SARS传播的数学模型课件

r 0 . 55
其中，
L 1 0 . 053 L 2 0 . 0695 X (0) 1
(5.20)
再将分别代入SARS传播的控后方程(5.17)，就可以给出、 以及的数值解。再将分别代入SARS传播的控后方程(5.17)，就 可以给出、以及的数值解 。
学习交流PPT
16
6.2 控后模型的求解
实际公布数据。
学习交流PPT
18
学习交流PPT
19
学习交流PPT
20
图4 理论值与实际值对照图
从图4中可以看出，方程的解与实际数据吻合的很好，说明我
们的参数和模型都是正确可靠学的习交。流PPT
21
7 模型检验与结果分析
7.1 灵敏度分析 根据我们所建的模型，卫生部门通常可以采取两种方案对疫情
• 因此SARS的传播规律可分为“控前”和“控后”两个阶段
控制前 近乎自然的传播模式
控制后 政府控制后的传播模式
学习交流PPT
4
各类人的转化关系
• 控前模型为近似于自然传播时的S-I-R模型，控后 模型为介入隔离强度后的微分方程模型，两个模 型中各类人的转化关系如图
学习交流PPT
5
5 模型的建立
同理，我们求得现有病人数得解析解
X (t)X (T )e[1 (p )a L 1 L 2]t (T ) (1 P )b (1 e (t T )),t T
(5.21)
a 0 . 245
其中，
b
0 .6
T 47
(5.22)
我们已经分析过，为一客观参数。由于3月5日第一例SARS
进入我p国和，是为我待们估记计时的的参起数点，；现4在月来20估日计即p为和的情。况。 根据附件中的数据，将各时刻累计病人数减去累计治愈人数
学习交流PPT
7
• 于是有
X(t t)X(t)rX (t) t(L 1L2)X(t) t X(t tt)X(t)rX (t)(L 1L2)X(t)
• •
当△t→0时，
累计死亡人数
dd ( X t) trX (t) (L 1L 2)X (t)
• 死亡累计人数的变化＝新增死亡人数
• 当D △( tt→ 0 时t) D ( t) L 1 X ( t) t
学习交流PPT
23
控制时间对的模型影响
学习交流PPT
24
图6 控制时间对的模型影响
学习交流PPT
25
表2
控制时间 T 累计病人数
延后5天 延后4天 延后2天 4月20日 提前2天 提前4天 提前5天
5382 4729 3733 2879 2764 1576 1621
由图6和表2可以看出：控制时间的提前或延后，对累计病人 影响显著。
liX m (t)X (T )lie m [1 ( p )a L 1 L 2]t( T ) (1 P )b(5.23)
t
t
t
该试为t的指数函数，其收敛性取决于自变量的系数。
当时 控制。
(1p)aL1L2，0
limX(t) 0，模型收敛，疫情能够得到
t
当
(1p)aL1L20，
limX(t) 0
• 7) 不考虑隐性SARS患者，即只要感染上SARS病毒的患者 最终都会表现出症状.
学习交流PPT
2
3 符号说明
• X(t):现有病人数 • Y(t):累计病人数 • R(t):累计治愈人数 • D(t):累计死亡人数 • T:采取强制措施的时间 • L1:病人的死亡率 • L2:病人的治愈率 • P:采取控制措施后的隔离强度 • R(t):未被隔离的病人平均每人每天感染的人数
学习交流PPT
30
8.2 模型的缺点
为了简化模型的复杂性，我们设定隔离强度，治愈 率、死亡率等参数在一定阶段不发生变化，而实际情况 下，随着感染人数的减少，其会发生变化，还需要针对 具体情况做具体分析。
模型给出的把人群的每一个个体、每一个地区视为 相同的，忽略了性别、年龄结构以及地区差异对隔离措 施强度、控制时间等参数的影响等，而事实上，个体免 疫力与个体年龄因素有关的，同时不同地域对疫情的趋 势也有影响，有待改进。
• 2) 将所考查人群分为现有病人、治愈者、死亡者、正常 人四类。
• 3) 假设已治愈的患者二度感染的概率为0，即患者具有免 疫能力，不考虑其再感染。
• 4) 假设所有患者均为“他人输入型”患者，即不考虑人 群个体自身发病。
• 5) 假设各类人群在人群总体中分布均匀。
• 6) 假设已被隔离的人群之间不会发生交叉感染。
说明控制时间T，对疫情的传播具有极大的敏感度和相关性。
学习交流PPT
26
7.2 收敛性讨论
收敛的判别标准为当 t时，各类人群数是否收敛。针对该
模型，我们要判别控后模型方程组解的收敛性，X(t)的取值至 关重要,D(t)、R(t)以及Y(t)的收敛性都直接依赖于X(t)是否收敛 到0。 将控后模型中X(t)的解析解取极限得 :
控前 现有病人数 • 假设某地区产生第一例SARS病人的时间为T0，在
（T0,T）时段，是近乎于自由传播的时段，隔离强 度为0，每个病人每天感染人数为一常数。
• 考察(t, △t)时段内现有病人数的变化，应该等于 △t时间段新增的病人数减去死亡和治愈的人数。
新增病人
现有病人
死亡和治愈病人
学习交流PPT
•
dR(t) dt
L2X(t)
• 累计病人数
• 累计病人数＝现有病人数＋累计死亡人数＋累计 治愈人数
Y (t) X (t) D (t) R (t)
学习交流PPT
14
SARS传播的控后模型
dX(t)
dt
(1
p)r(t) X (t)
(L1
L2 )X (t)
dDd(tt) L1X(t)
,t T
dR(t) dt
t
，模型发散，疫情难以控
制。
分析发现，模型收敛得条件为 :
学习交流PPT
27
p 1 L1 L2 a
(5.24)
其中， a0.245 L1 0.053 L2 0.0695
所以，要使疫情得到控制，必须使隔离强度 p50%。
7.3 计算机模拟检验
为了检验模型求解结果的正确性，我们进行了仿真模拟。模 拟结果如图7所示。
L2
X
(t)
Y(t) X(t) D(t) R(t)
r(t) a be t
a
0.245
b 0.6
• 初始值X(T)取控前模型的最后一个值。
学习交流PPT
15
6.模型的求解：
6.1 控前模型的求解 对于现有病人数，我们可以根据SARS传播的控前方程(5.8)，
求得它的解析解为
X (t)X (0 )e(r L 1 L 2)t,t T(5.19)
dD(t) dt
L1X(t)
学习交流PPT
8
• 累计治愈人数 • 治愈累计人数的变化＝新增治愈人数。
R (t t) R (t) L 2 X (t) t
•
dR(t) dt
L2X(t)
• 累计病人数
• 累计病人数＝现有病人数＋累计死亡人数＋累计 治愈人数
Y (t) X (t) D (t) R (t)
1 问题描述
• SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性
呼吸道综合症, 俗称：SARS型肺炎）是21世纪第一个在世 界范围内传播的传染病 。SARS的爆发和蔓延给我国的经济 发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重 要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、 为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。
6
• 现有病人数的变化＝新增病人数－(死亡人数＋治 愈人数)。我们设r为每个未被隔离的病人每天感染 的人数，L1和L2分别为治愈率和死亡率。则有
新增病人数＝病人数每人在t时间内感染人数 ＝X(t)rt rX(t)t
死亡人数＝死亡率病人数 t ＝L1 X(t)t L1X(t)t
治愈人数＝治愈率病人数 t ＝L2 X(t)t L2 X(t)t
治愈人数＝治愈病 率人数t ＝L2 X(t)t L2X(t)t
学习交流PPT
12
• 于是有
X (t t)X (t)(1p)r(t)X (t) t(L 1L 2)X (t) t
X (t t)X (t)
t
(1p)r(t)X (t)(L 1L 2)X (t)
•
当△t→0时，
d(tX ) dt (1 p )r(t)X (t) (L 1 L 2)X (t)
学习交流PPT
3
4 问题的分析
• 把人群分为四类：正常人群、患病人群、治愈人类和死亡 人群，分别用H(t)、X(t)、R(t)和D(t)表示。
• 在SARS爆发初期，由于整个社会对SARS病毒传播的速度 和危害程度认识不够，政府和公众对之不予重视，没有采 取任何有效的隔离控制措施。当疫情蔓延到4月20号，政 府与社会开始采取强制措施，对SARS进行预防和控制。
进行有效控制。一是改变控制时间点；二是改变控制强度。现在我 们分别考察他们对模型的影响 。
隔离强度对的模型影响
图5 隔离强学度习交对流PP的T 模型影响
22
表1
隔离强度 p 累计病人数
55％ 65％ 75％
6996 2827 1339
由图5和表1可以看出： 隔离强度75%与隔离强度65%相比，可使发病总人数减小 1500人左右。 隔离强度65%与隔离强度55%相比，可使发病总人数减小 4000人左右。 说明隔离强度，对疫情的传播具有极大的敏感度和相关性。
学习交流PPT
9
SARS传播的控前模型
•
初始值
dX (t )
dt
rX
(t)
( L1
L2 ) X
(t)
dD (t ) dt
L1 X
(t)
dR (t ) dt
L2 X
(t)
Y (t ) X (t ) D (t ) R (t )
X (0) 1
Y ( 0 ) 1
D
(0 )
0
R ( 0 ) 0
再减去死亡人数，可得到现有病人数，估计 p和 的值。估计
时我们按均方最小误差原则，计算出其估计值分别为：
P65% ， 0.02 。
学习交流PPT
17
至此即 X (t) 为关于t的一元确定函数。
我们根据以上求出的解，作出了现有病人数、累计死亡人数、累
计治愈人数、累计病人数的曲线图，如图4所示。其中，打点的是
学习交流PPT
10
控后模型
• 控后隔离强度从控前的0变为 p。未被隔离的病人 平均每人每天感染的人数r随时间逐渐变化，它从 初始的最大值a+b逐渐减小至最小值a。设每个未 被隔离的病人每天感染的人数
• 其 数中 据， 估用计来出r(反它t)映的大ra (t)小 的b 。变 e化(t快T)慢，可以用附件中的 • 类似于控前模型的分析，我们来考虑在t到t+ △ t
学习交流PPT
28
图7 计算机模拟图
从以上曲线可以看出：计算机模拟结果与模型计算结果有着良
好的一致性。本模型是可以信学习赖交流的PPTSARS传播模型。
29
8 模型的评价
8.1 模型的优点 本文中所建立的是一个连续的微分方程模型，它从机理上准
确地描述了每一时刻的现有病人、治愈者、死亡者的变化规律， 消除了离散模型在处理非整数天数时的困难，机理合理、方法 直观、实用，结果与实际数据拟合的很好。
时段内各类人群的变化情况。
学习交流PPT
11
• 现有病人数 • 现有病人数的变化＝新增病人数－(死亡人数＋治
愈人数)。与控前模型一样，用和表示治愈率和死 亡率。则有
新增病人数＝病人 每数人在t时间内感染人数 ＝(1 p)X(t)r(t)t (1 p)r(t)X(t)t
死亡人数＝死亡病 率人数t ＝L1 X(t)t L1X(t)t
该模型根据附录给出的数据设置变量，各变量之间相互影 响，关系明确；同时设定的参数合情合理，意义明确，消除了 人为因素对模型结果的影响。
建立的微分方程稳定性较好，给出了模型的收敛性条件，即 隔离强度达到多少才能控制疫情，对政府的决策有指导意义。
该模型针对不同隔离强度进行分段研究，能够方便有效的预 测疫情趋势。欲对某疫区进行预测，只需对参数进行估计，给 出初值带入方程即可。
• 1、 对早期模型，评价其合理性和实用性。
• 2、建立自己的模型，特别要说明怎样才能建立一个真正能 够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型， 这样做的困难在哪里？
• 3、收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学 模型并进行预测。学习交流PPT来自12 基本假设
• 1) 假设所考查人群的总数恒定，且无病源的输入和输出。
• 累计死亡人数
• △ t时间内死亡累计人数的变化等于新增死亡人数。
• 当△D t→( t 0 时 t ) D ( t ) L 1 X ( t ) t
dD(t) dt
L1X(t)
学习交流PPT
13
• 累计治愈人数 • 治愈累计人数的变化＝新增治愈人数。
R (t t) R (t) L 2 X (t) t