天津市实验中学高三数学上学期期中(第三阶段)试题文

天津市实验中学2018届高三上学期期中（第三阶段）考试
数学（文）试题
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设,a b 为实数，若复数
121i
i a bi
+=++，则（ ） A ．31,22a b == B ．3,1a b == C ．13
,22a b == D ．1,3a b ==
2.已知直线,a b 分别在两个不同的平面,αβ内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ） A.充分不必耍条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.下列命题中的假命题．．．
是（ ） A ．1,20x x R -∀∈> B ．()2
,10x N x +∀∈-> C ．00,lg 1x R x ∃∈< D ．00,tan 2x R x ∃∈=
4.已知数列{}n a 中，111,n n a a a n +==+，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是（ ）
A ．10n >
B ．10n ≤
C ．9n <
D ．9n ≤
5.双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率是2，则21
3b a
+的最小值为（ ）
A ．1
B ．2 C
D
6. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，151,25a S ==，设n T 为数列(){
}
1
1n n a +-的前n 项和，
则2015T =（ ）
A ．2014
B ．2014-
C ．2015
D ．2015- 7.设抛物线22y x =的焦点为F ，
过点)
M
的直线与抛物线相交于,A B 两点，与抛物线
的准线相较于点C ，2BF =，则BCF ∆与ACF ∆的面积之BCF
ACF
S S ∆∆=（ ） A ．
23 B ．45 C ．47 D ．12
8.已知函数()2log ,02
sin ,210,4x x f x x x π⎧<<⎪
=⎨⎛⎫≤≤
⎪⎪⎝⎭
⎩若存在实数
1234,,,x x x x ()()()()1234f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则
()()
3412
11x x x x -⋅-⋅的取值范
围是（ ）
A ．()9,21
B ．()20,32 C.()8,24 D ．()15,25
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）
13.设全集{}
*lg 1U A B x N x =⋃=∈<，若(){}21,0,1,2,3,4U A C B m m n n ⋂==+=，则集合
B = ．
10.已知直线:,l y x m m R =+∈ .若以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在
y 轴上，则该圆的方程为 ．
11.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是 ．
12.若函数()()212
log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取值范闱
为 ．
13.在平面直角坐标系xOy 中，设,,A B C 是圆221x y +=上相异三点，若存在正实数,λμ使得OC OA OB λμ=+，则()2
23λμ+-的取值范围是 ．
14.已知函数()22f x x x =--，()1,041,0x x g x x x x ⎧
+>⎪
=⎨⎪+≤⎩，若方程()0g f x a -=⎡⎤⎣⎦的实根个数为
4，则a 的取值范围是_ ．
三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
，已知3
c C π
==.
（1）若2sin 3sin A B =，求,a b ； （2
）若cos B ，求sin 2A . 16.,A B 是直线0y =与函数()()22cos cos 1023x
f x x ωπωω⎛
⎫=++-> ⎪⎝
⎭图像的两个相邻的交点，且2
AB π
=
.
（1）求ω的值和函数()f x 的单调增区间；
（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移
4
π
个单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 的对称轴方程. 17.某餐厅装修，需要大块胶合板20张，小块胶合板50张，已知市场出售A B 、两种不同规格的胶合板。

经过测算，A 种规格的胶合板可同时截得大块胶合板2张，小块胶合板6张，B 种规格的胶合板可同时截得大块胶合板1张，小块胶合板2张.已知A 种规格胶合板
每张200元，B 种规格胶合板每张72元.分别用,x y 表示购买A B 、两种不同规格的胶合板的张数.
（1）用,x y 列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（2）根据施工需求，A B 、两种不同规格的胶合板各买多少张花费资金最少？并求出最少资金数.
18.已知在平面直角坐标系xOy
中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为()
F ，右顶点为()2,0D ，设点11,2A ⎛⎫
⎪⎝⎭
.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程； （3）过原点O 的直线交椭圆于点,B C ，求ABC ∆面积的最大值.
19.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()1n n n S a S a =-+（a 为常数，且0,1a a ≠≠). （1）求{}n a 的通项公式；
（2）设2n n n n b a S a =+⋅，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值； （3）在满足条件（2）的情形下，设111
11
n n n c a a +=
-+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：122
n T n >-
. 20. 设函数()()2ln f x ax x a R =--∈
（1）若()f x 在点()(),e f e 处的切线斜率为1
e ，求a 的值；
（2）求函数()f x 的单调区间；
（3）若()x g x ax e =-，求证：在0x >时，()()f x g x >.
试卷答案
一、选择题
1-5: AABDC 6-8: CBA 二、填空题
9.[]2,4,6,8 10. ()2
228x y -+= 11.403 12.4,23⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
13.()2,+∞ 14.51,4⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
三、解答题
15.解：（1）3,2a b ==.
（2
）sin A A =
=
，sin 2A =. 16.解：（1）2ω= 增区间511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤
++∈⎢⎥⎣⎦
（2）对称轴7,12
x k k Z π
π=
+∈ 17. 解：（1）22032500
x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩
（2）A 种胶合板5张，B 种胶合板10张花费资金最少，最少资金数为1720元。

18.解：（1）椭圆的标准方程为2
214
x y +=
（2）设线段PA 的中点为(),M x y ，点P 的坐标是()00,x y ， 由00121
22
x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，得0021122x x y y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ 点P 在椭圆上，得
()
2
2
211214
2x y -⎛
⎫+-= ⎪⎝
⎭
∴线段PA 中点M 的轨迹方程是22
114124x y ⎛⎫⎛
⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
（3）当直线BC 垂直于x 轴时，2BC =，因此ABC ∆的面积1ABC S ∆=. 当直线BC 不垂直于x 轴时，该直线方程为12y kx k ⎛
⎫=≠ ⎪⎝
⎭，代入2214x y +=，
解得B ⎛⎫
，C ⎛⎫
⎝
，
则4BC =A 到直线BC
的距离d =，
∴ABC ∆
的面积1
=
2ABC S AB d ∆⋅=
于是ABC S ∆由241141k k -≤
<+
，得ABC
S ∆≤12
k =-时，等号成立. ∴ABC S ∆
19．解：（1）()1111S a S a =-+ ∴1a a =，
当2n ≥时，()1n n n S a S a =-+ ()1111n n n S a S a ---=-+ 两式相减得：11
n
n n n a a a a a a --=⋅⋅= 即{}n a 是等比数列，∴1n n n a a a a -=⋅=； （2）由（1）知()
()2
11
n n n n a a b a
a a -=+
-，()2211
n n
n a a aa b a --=
-，
若{}n b 为等比数列，则有2213b b b =，
而()23122,21b a b a a ==+，()
42221b a a a =++
故()()2
323
21221a a a a a ⎡⎤+=⋅+⎣⎦，解得1
2
a =
， 再将12a =代入得12n
n b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭成立，符合{}n b 为等比数列.所以12a =.
（2）证明：由（2）知12n
n a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
所以1
1
1
1111
22n n
n c +=
-
⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
1111
2211
22121221
n n n n n n ++++=+=-++-- 所以111
222
n n n c +>-+
122231111111222222222n n n n T c c c +⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫=+++>-++-++
+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭
1111
22222
n n n +-
+>-. 20．解：（1）若()f x 在点()(),e f e 处的切线斜率为1
e ，
()11
k f e a e e '==-=，
得2a e
=
. （2）由()()110ax f x a x x x
-'=-
=> 当0a >时，令()0f x '=解得：1
x a
=
当x 变化时，()(),f x f x '随x 变化情况如表：
由表可知：()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调减函数，在1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上是单调增函数
当0a ≤时，()0f x '<，()f x 的单调减区间为()0,+∞
所以，当0a >时，()f x 的单调减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.单调增区间为1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
当0a ≤时，()f x 的单调减区间为()0,+∞
（3）当0x >时，要证()0x f x ax e -+>，即证ln 20x e x --> 令()()ln 20x h x e x x =-->，只需证()0h x >
∵()1
x h x e x
'=-
由指数函数及幕函数的性质知：()1
x h x e x
'=-在()0,+∞上是增函数
∵()1102h h ⎛⎫''⋅< ⎪⎝⎭，∴()h x '在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭内存在唯一的零点，
也即()h x '在()0,+∞上有唯一零点
设()h x '的零点为t ，则()10t h t e t '=-=，即1112t e t t ⎛⎫
=<< ⎪⎝⎭
，
由()h x '的单调性知：
当()0,x t ∈时，()()0h x h t ''<=，()h x 为减函数 当(),x t ∈+∞时，()()0h x h t ''>=，()h x 为增函数， 所以当0x >时.
()()111
ln 2ln 220t t h x h t e t t t e t ≥=--=--=+->
∴()0h x >.。