高考数学压轴专题2020-2021备战高考《不等式》全集汇编含解析

新数学《不等式》专题解析一、选择题
1．已知M、N是不等式组
1,
1,
10,
6
x
y
x y
x y
≥
⎧
⎪≥
⎪
⎨
-+≥
⎪
⎪+≤
⎩
所表示的平面区域内的两个不同的点，则
||
MN的最大值是（）
A．17B
．
34
C．32D．
17
2
【答案】A
【解析】
【分析】
先作可行域，再根据图象确定MN的最大值取法，并求结果.
【详解】
作可行域，为图中四边形ABCD及其内部，由图象得A(1,1),B(2,1),C(3.5,2.5),D(1,5)四点共圆，BD 为直径，所以MN的最大值为BD=2
1417
+=,选A.
【点睛】
线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
2．在平面直角坐标系中，不等式组
20
{20
x y
x y
y
+-≤
-+≥
≥
，表示的平面区域的面积是（）
A．2B．4 C．22D．2
【答案】B 【解析】
试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示的三角形ABC 及其内部．可得，A （2，0），B （0，2），C （-2，0），显然三角形ABC 的面积为
．故选B ．
考点：求不等式组表示的平面区域的面积．
3．某企业生产甲、乙两种产品需用到A,B 两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用总量如下表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得的最大利润为( )
甲 乙 每天原料的可用总量 A(吨) 3 2 12 B(吨)
1
2
8
A ．12万元
B ．16万元
C ．17万元
D ．18万元
【答案】D 【解析】 【分析】
根据条件列可行域与目标函数，结合图象确定最大值取法，即得结果. 【详解】
设每天甲、乙产品的产量分别为x 吨、y 吨由已知可得3212,28,0,0,
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩
目标函数34z x y =+，作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，
可得目标函数在点P 处取得最大值，由28,
3212,
x y x y +=⎧⎨+=⎩得()2,3P ，则
max 324318z =⨯+⨯=（万元）.选D.
【点睛】
线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
4．在下列函数中，最小值是2的函数是（ ） A ．()1f x x x
=+ B ．1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫
=+
<< ⎪⎝⎭
C ．()223
f x x =+D ．()4
2x
x
f x e e =+
- 【答案】D 【解析】 【分析】
根据均值不等式和双勾函数依次计算每个选项的最小值得到答案. 【详解】 A. ()1
f x x x
=+，()122f -=-<，A 错误； B. 1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫
=+<< ⎪⎝⎭
，故()cos 0,1x ∈，2y >，B 错误； C. ()222233
3
f x x x x =
=+++233x +，故()3
3
f x ≥
，C 错误； D. ()422422x
x f x e e =+-≥=，当4x
x e e
=，即ln 2x =时等号成立，D 正确. 故选：D . 【点睛】
本题考查了均值不等式，双勾函数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.
5．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞U B ．(1,3)- C ．(1,3) D ．(,1)(3,)-∞+∞U
【答案】A 【解析】 【分析】
由0ax b ->的解集，可知0a >及
1b
a
=，进而可求出方程()()30ax b x +-=的解，从而可求出()()30ax b x +->的解集. 【详解】
由0ax b ->的解集为()
1,+?
，可知0a >且
1b
a
=， 令()()30ax b x +-=，解得11x =-，23x =，
因为0a >，所以()()30ax b x +->的解集为()(),13,-∞-+∞U ， 故选：A. 【点睛】
本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题.
6．已知,x y 满足约束条件23023400x y x y y -+≥⎧⎪
-+≤⎨⎪≥⎩
，若目标函数2z mx ny =+-的最大值为1
（其中0,0m n >>），则11
2m n
+的最小值为（ ） A ．3 B ．1
C ．2
D ．
32
【答案】D 【解析】 【分析】
画出可行域，根据目标函数z 的最大值求得,m n 的关系式23m n +=，再利用基本不等式
求得
11
2m n +的最小值. 【详解】
画出可行域如下图所示，由于0,0m n >>，所以基准直线0mx ny +=的斜率为负数，故目标函数在点()1,2A 处取得最大值，即221m n +-=，所以23m n +=.
()1111115151932223
23232322
n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯++≥⨯+⋅=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当,1n m m n m n ===时等号成立，所以
112m n +的最小值为3
2
. 故选：D
【点睛】
本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
7．设变量,x y 满足约束条件0211x y x y x y -≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
，则目标函数5z x y =+的最大值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】D 【解析】 【分析】
由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案. 【详解】
根据约束条件0211x y x y x y -≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
画出可行域如图：目标函数z ＝5x +y 可化为y ＝-5x +z ，
即表示斜率为-5，截距为z 的动直线，由图可知，
当直线5z x y =+过点()1,0A 时，纵截距最大，即z 最大，
由211x y x y +=⎧⎨+=⎩
得A （1，0）
∴目标函数z ＝5x +y 的最小值为z ＝5
故选D
【点睛】
本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
8．设实数满足条件则的最大值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.
【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
，即，表示直线在轴的截距加上1，
根据图像知，当时，且时，有最大值为.
故选：.
【点睛】
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.
9．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≥⎩
且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范
围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞-
C ．(1,)-+∞
D ．(,1)-∞-
【答案】A 【解析】 【分析】
画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可． 【详解】
作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以
z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-.
故选：A
本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
10．若两个正实数x ，y 满足142x y +=，且不等式2m 4
y
x m +<-有解，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．(1,2)- B ．(,2)(1,)-∞-+∞U C ．()
2,1-
D ．(,1)(2,)-∞-+∞U
【答案】D 【解析】 【分析】
将原问题转化为求最值的问题，然后利用均值不等式求最值即可确定实数m 的取值范围. 【详解】 若不等式24y x m m +
<-有解，即2()4
min y
m m x ->+即可， 142x y +=Q
，12
12x y
∴+=， 则
121221112121124422482
y y x y x x x y y x ⎛⎫⎛⎫+
=++=+++≥+=+=+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
当且仅当28x y y x
=，即22
16y x =，即4y x =时取等号，此时1x =，4y =， 即()24
min y
x +
=， 则由22m m ->得220m m -->，即()()120m m +->， 得2m >或1m <-，
即实数m 的取值范围是()(),12,-∞-⋃+∞， 故选D ． 【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键．
11．已知函数()2
814f x x x =++，()()2log 4g x x =，若[]()15,4x a a ∀∈-≥-，
(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为（ ）
A ．-4
B ．-3
C ．-2
D ．-1
【答案】C 【解析】
由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立得：()f x 的值域为
()g x 的值域的子集，从而28142a a ++≤，故可求a 的最大值为2-.
【详解】
由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立， 得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，
由()()2log 4g x x =(]20,1x ∈()2g x ⇒≤ ，所以(](),2g x ∈-∞ 当43a --≤≤ 时，()
21f x
-＃-，
此时()f x 的值域为()g x 的值域的子集成立.
当3a >-时，()2
2814f x a a -≤≤++，须满足()f x 的值域为()g x 的值域的子集，
即28142a a ++≤，得62a -≤≤- 所以a 的最大值为2-. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查恒成立和存在性问题，注意把两类问题转化为函数值域的包含关系，此问题属于中档题目.
12．若均不为1的实数a 、b 满足0a b >>，且1ab >，则（ ） A ．log 3log 3a b > B ．336a b +> C ．133ab a b ++> D ．b a a b >
【答案】B 【解析】 【分析】
举反例说明A,C,D 不成立，根据基本不等式证明B 成立. 【详解】
当9,3a b ==时log 3log 3a b <; 当2,1a b ==时133ab a b ++=; 当4,2a b ==时b a a b =;
因为0a b >>，1ab >，所以336a b +>=>>，
综上选B. 【点睛】
本题考查比较大小，考查基本分析论证能力，属基本题.
13．已知2(0,0)x y xy x y +=>>，则2x y +的最小值为（ ） A ．10 B ．9
C ．8
D ．7
【答案】B 【解析】 【分析】
由已知等式得到211x y +=，利用()2122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭
可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值. 【详解】 由2x y xy +=得：
211x y
+=
()212222559x y x y x y x y y x ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
（当且仅当22x y y x =，即x y =时取等号） 2x y ∴+的最小值为9
故选：B 【点睛】
本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活对等于1的式子进行应用，配凑成符合基本不等式的形式.
14．若集合()(){}
130M x x x =+-<，集合{}
1N x x =<，则M N ⋂等于（ ） A ．()1,3 B ．(),1-∞-
C ．()1,1-
D ．()3,1-
【答案】C 【解析】 【分析】
解一元二次不等式求得M ，然后求两个集合的交集. 【详解】
由()()130x x +-<解得13x -<<，故()1,1M N ⋂=-，故选C. 【点睛】
本小题主要考查集合交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
15．某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( ) A ．
169
π
B ．
89
π C ．
1627
π
D ．
827
π 【答案】A 【解析】 【分析】
根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可． 【详解】
解：设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ，
则由题意可得
323
r x -=， 3
32
x r ∴
=-，
∴圆柱的体积为23
()(3)(02)2
V r r r r π=-<<，
则33333163331616442()(3)()9442939
r r r
V r r r r πππ++-=-=g g g g „．
当且仅当33
342r r =-，即43r =时等号成立．
∴圆柱的最大体积为
169
π
， 故选：A ．
【点睛】
本题考查圆柱的体积和基本不等式的实际应用，利用条件建立体积函数是解决本题的关键，是中档题．
16．已知正数x ，y 满足14
4x y
+=，则x y +的最小值是（ ） A ．9 B ．6
C ．
94
D ．
52
【答案】C 【解析】 【分析】 先把x y +转化成1
14()4x y x y ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭
，展开后利用均值不等式即可求解. 【详解】
Q 正数x ，y 满足
14
4x y
+=， 11414149
()14524444y x y x x y x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=+⋅+=++++⨯= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝…，
当且仅当4144
y x x y
x y
⎧=⎪⎪
⎨⎪+=⎪⎩，即34x =，32y =时，取等号.
故选：C 【点睛】
本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，基本不等式一定要把握好“一正，二定，三相等”的原则，属于基础题.
17．设x ∈R ，则“|1|1x -<”是“220x x --<
”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，22012x x x --<⇒-<<，故为充分不必要
条件.
18．设x ，y 满足约束条件则的最大值与最小值的比值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察直线在轴上取得最大值和最小
值时相应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出最大值和最小值，于此可得出答案。

【详解】
如图，作出约束条件表示的可行域. 由图可知，当直线经过点
时.z 取得最大值；
当直线
经过点
时，z 取得最小值.故
，故选：A 。

【点睛】
本题考查简单的线性规划问题，一般利用平移直线利用直线在坐标轴上的截距得出最优解，考查计算能力，属于中等题。

19．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3
C π
<”，则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】
充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-， 所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，
整理得，22
12cos a b C ab
++>，
由基本不等式，222a b ab +≥=，
当且仅当a b =时等号成立， 此时，12cos 2C +>，即1
cos 2C >，解得3
C π<， 充分性得证；
必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291
cos 247562
C +-==>⨯⨯，
故3
C π
<
，但228ab c =<，故3
C π
<
推不出2ab c >.
故必要性不成立； 故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】
本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.
20．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有
()()
1212
0f x f x x x -<-，且函数
(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式
()()222323f s s f s s -+--+„，则s 的取值范围是（ ）
A ．13,2⎡⎫--
⎪⎢⎣⎭
B ．[3,2]--
C ．[2,3)-
D ．[3,2]-
【答案】D 【解析】 【分析】
由已知可分析出()f x 在R 上为减函数且()y f x =关于原点对称，所以不等式等价于
()()222323f s s f s s -+-+-„，结合单调性可得222323s s s s -+≥-+-，从而可求
出s 的取值范围. 【详解】
解：因为对任意()1212,x x x x ≠都有
()()
1212
0f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数； 又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =关于原点对称， 则(
)(
)(
)
2
2
2
232323f s s f s s f s s -+--+=-+-„，所以
222323s s s s -+≥-+-，
整理得260s s +-≤，解得32s -≤≤. 故选：D. 【点睛】
本题考查了函数的单调性，考查了函数的对称性，考查了一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知得到函数的单调性和对称性，从而将不等式化简.。