图,在4×4的正方形网格中,△MNP绕某点旋转一定的角度,得到△M1M1P1,则其旋转中心是( )A.点AB.点BC.点CD.点D【知识点2 】旋转的应用4.把一个图案进行旋转变换,选择不同的旋转中心、不同的 ,会有不同的效果。
5.如图所示的四个图案,能通过基本图形旋转得到的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6.利用对称性可设计出美丽的图案.在边长为1的方格纸中,有如图所示的四边形(顶点都在格点上).(1)先作出该四边形关于直线l成轴对称的图形,再作出你所作的图形连同原四边形绕点按顺时针方向旋转90°后的图形;(2)完成上述设计后,整个图案的面积等于。
【题型1 】旋转变换在作图中的应用7.(2017黑龙江)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点都在格点上,点A,B,C的坐标分别为A(-1,3),B(一3,1),(一1,1).请解答下列问题:(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并写出点B1的坐标;(2)画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2,并求出点A1走过的路径长。
【题型2 】旋转变换在解题中的应用8.如图,点O是等边三角形ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α,将△BOC绕点C按顺入时针方向旋转60°得到△ADC,连接OD。
(1)求证:△COD是等边三角形;(2)当α=150°时,试判断△AOD的形状;(3)探究:当α为多少度时,△AOD是等腰三角形?。
人教版九年级数学上册《23.1图形的旋转》导学案
九年级数学“23.1图形的旋转”导学案一、学习目标：掌握旋转的有关概念，经历探索图形旋转特征的过程，体验和感受图形旋转的主要特征，理解图形旋转的基本性质二、教学重点：旋转的有关概念和旋转的基本性质教学难点：探索旋转的基本性质学习方法：观察、操作、交流、归纳1．请同学们认真观察我县大厦楼顶的钟表或家里的钟表，有什么在不停地转动？旋绕什么点呢？•从1点到2点时针转了_____ __度，分针转了___ ____度，秒针转了____ __度．2.一般的，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫，点O叫做，叫旋转角。
如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的．3.如右图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中，旋转中心是。
旋转角是。
经过旋转，点A、B分别移动到位置。
4.如图可以看到，点A旋转到点，OA旋转到，∠AOB旋转到，此时点B的对应点是点，线段OB的对应线段是。
线段AB的对应线段是。
∠A的对应角是，∠B的对应角是，∠AOB的对应角是，旋转中心是点，旋转的角度是。
5. 图形的旋转由和决定。
6. 结合教材总结旋转的特征：（1）（2）(3)四、走进新课例1：如图，四边形ABCD是正方形，ΔADE旋转后能与ΔABF重合。
（1）旋转中心是哪点？（2）旋转了多少度？（3）如果连结EF，则ΔAEF是什么三角形？为什么？尝试练习一：1.如图，ΔABC是等边三角形，D是BC上一点，ΔABD经旋转后到达ΔACE的位置（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？2．如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形．（1）这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？（2）请画出旋转中心和旋转角．（3）指出，经过旋转，点A、B、C、D分别移到什么位置？（注意：图形的旋转由什么决定）例2如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，△ABC以点C 为中心旋转到△A′B′C的位置，使B在斜边A′B′上，A′C与AB相交于D，试确定∠BDC的度数．（提示：抓住旋转前后两个三角形的对应边相等、对应角相等等性质）尝试练习二：1.如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M•在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系．2.如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，AF=1AB．2（1）可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，•使△ABE 移到△ADF的位置？（2）指出如图7所示中的线段BE与DF之间的关系．五．成果检测1．在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为________，这个定点称为_____ ___，转动的角为___ _____．2．如图1，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，•点E•在AB上，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么旋转中心是点_________；旋转的度数是__________．3．如图2，△ABC为等边三角形，D为△ABC•内一点，•△ABD•经过旋转后到达△ACP的位置，则，（1）旋转中心是___ _；（2）旋转角度是__ ___；（•3）△ADP是_____三角形．(1) (2) (3)4、图形：线段、角、圆、梯形、正方形、菱形中绕一定点转动一定角度（小于360°）能与原图形重合的图形有（）A、2个B、3个C、4个D、5个5．在26个英文大写字母中，通过旋转180°后能与原字母重合的有（）．A．6个 B．7个 C．8个 D．9个6．从5点15分到5点20分，分针旋转的度数为（）．A．20° B．26° C．30° D．36°7．如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C 为旋转中心，•将△ABC旋转到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，且点B在斜边A′B′上，直角边CA′交AB于D，则旋转角等于（）．A．70° B．80° C．60° D．50°8. 画出图中ΔADC以D为旋转中心，顺时针旋转90°后的三角形。
九年级数学 第23章 旋转导学案(全章)
《23.1.1旋转的概念与性质》一、学习目标1.了解生活中广泛存在的旋转现象,知道旋转是继平移、对称之后的又一种基本变换.2.能结合图形指出什么是旋转中心、旋转角和对应点.3.体会旋转的形成过程，并探究旋转的性质.二、导学指导与检测导学导学检测及课堂展示阅读教材第59页的内容完成右边的学习内容1.把一个平面图形，叫做图形的旋转.2.从课文中的思考实例可以看出：图形的旋转三要素是，，.3.如右图，点P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕B点顺时针方向旋转到△CBP′的位置时，其旋转中心是，旋转角度为，点A、B、P的对应点分别为.即时训练：1.时钟的时针在不停地旋转，从上午6时到上午9时，时针旋转的角度是多少？从上午9时到上午10时呢？解：2.如图，杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆的旋转中心是点，旋转角是，点A的对应点是点．阅读教材第60页的“探究”——旋转的性质的内容完成相关的内容1.按下列要求动手画图：在硬纸板上先挖一个三角形洞，再在三角形洞外挖一个小洞O（作为旋转中心），把挖好洞的硬纸板放在白纸上，在白纸上描出挖掉的三角形图案（△ABC），围绕旋转中心转动硬纸板，再描出挖掉的三角形图案（△A′B′C′），移开硬纸板，用虚线连接OA、OA′、OB、OB′、OC、OC′.2.OA与OA′、OB与OB′、OC与OC′分别有何关系？.3.△AOA′、△BOB′、△COC′之间有何关系？.4.△ABC与△A′B′C′有何关系？.5.观察你画的图形，还有不同的发现吗？即时训练：1.如图1，小明坐在秋千上，秋千旋转了80°. 请在图中小明身上任意选一点P，利用旋转的性质，标出点P的对应点.图1 图2 图32.如图2，用左面的三角形经过怎样的旋转，可以得到右面的图形？解：3.找出图3中扳手拧螺母时的旋转中心和旋转角.解：三．巩固诊断（一）基础巩固（70分）1. (10分) 下列现象中属于旋转的有（）△火车行驶；△荡秋千运动；△方向盘的转动；△钟摆的运动；△圆规画圆．A．1个B．2个C．3个D．4个2.(10分) 如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为（）A．30°B．45°C．90°D．135°3.(20分) 如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，且DE=1，△ABF是△ADE的旋转图形.旋转中心是，旋转了度，AF的长度是，连接EF，则△AEF的形状是.4.(10分) 如图，右边的小鸡是由左边的小鸡经过旋转得到的，旋转中心是点O.从图中量一量旋转角是多少度.解：5.(20分)下面两组图形分别是用左边的图形经过怎样的旋转得到右边的图形的？解：（二）综合应用（20分）6.(10分) 如图，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能与自身重合的是（）A．72°B．108°C．144°D．216°第6题图第7题图7.(10分)把图中的五角星图案，绕着它的中心点O旋转，旋转角为多少度时，旋转后的五角星能与自身重合？解：（三）拓展延伸（10分）8.(10分)如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？解：四、堂清、日清记录堂清日清今日之事今日毕日积月累成大器课堂反思：澜沧拉祜族自治县第一中学自主高效课堂导学案年级：九班级：学生姓名：制作人：九年级数学组教研组审批时间： 2021年8月31日《23.1.2旋转作图与坐标系中的旋转变换》一、学习目标1. 能按要求作出简单平面图形旋转后的图形.2. 能通过图形的旋转设计图案.二、导学指导与检测导学导学检测及课堂展示阅读教材第60页例题完成右边的学习内容1. 例如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形.△因为A是旋转中心，所以A点的对应点是.△根据正方形的性质：AD＝AB，△DAB＝90°，所以点D的对应点是.△因为旋转前、后的两个图形全等，所以本例根据三角形全等的判定方法.作出△ADE的对应图形为.△E点的对应点E′，还有别的方法作出来吗？总结：作一个图形旋转后的图形，关键是作出对应点，并按原图的顺序依次连接各对应点.即时训练;在△ABC中，AB＝AC，P是BC边上任意一点，以点A为中心，取旋转角等于△BAC，把△ABP逆时针旋转，画出旋转后的图形.阅读教材第61页“练习”以下的内容完成相关的内容1.把一个基本图形进行旋转来设计图案，可以通过哪两种途径获得不同的图案效果？2.任意画一个△ABC，以A为中心，把这个三角形逆时针旋转40°；3.任意画一个△ABC，以AC中点为中心，把这个三角形旋转180°.4.如图，菱形ABCD中，△BAD=60°，AC、BD相交于点O，试分别以点O和点A为旋转中心，以90°为旋转角画出图案，并相互交流.总结：运用旋转作图应满足三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来．因此，选择不同的旋转中心、不同的旋转角会作出不同效果的图案.即时训练：请在图中画出线段AB以O为旋转中心逆时针分别旋转90°，180°，270°时对应的图形．解：三．巩固诊断（一）基础巩固（70分）1.(10分) 将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（）A B C D2.(10分) 数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°．以上四位同学的回答中，错误的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁3.(10分) 如图，将一个钝角△ABC（其中△ABC=120°）绕点B顺时针旋转得到△A1BC1，使得C点落在ABABCDO的延长线上的点C1处，连接AA1．（1）写出旋转角的度数；（2）求证：△A1AC=△C1．4.(20分) 分别画出△ABC绕点O逆时针旋转90°和180°后的图形.5.(20分)把图中的△ABC作下列旋转:（1）以C为中心，把这个三角形顺时针旋转60°；（2）在△ABC外任取一点O为中心，把这个三角形顺时针旋转120°.（二）综合应用（20分）BACBAC6.(10分)如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，△A=40°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC旋转到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，且点B在斜边A′B′上，直角边CA′交AB于点D，则旋转角等于（）A.70°B.80°C.60°D.50°7.(10分)右图中的风车图案，可以由哪个基本的图形，经过什么样的旋转得到？（三）拓展延伸（10分）8.(10分) 如图，△ABC中，△C=90°，△B=40°，点D在边BC上，BD=2CD．△ABC绕着点D顺时针旋转一定角度后，点B恰好落在初始△ABC的边上，求旋转角α（0°＜α＜180°）的度数.四、堂清、日清记录堂清日清今日之事今日毕日积月累成大器课堂反思：澜沧拉祜族自治县第一中学自主高效课堂导学案年级：九班级：学生姓名：制作人：九年级数学组教研组审批时间： 2021年8月31日《23.2.1 中心对称的概念和性质》一、学习目标1.通过具体实例认识中心对称，弄清楚中心对称及其有关概念的含义.2.探究并归纳出中心对称的性质.3.会作与一个图形关于某个点成中心对称的另一个图形.二、导学指导与检测导学导学检测及课堂展示阅读教材第64页最后一段话之前的内容完成右边的学习内容1.把一个图形，如果它，那么就说这两个图形或，这个点叫做. 叫做关于对称中心的对称点.2.中心对称是指几个图形之间的位置关系？一个图形绕一点旋转能与另一个图形重合就是中心对称吗？3.在下列四组图形中右边数字与左边数字成中心对称的有.（1）（2）（3）（4）阅读教材第64页最后一段话到第65页例题之前的内容完成相关的内容1.按下列步骤动手画图：第一步：用三角尺画出△ABC；第二步：以三角尺的一个顶点O为中心，把三角尺旋转180°，再画出△A′B′C′；第三步：移开三角尺，并用虚线连接对应点AA′，BB′，CC′.2.思考下列问题：△△ABC与△A′B′C′关于点O对称吗？_________________；△△ABC与△A′B′C′全等吗？为什么？；△线段AA′、BB′、CC′有何关系？；△点O在线段AA′、BB′、CC′的什么位置？；△点O在线段AA′、BB′、CC′的什么位置？.阅读教材第651.如图△，怎样画点A关于点O的对称点？2.如图△，怎样画△ABC关于点O对称的△A′B′C′？C页至第66页例1的内容完成相关的内容图△ 图△即时训练1. 分别画出下列图形关于点O 对称的图形.2. 图中的两个四边形关于某点对称，找出它们的对称中心. 解：四．巩固诊断 （一）基础巩固（70分）1. (10分) 下列结论中，错误的是（ ）A ．形状大小完全相同的两个图形一定关于某点成中心对称B ．成中心对称的两个图形，对称中心到两对称点的距离相等C ．成中心对称的两图形，对称中心在两对称点的连线上D ．成中心对称的两图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等2. (10分) 如图，△ABC 与△A 1B 1C 1关于点O 成中心对称，下列说法：△△BAC=△B 1A 1C 1；△AC=A 1C 1； △OA=OA 1；△△ABC 与△A 1B 1C 1的面积相等.其中正确的有（ ）A.1个B ．2个C ．3个D ．4个3. (10分) 如图，△ABC 和△AB′C′成中心对称，A 为对称中心，若△C=90°,△B=30°， BC=1，则BB′的长为( )A.4B.33C.233D.4334. (10分) 如图，四边形ABCD 与四边形FGHE 关于点O 成中心对称，下列说 法中错误的是（ ）A ．AD△EF ，AB△GFB ．BO=GOC ．CD=HE ，BC=GHD ．DO=HO.A .O.O .O第2题图5.(10分) 如图，两个卡通图案是关于某点成中心对称的两个图案，试在图中确定其对称中心.解：6.(20分)分别画出下面图形关于点O对称的图形．解：.O.O（二）综合应用（20分）7. (20分)如图，△DEC是由△ABC经过如下的几何变换而得到的：△以AC所在直线为对称轴作轴对称，再以C为旋转中心，顺时针旋转90°；△以C为旋转中心，顺时针旋转90°得△A′B′C′，再以A′C′所在直线为对称轴作轴对称；△将△ABC向下、向左各平移1个单位，再以AC的中点为中心作中心对称，其中正确的变换有（）A．△△B．△△C．△△D．△△△（三）拓展延伸（10分）8. (10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC.（1）试猜想AE与BF有何关系？说明理由;（2）若△ABC的面积为3cm2，求四边形ABFE的面积.解：四、堂清、日清记录堂清日清今日之事今日毕日积月累成大器课堂反思：澜沧拉祜族自治县第一中学自主高效课堂导学案年级：九班级：学生姓名：制作人：九年级数学组教研组审批时间： 2021年8 月 31 日《23.2.2中心对称图形》一、学习目标1.能判断一个图形是不是中心对称图形.2.知道中心对称和中心对称图形的区别和联系.二、导学指导与检测导学导学检测及课堂展示阅读教材第66页“思考”至第67页的内容完成右边的学习内容1.线段AB绕它的中点O旋转180°后，平行四边形ABCD绕它的两条对角线的交点O旋转180° .像这样，把一个图形绕着旋转后，如果，那么这个图形叫做，这个点就是它的.2.比较中心对称和中心对称图形的概念，试说明它们有何区别与联系：区别：。
九年级数学上册导学案：23.1 旋转(二)
OCBAED CBAOED FCBA23.1.2 旋转（二） 研学案 姓名： 一、研学目标：利用旋转的性质解决问题 二：研学重点和难点：旋转性质的应用 三、研学过程（一）自主学习 1、旋转的三个要素：（1）__________________；（2）___________________；（3）__________________； 2、如图，将△ABC 绕O 点按顺时针方向旋转90˚得到△DEF 。
（1）旋转中心是点_________； （2）∠FOC=_________°。
3、如下图，将△ABC 绕点O 旋转一定的度数，使A 、O 、A ˊ三点在同一直线上，则AC 的对应线段是_________，旋转角是__________度。
（第3题） （第4题）4、将△ABC 绕O 点沿顺时针方向旋转180˚。
（二）合作探究学习1、例1 如图，E 是正方形ABCD 中CD 边 上任意一点，以点A 为中心，把△ADE 顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。
2、例2 如图，Rt △OAB 中，∠OAB ＝90°，OA ＝AB ＝6，将△OAB 绕点O 沿逆时针方向旋转90°得到△11B OA 。
（1）线段1OA ＝ ，∠1AOB ＝ 度；B 1A 1O BA（2）连1AA ，求证：四边形11B OAA 是平行四边形； （3）求□11B OAA 的面积。
（三）课堂练习1、如上图，将三角尺ABC （其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕点B 按顺时针转动一个角度到A ’BC ’的位置，使得点A 、B 、C ’在同一条直线上，那么这个角度等于（第1题） （第2题） （第3题） 2、如上图，P 是等边△ABC 内一点，若将△P AB 绕点A 逆时针旋转到△P ′AC ， 则∠PAP ′＝________°。
3、如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的点，连BE ，将△BCE 绕点C 顺时针旋转90°得△DCF ，连EF ，若∠BEC ＝60°，则∠EFD=_____________°。
人教版九年级数学上册 23.1 旋转作图 学案设计
人教版九年级数学上册:23.1旋转作图知识点总结1、在旋转的过程中，要确定一个图形旋转后的位置，除了应了解图形原来的位置外，还应了解旋转中心、旋转方向和旋转角．2、旋转作图的步骤：(1)首先确定旋转中心、旋转方向和旋转角；(2)其次确定图形的关键点；(3)将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度；(4)连接对应点，形成相应的图形．3、把一个图案进行旋转，选择不同的旋转中心，不同的旋转角，会出现不同的效果．经典例题1、观察下列图形，其中可以看成是由“基本图案”通过旋转形成的共有( )A、1个B、2个C、3个D、4个2、如图，四边形EFGH是由四边形ABCD经过旋转得到的．如果用有序数对(2，1)表示方格纸上A点的位置，用(1，2)表示B点的位置，那么四边形ABCD旋转得到四边形EFGH时的旋转中3、在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫做格点)．画出△ABC 绕点O逆时针旋转90°后的△A′B′C′.4、如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B的对应点的位置以及旋转后的三角形．5、如图，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形(图中的阴影部分)绕中心O至少经过____次旋转而得到，每一次旋转____度．6、△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P是△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACQ重合，如果AP＝3，则PQ＝____．7、如图，一块实验田的形状是三角形(设其为△ABC)，管理员从BC边上的一点D出发，沿DC→CA→AB→BD的方向走了一圈回到D处，则管理员从出发到回到原处在途中身体( )A、转过90°B、转过180°C、转过270°D、转过360°8、如图，将一个钝角△ABC(其中∠ABC＝120°)绕点B顺时针旋转得△A1BC1，使得C点落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1.(1)写出旋转角的度数；(2)求证：∠A1AC＝∠C1.课后巩固1、如图所示，边长为1的正方形ABCD绕点A 逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为( )A、B、C、D、2、如图，如果正方形ABCF旋转后能与CDEF 重合，那么图形所在的平面内，可作为旋转中心的点有( )A、1个B、2个C、3个D、4个3、如图，在等边三角形ABC中，AC＝9，点O 在AC上，且AO＝3，点P在AB上，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP的长为____．4、如图，P是正三角形ABC内一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB.则点P与点P′之间的距离为____，∠APB＝____．5、如图，在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，A1B交AC 于点E，A1C1分别交AC，BC于点D，F.下列结论：①∠CDF＝α，②A1E＝CF，③DF＝FC，④AD＝CE，⑤A1F＝CE.其中正确的是 ______．(填序号)6、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标是A(－7，1)，B(1，1)，C(1，7)．线段DE的端点坐标是D(7，－1)，E(－1，－7)．(1)试说明如何平移线段AC，使其与线段ED重合；(2)将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转，使AC 的对应边为DE，请直接写出点B的对应点F的坐标；(3)画出(2)中的△DEF，并和△ABC同时绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出旋转后的图形．7、如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D，E分别是AB，AC边的中点，将△ABC绕点A顺时针旋转α角(0＜α＜180°)，得到△AB′C′(如图②)．(1)探究DB′与EC′的数量关系，并给予证明；(2)当DB′∥AE时，试求旋转角α的度数．答案：经典例题1、D2、(5，2)3、图略4、图略5、4 726、7、D8、解：(1)60°(2)由旋转的性质知△ABC≌△A1BC1，∴∠ABC ＝∠A1BC1＝120°，AB＝A1B，∠C＝∠C1，∵∠A1BA＋∠A1BC1＝180°，∴∠ABA1＝60°，∴△A1BA为等边三角形，∴∠A1AB＝60°.又∵∠CBC1＋∠ABC＝180°，∴∠CBC1＝60°，∴BC∥AA1，∴∠A1AC＝∠C，∴∠A1AC ＝∠C1课后巩固1、A2、C3、64、6 150°5、①②⑤6、解：(1)将线段AC先向右平移6个单位，再向下平移8个单位(或将线段AC先向下平移8个单位，再向右平移6个单位)(2)F(－1，－1)(3)画出如图所示的图7、。
人教版九年级上册 23.1图形的旋转 (第二课时)导学案设计
图形的旋转（第2课时）【目标导航】1.掌握与旋转有关的概念.2.能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形.3.理解旋转的性质，并利用此性质解决有关问题.【要点梳理】例1如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B•对应点的位置，以及旋转后的三角形．ABCD例2如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE=14，△ABF是△ADE的旋转图形．（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）AF的长度是多少？（4）如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？例3如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M•在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系．练习一：1．边长为2的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动，另一个绕点B顺时针旋转一个角度，若使重叠部分的面积为334，则这个旋转角为度．GEDCB2．已知等腰三角形ABC中，AB=AC=5，∠A=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转60°至△A′BC′，C′为C 的对应点，求CC′的长．3.如图，在等边△ABC内有一个点P，P A＝10，PB=8，PC＝6，求∠BPC的度数．AB C P4.．如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝13，BC 边上中线AD ＝6，求BC 的长．5. 如图，点O 是等边ABC △内一点，110AOB BOC α∠=∠=o ，．将BOC △绕点C 按顺时针方向旋转60o 得ADC △，连接OD ．（1）求证：COD △是等边三角形；（2）当150α=o 时，试判断AOD △的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，AOD △是等腰三角形？【课堂反馈】 1．如图，该图形围绕点O 按下列角度旋转后，不能与自身重合的是( )A ．72°B ．108°C ．144°D ．216°（1）（3）（4）ABC DO110o αEDC B A（5）2．下列语句中正确的个数有 （ ）① 一根针在平移前后，针尖的指向一定相同；② 一个图形绕一点旋转α°之后与自身重合，则α一定是整数，且是360的因数；③ 我们说到正方形的对称特征时，总是指它的中心对称特征；④ 一个不是中心对称的图形不论绕什么点旋转多少度，都不会与自身重合．A ．一个B ． 两个C ． 三个D ． 四个3.（2019春•房山区期末）如图，△DEF 是由△ABC 绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（ ）A ．（1，1）B ．（2，0）C ．（0，1）D ．（3，1）4.（2019春•潍城区期末）如图，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△DBE ，点C 的对应点E 落在AB 的延长线上，连接AD ，AC 与DE 相交于点F ，则下列结论不一定正确的是（ ）A ．∠ABD ＝∠CBE ＝60°B ．△ADB 是等边三角形C ．BC ⊥DED ．∠EFC ＝60°5．如图，在△ABC 中，∠B =40°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△ADE 处，使点B 落在BC 延长线上的D 处，则∠BDE= °．H GFEDCB A （6）（7）（8）（9）6．边长为3的正方形ABCD 绕点C 顺时针旋转30°，得到正方形EFCG ，EF 交AD 于点H ， 则DH 的长为 ．7.（2019春•高密市期末）如图，等边△AOB 中，点B 在x 轴正半轴上，点A 坐标为（1，），将△AOB 绕点O 顺时针旋转15°，此时点A 对应点A ′的坐标是8．（2019•太原二模）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝2，点D 是AC 边的中点，E 是直线BC 上一动点，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连接AF 、EF ，在点E 的运动过程中线段AF 的最小值为 ．9．（2019•常熟）如图Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是斜边AB 的中点，将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转，点C 落在CD 的延长线上的E 处，点B 落在F 处，若AC ＝4，BC ＝2，则CE 的长为 ． 10.如图，在一个10×10的正方形DEFG 网格中有一个△ABC .① 在网格中画出△ABC 向下平移3个单位得到111C B A ∆．② 在网格中画出△ABC 绕C 点逆时针方向旋转90°得到的C B A 22∆．③ 若以EF 所在的直线为x 轴，ED 所在的直线为y 轴建立直角坐标系，写出1A 、2A 两点的坐标．11.如图所示，直线12l l ⊥，垂足为点O ，A 、B 是直线1l 上的两点，且OB =2，AB =2．直线1l 绕点O 按逆时针方向旋转，旋转角度为α（0180α<<o o）．（1）当α=60°时，在直线2l 上找点P ，使得△BP A 是以∠．B ．为顶角．．．的等腰三角形，此时OP =___ ___． （2）当α在什么范围内变化时，直线2l 上存在点P ，使得△BP A 是以∠．B ．为顶角．．．的等腰三角形，请用不等式表示α的取值范围： ___．12．如图，将一个钝角△ABC (其中∠ABC ＝120°)绕点B 顺时针旋转得到△A 1BC 1，使得点C 落在AB 边的延长线上的点C 1处，连接AA 1.(1)写出旋转角的度数；(2)求证：∠A 1AC ＝∠C 1.A B C D F (E )A 1A B C D E F 13．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝4，DC ＝3，将△ADC 绕点A 逆时针方向旋转得到△AEF (点A ，B ，E 在同一直线上)，连接CF ，求CF 的长．14．如图1，在Rt △ACB 中，四边形DECF 为正方形，请回答下列问题：（1）请简述图1经过怎样的变换形成图2；（2）当AD ＝5，DB ＝6时，△ADE 与△BDF 面积的和是多少？（图1） （图2）A ′15．（2019春•无棣县期末）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABM，连接EM，AE，且使得∠MAE＝45°．（1）求证：ME＝EF；（2）求证：EF2＝BE2+DF2．16.如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，使点B、C、F、D在同一条直线上，且点C 与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）（图1）（图2）（图3）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决．（1）将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的距离；（2）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG 的长度；（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH﹦DH．（图4）（图5）（图6）。
人教版九年级数学上册 23.1 图形的旋转 导学案
M D CA B E 《23.1 图形的旋转》导学案班级 小组 姓名一、学习目标： 目标A ：通过学习使学生了解旋转的含义目标B ：理解旋转的三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向目标C: 理解图形旋转的基本性质并运用.二、问题引领 问题A ：复习图形的平移和轴对称、了解图形旋转的含义1、下列图形中不属于轴对称图形的是（ ） A 矩形 B 菱形 C 平行四边形 D 等腰三角形2、我们学过的图形变换有 和3、探究：钟表的指针在不停地转动，如图，从3时到5时，时针转动•了________度，旋转时所绕的点是__________4、归纳： 像这样，把一个平面图形绕着平面内某一点___________________，这样的图形变换叫做问题B:理解旋转的三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向1、如上图: 点O 叫做 ，转动的角叫做 ．如果时针的端点在3时的位置点P 经过旋转变为在5时的位置点P ′，那么这两个点叫做这个旋转的2、举例：如图，线段MO 绕点O 顺时针方向旋转900得到线段NO ，在这个旋转过程中，旋转中心是 ，旋转角是 ，它等于3、如图，在正方形ABCD 中，如果把△ADE 绕A 点按顺时针方向旋转得到△ABM ，在这个旋转过程中：（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？（2）经过旋转，点D 、E 分别移动到什么位置？4、如图，如果把钟表的指针看做△OAB ，它绕O 点按顺时针方向旋转得到△OEF ，在这个旋转过程中：旋转中心是什么？旋转方向是什么？旋转角是什么？问题C ：理解图形旋转的基本性质及运用1、如图，O 是六个正三角形的公共顶点，正六边形ABCDEF 能否看做是某条线段绕O 点旋转若干次所形成的图形？2、上面的解题过程中，能否得出什么结论，请回答下面的问题：①．A 、B 、C 、D 、E 、F 到O 点的距离是否相等？②．对应点与旋转中心所连线段的夹角∠AOB 、∠BOC 、∠COD 、∠DOE 、∠EOF 、∠FOA 、是否相等？③．旋转前、后的图形这里指三角形△OAB 、△OBC 、△OCD 、△ODE 、△OEF 、△OFA 全等吗？得: 归纳旋转性质: o o（1）对应点到旋转中心的距离；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于___________（3）旋转前、后的图形．三、专题训练：训练A1、下列现象属于旋转的是（）A.摩托车在急刹车时向前滑动B.飞机起飞后冲向空中的过程C.幸运大转盘转动的过程D.笔直的铁轨上飞驰而过的火车训练B2.如右上图，△ABC为等边三角形，D为△ABC•内一点,△ABD•经过逆时针方向旋转后到达△ACP的位置，则，（1）旋转中心是________；（2）•旋转角度是________；（3）•△ADP是________三角形3、如图所示，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O至少经过____________次旋转而得到，每一次旋转_______度.4、下图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（）A．︒90B．︒60C．︒45D．︒305、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，把△ABC绕点C旋转一定角度后得到△DEC，点A、C、E在同一直线上，则这个旋转角度为（）A．60°B．90° C．120°D．150°6、正方形在直角坐标系中的位置如左图表示，将正方形绕点顺时针方向旋转180°后，点的坐标是（）A． B． C． D．7、把一块直角三角板ABC绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合，连接CD,则BDC∠的度数是（）A．30° B．15° C．45° D．20°8、如图，把△OAB绕点O逆时针旋转80°,到△OCD的位置，若∠AOB=45°，则∠AOD等于( )．ABCD ABCD AC(2,0)(3,0)(2,1)-(2,1)OEDCBAA ．35° B.90° C．45° D.50°9、如图，该图形可以看作是由一个“”每次旋转 度 训练C10、如图：△ABC 绕点O 按顺时针方向旋转到△A ′B ′C ′位置.(1) OA=_______，OB=________，OC=________(2) ∠AOA ′= ∠___________ =∠___________(3) △ABC______△A ′B ′C ′11、如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，且DE=14，△ABF 是△ADE 的旋转图形．（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）AF 的长度是多少？（4）如果连结EF ，那么△AEF 是怎样的三角形？12、如图，在平面内将△ABC 绕着直角顶点C 逆时针旋转90°得到Rt △EFC ，若AB=5，BC=1,则线段BE 的长为___________.13、如图，点P 是等边△ABC 内一点，△BMC 是由△BPA 旋转所得，则∠PBM=__________. C四．课堂小结：本节课你学到了什么？ 五、课后作业(预计完成时间:25分钟)1、如下四个图案，它们绕中心旋转一定的度数后都能和原来的图形相互重合，其中有一个图案与其余图案旋转的度数不同的是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）2、在26个英文大写字母中，通过旋转180°后能与原字母重合的有（ ）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个3、从5点15分到5点20分，分针旋转的度数为（ ）A ．20°B ．26°C ．30°D ．36°4、如图，在正方形ABCD 中有一点P ，把△ABP 绕点B 顺时针旋转到△CQB ， 连接PQ ，则△PBQ 的形状是（ ）（A ）等边三角形 （B ）等腰三角形（C ）直角三角形 （D ）等腰直角三角形B AC E F MA5、 如图，△ABC 是等腰三角形，∠BAC=36°,D 是BC 上一点，△ ABD △ ABD 经过逆时针旋转后到达△ACE 的位置， ⑴旋转中心是哪一点？⑵旋转了多少度？ ⑶如果M 是AB 的中点，那么经过上述旋转后，点M 转到了什么位置？6、如下图所示的正方形，对角线AC 、BD 相交于点O,则正方形ABCD 绕O 最少旋转多少度后能与原图形重合（ ） A 60° B 90° C 120° D 180°7、如右图,在等腰直角△ABC 中，∠C=900，BC=2cm ，如果以AC 的中点O 为旋转中心，将这个三角形旋转1800，点B 落在点B ′处，求BB【能力提升】回答下列问题 如图，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是BA 延长线上一点，AF=21AB ． （1）在如图所示，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE 移到△ADF 的位置？（2）指出如图所示中的线段BE 与DF 之间的关系． A。
人教版-数学-九年级上册 23.1图形的旋转(2) 导学案
教学目标：1、做出的图形旋转后的图形。
2、利用旋转的性质解决相关问题。
重点：做出的图形旋转后的图形。
难点：利用性质解决问题。
教学过程一、知识回顾1、旋转的三要素是什么？2、性质：（1）对应点到__________________________；（2）每一对对应点与_________所连线段的夹角等于_______；（3）旋转前、后的图形______；二、探究新知1、例题：已知，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。
练习：1、以点O为旋转中心，（1）将△AB C顺时针旋转60°得到△A1B1C1；（2）顺时针旋转90°得到△A2B2C2。
2、△ABC绕点A逆时针旋转60°后的图形。
2、设计图案ABCO（第1题）ABC（第2题）经过旋转设计出美丽的图案，你能说出是怎么样的到的吗？三、当堂达标1、如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心( )A.顺时针旋转60°得到B.顺时针旋转120°得到C.逆时针旋转60°得到D.逆时针旋转120°得到2 如图将4张扑克牌放在桌子上，小敏把其中两张旋转180°后得到下面的图，那么她所旋转的牌从左起是（）A．第一张、第二张 B．第二张、第三张C．第三张、第四张 D．第四张、第一张3、如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B•对应点的位置，以及旋转后的三角形。
4、已知△ABC的BC边的中点D，（1）画出△ABC绕点D旋转180°的图形。
（2）画出△ABC绕点O旋转180°的图形。
人教版九年级上册数学第二十三章《旋转》导学案(有答案)
第二十三章旋转23.1 图形的旋转学习目标1．了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题．2．让学生感受生活中的几何，•通过不同的情景设计归纳出图形旋转的有关概念，并用这些概念来解决一些问题重点：旋转及对应点的有关概念及其应用.难点：从活生生的数学中抽出概念.学习过程一、创设问题情境1．将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形．2．如图，已知△ABC和直线L，请你画出△ABC关于L的对称图形△A′B′C′．3．圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其它的吗？（1）平移的有关概念及性质．（2）如何画一个图形关于一条直线（对称轴）•的对称图形并口述它既有的一些性质．（3）什么叫轴对称图形？二、自主学习自学教材59页内容并思考：1、你能举出生活中与旋转现象有关的例子吗？2、它们是怎样旋转的，你能类比平移的定义概况出旋转的定义吗？自学检测：1、在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为_____ ___，这个定点称为________，转动的角为________．2、△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置．（1）旋转中心是哪一点?旋转了多少度?（2）如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M旋转到了什么位置?三、合作展示1．如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？（2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？2．（学生活动）如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形．（1）这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？（2）请画出旋转中心和旋转角．（3）指出，经过旋转，点A、B、C、D分别移到什么位置？四、反思小结1.旋转的概念:在平面内将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转.2.平移与旋转的异同.五、达标测试一、选择题1.下列图片中，哪些是由图片（1）分别经过平移和旋转得到的（）2.下列各组图中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是（）A． B．C． D．3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．如果将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处．那么旋转的角度等于（）A．55°B．60°C．65°D．80°3题图 4题图4.如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，BE=CF，连接CE、DF．将△BCE绕着正方形的中心O按逆时针方向旋转到△CDF的位置，则旋转角是（）A．45° B．60° C．90° D．120°二、填空题5.如图所示，△ABC绕点A逆时针旋转某一角度得到△ADE，若∠1=∠2=∠3=20°，则旋转角为_______度．5题图 6题图 7题图6.如图是电脑CPU风扇的示意图．风扇共有9个叶片，每个叶片的面积约为8cm2．已知∠AOB=120°，在风扇的转动过程中，叶片落在扇形AOB内部的面积为_______cm2．7.如图，P是正△ABC内一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与P′之间的距离为PP′=_____，∠APB=______度．8. 如图，△ABC为等边三角形，△AP′B旋转后能与△APC重合，那么：（1）指出旋转中心；（2）求旋转角的度数；（3）求∠PAP′的度数．9.如图，正方形ABCD中，E在BC上，△DEC按顺时针方向转动一个角度后成△DGA．（1）图中哪一个点是旋转中心？（2）旋转了多少度？（3）已知CD=4，CE=3，求GE长．23.2.1 中心对称学习目标1.通过旋转作图认识两个图形关于某一点对称（或中心对称）的本质；就是一个图形绕一点旋转180°而成.2.通过作图探索中心对称的两个图形的性质；会利用中心对称的性质作出某一图形成中心对称的图形；会确定对称中心的位置.3.经历对日常生活中与中心对称有关的图形进行观察、分析、欣赏、动手操作、画图等过程，感受生活中的对称美.重点：中心对称的性质及应用.难点：确定对称中心的位置.学习过程一、创设问题情境问题：作出如图的两个图形绕点O旋转180°的图案，并回答下列的问题：1．以O为旋转中心，旋转180°后两个图形是否重合？2．各对称点绕O旋转180°后，这三点是否在一条直线上？二、自主学习如图所示的两个图案绕O旋转180°都是重合的，即甲图与乙图重合，△OAB与△COD 重合．像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．例1．如图，四边形ABCD绕D点旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答．（1）这两个图形是中心对称图形吗？如果是对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由．（2）如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点．分析：（1）根据中心对称的定义便直接可知这两个图形是中心对称图形，•对称中心就是旋转中心．（3）旋转后的对应点，便是中心的对称点．归纳：1．中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过，而且被所平分．2．关于中心对称的两个图形是图形.例2．如图，已知△ABC和点O，画出△DEF，使△DEF和△ABC关于点O成中心对称．分析：中心对称就是旋转180°，关于点O成中心对称就是绕O旋转180°，因此，我们连AO、BO、CO并延长，取与它们相等的线段即可得到.三、合作展示例3：画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形，并用适当文字简述画法．例4.如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（-2，-1），B（-3，-3），C（-1，-3）．（1）出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．学生自主学习，完成例题的学习.请各个小组上台演示解答过程.四、反思小结谈谈自己对这节课的感受，教师点评各个小组的表现.五、达标测试一、选择题1.你玩过扑克牌吗？你仔细观察过每张扑克牌的图案吗？下列扑克牌的图案中，是中心对称的一组是（）A．红挑6与红挑4 B．方块6与方块4C．梅花6与梅花4 D．黑挑6与黑挑42.如图△ABC与△AB′C′成中心对称，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，AC=1，则BB′的长为（）A．4 B D3.如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交边AD、BC与E、F两点，则阴影部分的面积是（）A．1 B．2 C．3 D．42题图 3题图 4题图4.如图，已知菱形ABCD与菱形EFGH关于直线BD上某个点成中心对称，则点B的对称点是（）A．点E B．点F C．点G D．点H二、填空题5.已知O是ABCD的对称中心，E是AB的中心，请写出一个与OE有关的结论：______________．（答案不唯一，参考举例）6.如图，P为平行四边形ABCD的对称中心，以P为圆心作圆，过P的任意直线与圆相交于点M、N．则线段BM、DN的大小关系是_______.6题图 7题图7.如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为________.三、解答题8.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的方格中，点A、B、C都是格点．（1）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）依次连结BC1、B1C，猜想四边形BC1B1C是什么特殊四边形？并说明理由．9.已知：如图所示，△ABC为任意三角形，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△DEC．（1）试猜想AE与BD有何关系？说明理由；（2）请给△ABC添加一个条件，使旋转得到的四边形ABDE为矩形，并说明理由．23.2.2 中心对称图形学习目标1.经历观察图形的过程，建立中心对称图形的概念，会判断一个图形是不是中心对称图形.2.通过动手操作，总结找中心对称图形对称中心的方法，发展归纳、总结的能力，积累问题的能力.重点：中心对称图形的概念及其他运用难点：中心对称图形性质的灵活运用学习过程一、创设问题情境本节课我们来学习一种具有特殊性质的图形，它们是一个图形经过旋转180°后旋转形成的图形，到底它们是怎样的呢？让我们一起来认识吧！二、自主学习1.作图题．（1）作出线段AO关于O点的对称图形，如图所示．（2）作出三角形AOB关于O点的对称图形，如图所示．（1）题就是将线段AB绕它的中点旋转180°，因为OA=•OB，所以，就是线段AB绕它的中点旋转180°后与它重合．上面的（2）题，连结AD、BC，则刚才的两个关于中心对称的两个图形，就成平行四边形，如图所示．∵AO=OC，BO=OD，∠AOB=∠COD，∴△AOB≌△COD，∴AB=CD.也就是，ABCD绕它的两条对角线交点O旋转180°后与它本身重合．因此，像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形，那么这个图形叫做，这个点就是它的对称中心.2．举出学过的哪些几何图形是中心对称图形3.课前准备一些精美的中心对称图形，用图片给予展示.三、合作展示4.在艺术字中，有些汉字或字母是中心对称图形．下面的汉字或字母，是中心对称图形吗？如果是，请标出它们的对称中心．5.如图，是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1．请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、对称或旋转变换，设计一个精美图案，使其满足：①既是轴对称图形，又是以点O为对称中心的中心对称图形；②所作图案用阴影标识，且阴影部分面积为4．四、反思小结1.通过本节课的学习你有什么收获？把你的收获与全班同学分享.2.你还有什么问题吗？3.教师点评各小组的学习表现.五、达标测试一、选择题1.下面图形中，是中心对称图形的是（）A． B．C． D．2.在正方形、等腰三角形、矩形、菱形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3.把等腰△ABC沿底边BC翻折，得到△DBC，那么四边形ABDC（）A．是中心对称图形，不是轴对称图形B．是轴对称图形，不是中心对称图形C．既是中心对称图形，又是轴对称图形D．以上都不正确二、填空题4.下列四个汽车图标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的图标有______个．5.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有_______种．三、解答题6.如图是10×8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，A、B、C三点在小正方形的顶点上，请在图①、②中各画一个凸四边形，使其满足以下要求：7.如图，AC=BD，∠A=∠B，点E,F在AB上，且DE∥CF，试说明该图是中心对称图形.8.阅读材料：对于中心对称图形，过对称中心的任意一条直线都把这个图形的面积分成相等的两部分，如图：尝试应用：(1)将图1分成面积相等的两部分(不写作法，保留作图痕迹)：(2)用不同的方法把图2分成面积相等的两部分：拓展延伸：把图3分成面积相等的两部分.23.2.3 关于原点对称的点的坐标学习目标1.能运用中心对称的知识猜想并验证关于原点对称的点的坐标的性质.2.利用该对称性质在平面直角坐标系内关于原点对称的图形，形成观察、分析、探究用合作交流的学习习惯，体验事物的变化之间是有联系的.重点：平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标的关系及其应用.难点：关于原点对称的点的坐标性质及其运用它解决实际问题．学习过程一、创设问题情境在平面直角坐标系中，我们学习了关于x轴和关于y轴对称的点的坐标特点.那么关于原点对称的点坐标又有什么新特点呢?让我们一起进入今天的学习吧!二、自主学习如图23-74，在直角坐标系中，已知A（-3，1）、B（-4，0）、C（0，3）、• D（2，2）、E（3 ，-3）、F（-2，-2），作出A、B、C、D、E、F点关于原点O的中心对称点，并写出它们的坐标，并回答：这些坐标与已知点的坐标有什么关系？提示：画法：（1）连结AO并延长AO,（2）在射线AO上截取OA′=OA,（3）过A作AD′⊥x轴于D′点，过A′作A′D″⊥x轴于点D″,∵△AD′O与△A′D″O全等,∴AD′=A′D″，OA=OA′,∴A′（3，-1）,同理可得B、C、D、E、F这些点关于原点的中心对称点的坐标．讨论：关于原点作中心对称时，①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐标之间符号又有什么特点？归纳：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号，即点P（x，y）关于原点O的对称点P′（，）．三、合作展示例1．如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB关于原点对称的图形．分析：要作出线段AB关于原点的对称线段，只要作点A、点B关于原点的对称点A′、B′即可.例2：在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）点A关于原点的对称点A′的坐标是_____，点B关于原点对称的点B′的坐标是______；（2）求直线y=x+2关于原点对称的直线的解析式．【分析】（1）先根据直线的解析式求出点A与点B的坐标，再根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答；（2）根据若两条直线关于原点对称，则这两条直线平行，即k值不变；与y轴的交点关于原点对称，即b值互为相反数可以直接写出答案．四、反思小结关于原点对称的点的坐标：特征：P (x，y)关于原点的对称点为P′(-x，-y).作图：作出关于原点对称的图形，先求出对称点的坐标再描点画图.五、达标测试一、选择题1.已知点P （－1，m 2＋1）与点Q 关于原点对称，则点Q 一定在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象限内的甲位置，其中一个顶点为A （-3，-1）．先将它绕原点O 旋转180°到乙位置，再将它向下平移2个单位长度到丙位置，则小花顶点A 在丙位置中的对应点A ′的坐标为A ．（3，-1）B ．（1，1）C ．（3，1）D ．（-1，3）3.以如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，如果以MN 所在的直线为y 轴，以小正方形的边长为单位长度建立平面直角坐标系，使A 点与B 点关于原点对称，则这时C 点的坐标可能是（ ）A ．（1，3）B ．（2，-1）C ．（2，1）D ．（3，1）4.平面直角坐标系中有A 、B 、C 三点，A 与B 关于x 轴对称，A 与C 关于原点对称，A 的坐标是（-3，2），则△ABC 的面积等于（ ）A ．24B ．20C ．16D ．125.如图，已知点A （2，3）和直线y=x ，（1）点A 关于直线y=x 的对称点为点B ，点A 关于原点（0，0）的对称点为点C ；写出点B 、C 的坐标；（2）若点D 是点B 关于原点（0，0）的对称点，判断四形ABCD 的形状，并说明理由．6.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 和△A 1B 1C 1关于点E 成中心对称．（1）画出对称中心E ，并写出点E 、A 、C 的坐标；（2）P （a ，b ）是△ABC 的边AC 上一点，△ABC 经平移后点P 的对应点为P 2（a+6，b+2），请画出上述平移后的△A 2B 2C 2，并写出点A 2、C 2的坐标；（3）判断△A 2B 2C 2和△A 1B 1C 1的位置关系．（直接写出结果）7.阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）的对称中心的坐标为(122x x +，122y y +)．观察应用：（1）如图，在平面直角坐标系中，若点P1（0，-1）、P2（2，3）的对称中心是点A，求点A 的坐标；（2）另取两点B（-1.6，2.1）、C（-1，0）．有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，….求点P3、P8的坐标．达标测试答案第二十三章旋转23.1 图形的旋转1.A2.C 解析：选项A、不能通过平移得到，故错误；选项B、是平移变换，不能通过旋转得到，故错误；选项C、既符合平移变化，又能旋转得到，故正确；选项D、是旋转变化，但不能通过平移得到，故错误．3.B 解析：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处，∴AB1=12BC，BB1=B1C，AB=AB1，∴BB1=AB=AB1，∴△ABB1是等边三角形，∴∠BAB1=60°，∴旋转的角度等于60°．4.C 解析：连接AC、BD，AC与BD的交点即为旋转中心O．根据旋转的性质知，点C与点D 对应，则∠DOC就是旋转角．∵四边形ABCD是正方形．∴∠DOC=90°．5.40 解析：∵∠1=∠2=∠3=20°，∴∠1+∠2=40°=∠BAD，即旋转角是40度．6.24 解析：由图可知叶片落在扇形AOB内部的面积是图形面积的13，因而叶片落在扇形AOB内部的面积为72×13=24cm2.7.6，150 解析：连接PP′，∵PA=6，PB=8，PC=P′B=10，∵∠PAP′=60°，∴P′A=PP′=PA=6，∴P′B=PC=10，∴∠P′PB=90°，∴∠APB=90°+60°=150°．8.解：（1）如图，∵△AP′B旋转后能与△APC重合，∴旋转中心是点A；（2）旋转角是∠BAC=60°；（3）由（2）得：∠P′AP=∠BAC=60°．9.解：（1）旋转中心是点D；（2）∵△DEC按顺时针方向转动一个角度后成△DGA，∴旋转角的度数等于∠ADC的度数，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，∴旋转了90°；（3）∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，DC=AB=BC=4，∵CE=3，∴BE=4-3=1，∵△DEC 按顺时针方向转动一个角度后成△DGA，∴△DEC≌△DGA，∴AG=CE=3，∴BG=3+4=7，在Rt△GBE中，．23.2.1 中心对称1.B2.A 解析：∵在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=1，∴AB=2AC=2，∴BB′=2AB=4．3.A 解析：∵四边形ABCD是正方形，∴∠EDB=∠OBF，DO=BO，在△EDO和△FBO中，∠EDO ＝∠FBO,DO＝BO,∠FOB＝∠EOD,∴△DEO≌△BFO（ASA），∴S△DEO=S△BFO，阴影面积=三角形BOC面积=14×2×2=1．4.D 解析：由于四边形ABCD与四边形EFGH都是菱形，且关于直线BD上某个点成中心对称，根据中心对称的定义可知，点B的对称点是H．5.BC=2OE，OE∥BC解析：O是ABCD的对称中心，E是AB的中心，则AE=BE，OA=OC．则与OE有关的结论：BC=2OE，OE∥BC．6.BM=DN 解析：连接BD，因为P为平行四边形ABCD的对称中心，则P是平行四边形两对角线的交点，即BD必过点P，且BP=DP，∵以P为圆心作圆，∴P又是圆的对称中心，∵过P的任意直线与圆相交于点M、N，∴PN=PM，∵∠DPN=∠BPM，∴△PDN≌△PBM（SAS），∴BM=DN．7.12 解析：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，∴菱形的面积=12×6×8=24，∵O是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积=12×24=12．8. 解：（1）如图所示，△A1B1C1为所求作的三角形：（2）四边形BC1B1C是平行四边形，连结BB1，CC1，∵点B与B1，点C与C1分别关于点O成中心对称，∴OB=OB1，OC=OC1，∴四边形BC1B1C是平行四边形．9.解：（1）AE∥BD，且AE=BD．理由如下：∵将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△DEC，∴△ABC≌△DEC，∴AB=DE，∠ABC=∠DEC，∴AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE ∥BD，且AE=BD；（2）AC=BC．理由如下：∵AC=BC，∴根据旋转的性质推知AC=BC=CE=CD，∴AD=BE，又由（1）知，四边形ABDE是平行四边形，∴四边形ABDE为矩形．23.2.2 中心对称图形1.C 解析：选项A、不是中心对称图形，错误；选项B、不是中心对称图形，错误；选项C、是中心对称图形，正确；选项D、不是中心对称图形，错误．2.C 解析：中心对称图形有正方形、矩形、菱形；轴对称图形有：正方形、等腰梯形、矩形、菱形，既是中心对称又是轴对称的图形有正方形、矩形、菱形．3.C 解析：∵等腰△ABC沿底边BC翻折，得到△DBC，∴四边形ABDC是菱形，∵菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，∴四边形ABDC既是中心对称图形，又是轴对称图形．4.1 解析：第一个图不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；第二个图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意；第三个图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不合题意；第四个图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不合题意．5.4 解析：如图所示：这个格点正方形的作法共有4种．6.解：（1）如图所示：四边形ABCD即为所求；（2）如图所示：四边形ABCD即为所求7.连接CD交AB于点O，∵AC=BD，∠A=∠B，又∵∠AOC=∠BOD, ∴△ACO≌△BDO(AAS) ∴OA=OB,OC=OD，∴A,B和C,D分别关于点O对称. ∵DE∥CF，∴∠ODE=∠OCF，又∵∠DOE=∠COF，OC=OD, ∴△ODE≌△OCF(ASA) ∴OE=OF，∴点E,F也关于点O对称，∴此图形是中心对称图形，对称中心是点O.8.解：尝试应用(1)（2）拓展延伸：23.2.3 关于原点对称的点的坐标1.D2.A 解析：∵点A（-3，-1）绕原点O旋转180°到乙位置，∴A在乙位置时的坐标为（3，1），∵A在乙位置向下平移2个单位长度到丙位置，∴丙位置中的对应点A′的坐标为（3，-1）．3.B 解析：根据A点与B点关于原点对称，MN所在的直线为y轴，可以确定x轴和原点的位置．所以点C的坐标是（2，-1）．4.D 解析：∵A的坐标是（-3，2），A与B关于x轴对称，A与C关于原点对称，∴B点坐标为（-3，-2），C点坐标为（3，-2），S△ABC=12×6×4=12．5.解：（1）∵A（2，3），∴点A关于直线y=x的对称点B（3，2），点A关于原点（0，0）的对称点C（-2，-3）；（2）∵B（3，2），∴点B关于原点（0，0）的对称点D（-3，-2），∵点B与点D关于O对称，∴BO=DO，∵点A与点C关于O对称，∴AO=CO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵点A关于直线y=x的对称点为点B，点A关于原点（0，0）的对称点为点C，∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形．6.解：（1）如图，E（-3，-1），A（-3，2），C（-2，0）；（2）如图，A2（3，4），C2（4，2）；（3）△A2B2C2与△A1B1C1关于原点O成中心对称．7.解：（1）（1，1）；（2）P3、P8的坐标分别为（-5.2，1.2），（2，3）.。
新人教版九年级数学上册23.1 图形的旋转(1)导学案(2)
新人教版九年级数学上册23.1 图形的旋转（1）导学案（2）1．了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念．2. 了解旋转对应点的概念及应用它们解决一些实际问题．重点：旋转及对应点的有关概念及其应用．难点：从生活中抽象出数学概念．(2分钟)请同学们完成下面各题．(1)将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形．,第(1)小题图),第(2)小题图)(2)如图，已知△ABC和直线l，请你画出△ABC关于l的对称图形△A′B′C′.(3)①圆是轴对称图形吗？②等腰三角形呢？③你还能指出其他的吗？答：(1)①是；(2)②是；(3)③等腰梯形、长方形、正多边形等．点拨精讲：(1)平移的有关概念及性质；(2)如何画一个图形关于一条直线(对称轴)的对称图形并口述它有哪些性质；(3)什么叫轴对称图形．一、自学指导．(10分钟)观察：让学生看转动的钟表和风车等．(1)上面情景中的转动现象，有什么共同的特征？(指针、风车叶片分别绕中间点旋转)(2)钟表的指针、秋千在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生变化呢？(形状、大小不变，位置发生变化)问题：(1)从3时到5时，时针转动了多少度？(60°)(2)风车每片叶轮转到与下一片原来的位置重合时，风车旋转了多少度？(60°)(3)以上现象有什么共同特点？(物体绕固定点旋转)思考：在数学中如何定义旋转？归纳：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)1．下列物体的运动不是旋转的是(C)A．坐在摩天轮里的小朋友B．正在走动的时针C．骑自行车的人D．正在转动的风车叶片2．下列现象中属于旋转的有__4__个．①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．3．如图，如果把钟表的指针看成四边形AOBC，它绕着O点旋转到四边形DOEF位置，在这个旋转过程中：旋转中心是点__O__，旋转角是__∠AOD(或∠BOE)，经过旋转，点A转到__D__点，点C转到__F__点，点B转到__E__点，线段OA，OB，BC，AC分别转到OD，OE，EF，DF，∠A，∠B，∠C分别与∠D，∠E，∠F__是对应角．点拨精讲：旋转角指对应点与旋转中心的连线的夹角．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形．(1)这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？(2)请画出旋转中心和旋转角；(3)经过旋转，点A，B，C，D分别移到什么位置？解：(1)可以看做是由基本图案正方形ABCD通过旋转而得到的；(2)画图略；(3)点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、点G、点H.点拨精讲：旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，但旋转角和对应点都是不唯一的．2．如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，点E在AB上，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么旋转中心是点__A__；旋转的度数是__45°__．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)两个边长为1的正方形，如图所示，让一个正方形的顶点与另一个正方形中心重合，不难知道重合部分的面积为14，现把其中一个正方形固定不动，另一个正方形绕其中心旋转，问在旋转过程中，两个正方形重叠部分面积是否发生变化？说明理由．点拨精讲：设任转一角度，如图中的虚线部分，要说明旋转后正方形重叠部分面积不变，只要说明S△OEE′＝S△ODD′，即说明△OEE′≌△ODD′.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．旋转及其旋转中心、旋转角的概念．2．旋转的对应点及其它们的应用．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)。
人教课标版 初中数学九年级上册第二十二章23.1.2图形的旋转导学案(无答案)
课题：23.1〔2〕旋转作图【学习目标】1、掌握简单图形的旋转后的图形的作图方法；2、理解旋转的性质并能灵活的应用它.【知识稳固】1、如图1 ,∆AOB绕着点O旋转至∆A′OB′，此时〔1〕点B的对应点是；〔2〕旋转中心是 ,旋转角为；图1〔3〕∠A的对应角是 ,线段OB的对应点线段 .2、旋转的性质有：〔1〕对应点到旋转中心的距离；〔2〕对应点与旋转中心所连线段的夹角等于；〔3〕旋转前后的图形 .【新课导入】探究一：按以下要求作图（1）将线段OA绕点O逆时针旋转30°;探究二：按以下要求作图〔2〕将点A绕点O逆时针旋转45°；〔3〕将线段AB绕点O逆时针旋转45°.【小试牛刀】按以下要求作图〔播放小视频〕〔1〕将点A绕点O顺时针时针旋转30°；〔2〕将线段AB绕点O顺时针旋转60°；【例题学习】自主学习书本例题 ,并尝试自己作图例：如图 ,E是正方形ABCD中CD边上任意一点 ,以点A为中心 , 把∆AAA顺时针旋转AA° ,画出旋转后的图形.分析：〔1〕旋转中心是；〔2〕旋转了度；〔3〕旋转方向是；小结：确定一个图形旋转后的位置条件：【要点归纳】图形旋转作图的步骤: (以区为单位分享小结)【变式训练】变式1：如图 ,∆AAA在网格中 ,作出∆AAA绕点C顺时针旋转AA°后的图形∆A’ A‘ A.变式2：作出∆ABC绕点O顺时针旋转90°后的图形∆A′B′C′.变式3：如图 ,∆ABC在网格中 ,作出∆ABC绕点O顺时针旋转90°后的图形∆A′B′C′.变式4：∆ABC绕点O旋转一定角度 ,点A与点D为对应点 ,作出旋转后的图形∆DEF.【课堂小结】1、旋转作图的步骤：〔1〕首先确定、旋转方向和；〔2〕其次确定图形的关键点；〔3〕将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度；〔4〕连接 ,形成相应的图形.2、你还有什么困惑吗？【作业布置】A组(必做题)用作业本完成书本第62页第1小题1、任意画一个∆ABC ,作以下旋转.(1)以点A为中心 ,把∆ABC逆时针旋转40°；(2)以点B为中心 ,把∆ABC顺时针旋转60°；(3)在∆ABC外任取一点为中心 ,把∆ABC顺时针旋转120°;(4)以AC的中点为中心 ,把∆ABC旋转180°.B组〔选做题〕1、在网格中 ,将∆ABC绕点A顺时针分别旋转90°、180°、270° ,作出来的图形像什么图案？2、如图 ,将小旗ACDB放于平面直角坐标系中 ,得到各顶点的坐标为A(-6,12),B(-6,0),C(0,6),D(-6,6).以点B为旋转中心 ,在平面直角坐标系内将小旗顺时针旋转90°.〔1〕画出旋转后的小旗A’B’C’D’;〔2〕写出点A’、C’、D’的坐标；〔3〕求出线段BA旋转到B’A’时所扫过的扇形面积.。
人教版九年级数学上册第二十三章旋转23.1图形的旋转第2课时图形的旋转_作图与设计教案新版
第 2 课时图形的旋转——作图与设计※授课目※【知与技术】理解不同样的旋中心、不同样的旋角度，会出不同样的收效，掌握依照需要用旋的知出美的案 .【程与方法】生活中旋象的察、推理和分析程，学会用数学的目光对待生活中的相关，体数学与生活的亲密系.【感情度】一步培养学生学数学的趣和生活的感情，领悟生活中的旋美，培养学生的美感，增学生的作能力和欣能力.【授课重点】用旋的相关知画.【授课点】依照需要美案.※授课程※一、情境入提（1）各点到旋中心的距离有何关系呢？（2）各点与旋中心所段的角与旋角有何关系？（3）两个形是旋前后的形，它全等？同学独立达成下面的作 .如，△ AOB O点旋后， G点是 B 点的点，作出△ AOB旋后的三角形.分析：要作出△ AOB旋后的三角形，找出三方面：第一，旋中心 O；第二，旋角∠ BOG；第三， A 点旋后的点 A′.二、研究新知从上面的作中，我知道，作足三要素：旋中心、旋角、点，而旋中心、旋角固定下来，点就自但是然地固定下来．因此，下面就不同样的旋中心、不同样的旋角来行研究.出示件，显现月牙案，教手鼠，慢慢出两片、三片⋯⋯，形成案，学生通察，感觉案的形成程，尔后教出示，学生行思虑研究.：（ 1）你能出上述案是怎获取的？（2）若是你一片月牙形案，你能法获取中的案？（3）你些案形成程的？1）改旋利用件一步显现“月牙”的旋, 学生感觉不同样的旋收效：（角；（ 2）改旋中心.三、掌握新知例下面的形是某案的一部分，你运用旋的方法，在方格中将形点O依次旋90°， 180°， 270°，依次画出旋后的形，你会获取一个美丽的图案，涂色部分不要涂错，否则不能够出现理想的收效，你来试一试吧！分析：运用“对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角相等”等旋转的特点，很简单获取旋转后的图案.答案：四、活动操作把一个三角形进行旋转：（1）选择不同样的旋转中心、不同样的旋转角，看看旋转收效；（2）改变三角形的形状，看看旋转收效.五、坚固练习请以以下列图形为基本图形，利用旋转进行图案设计.（1）（2）（3）六、概括小结经过这节课的学习，你有哪些收获？你感觉利用旋转进行图案设计需要注意哪些问题？※部署作业※从教材习题23.1 中采纳．※授课反省※在现实世界中，宽泛存在着物体的旋转，数学生研究图形的旋转，就是从抽象中而来的 . 当我们画一个经过旋转后的图形，在纸上毕竟是不能能再现其真切的搬动过程，这个过程只能存在于想象中，因此我们重视的是旋转后的结果，即经过旋转后的图形. 要准确画出一个经过旋转后的图形，特别是旋转构造复杂的图形，就需要必然的方法. 我们知道：点动成线，线动成面，面动成体 . 因此旋转图形的基本思路为：面的旋转经过线段（特殊线段）的旋转实现；线段的旋转经过点（特别点）的旋转实现.。
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第二十三章旋转
23.1.2 旋转作图
知识要点
1．在旋转的过程中，要确定一个图形旋转后的位置，除了应了解图形原来的位置外，还应了解__旋转中心___、__旋转方向___和__旋转角___．
2．旋转作图的步骤：
(1)首先确定__旋转中心___、旋转方向和__旋转角___；
(2)其次确定图形的关键点；
(3)将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度；
(4)连接__对应点___，形成相应的图形．
知识构建
知识点1：旋转作图
1．如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心一定是__点B___．
2．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B对应点的位置以及旋转后的三角形．
解：图略
3．任意画一个△ABC，作下列旋转：
(1)以点A为旋转中心，把这个三角形逆时针旋转45°；
解：图略
(2)以三角形外任意一点O为旋转中心，把这个三角形顺时针旋转120°；
解：图略
(3)以AB边的中点D为旋转中心，把这个三角形旋转180°.
解：图略
知识点2：在平面直角坐标系中的图形旋转
4．将等腰直角三角形AOB按如图所示位置放置，然后绕点O逆时针旋转90°至△A′OB′的位置，点B的横坐标为2，则点A′的坐标为( C)
A．(1，1)B．(，)
C．(－1，1) D．(－，)
,第4题图) ,第5题图)
5．如图，将△ABC绕点C(0，1)旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为(a，b)，则点A′的坐标为( D)
A．(－a，－b) B．(－a，－b－1)
C．(－a，－b＋1) D．(－a，－b＋2)
6．(2017·烟台)如图，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′，则点P的坐标是( B)
A．(1，1) B．(1，2)
C．(1，3) D．(1，4)
,第6题图) ,第7题图)
7．如图，正方形OABC的两边OA，OC分别在x轴、y轴上，点D(5，3)在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是( C)
A．(2，10) B．(－2，0)
C．(2，10)或(－2，0) D．(10，2)或(－2，0)
知识运用
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在x轴上，点C在y轴上，把矩形OABC 绕着原点顺时针旋转90°得到矩形OA′B′C′，若OA＝2，OC＝4，则点B′的坐标为( C)
A．(2，4) B．(－2，4)
C．(4，2) D．(2，－4)
,第8题图) ,第9题图)
9．如图，将平面直角坐标系中的△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′.已知∠AOB＝60°，∠B＝90°，AB＝，则点B′的坐标是( A)
A．(，) B．(，)
C．(，) D．(，)
10．如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点和点P都在小方格的顶点，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上．
(1)将△ABC平移，使点P落在平移后的三角形内部，在图甲中画出示意图；
(2)以点C为旋转中心，将△ABC旋转，使点P落在旋转后的三角形内部，在图乙中画出示意图．
解：图略
11．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A(－3，2)，B(0，4)，C(0，2)．
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；平移△ABC，若A 的对应点A2的坐标为(0，－4)，画出平移后对应的△A2B2C2；
(2)若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
解：(1)△A1B1C和△A2B2C2图略(2)旋转中心坐标(，－1)
能力拓展
12．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OD.
(1)求证：△COD是等边三角形；
(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
解：(1)根据旋转的意义和性质知，∠OCD＝60°，CO＝CD，∴△COD是等边三角形(2)当α＝150°，即∠BOC＝150°时，△AOD是直角三角形．由旋转的性质可知，△BOC≌△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝150°.又∵△COD是等边三角形，即∠ODC＝60°，∴∠ADO＝∠ADC －∠ODC＝90°，即△AOD是直角三角形(3)①若要AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO.∵∠AOB ＝110°，∠DOC＝60°，∴∠AOD＝360°－∠AOB－∠BOC－∠DOC＝360°－110°－α－60°＝190°－α.∵∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝α－60°，∴190°－α＝α－60°.∴α＝125°；②若使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO.由①知，∠AOD＝190°－α，∠ADO＝α－60°，∴∠OAD ＝180°－(∠AOD＋∠ADO)＝50°，∴α－60°＝50°，∴α＝110°；③若使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD.由①知，∠AOD＝190°－α.由②知，∠OAD＝50°，∴190°－α＝50°.∴α＝140°.综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形。