人教版八年级数学上册阶段方法技巧训练：专训2 三角形的三种重要线段的应用 (共30张PPT)

1. 如图，已知AB⊥BD于点B，AC⊥CD于点C， AC与BD交于点E，则△ADE的边DE上的高 为___A__B___，边AE上的高为____D_C___．
类型2 作三角形的高
2. (动手操作题】画出图中△ABC的三条高．(要 标明字母，不写画法)
解： 如图．
类型3 求与高相关线段的问题
3．如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝5，若BC边 上的高AD＝4.求：
4x)cm. 依题意，有AB＋AD＝15 cm或AB＋AD＝6 cm， 则有2x＋x＝15或2x＋x＝6， 解得x＝5或x＝2. 当x＝5时，三边长为10 cm，10 cm，1 cm； 当x＝2时，三边长为4 cm，4 cm，13 cm，而4 ＋4＜13，故不成立． 所以这个等腰三角形的三边长为10 cm，10 cm， 1 cm.
解： 因为AE平分∠BAC， 所以∠BAE＝∠CAE. 又因为∠1＝∠2＝15°， 所以∠BAE＝∠1＋∠2＝15°＋15°＝30°. 所以∠CAE＝∠BAE＝30°， 即∠CAE＝∠4＋∠3＝30°. 又因为∠4＝15°， 所以∠3＝15°. 所以∠2＝∠3. 所以AE是△DAF的角平分线．
类型2 三角形的角平分线与高相结合求角的度数
1 BC，
1
4
∴GH＝BD＝ BC.
∴S阴影＝
1´ 4
骣 ççç桫124BC
• h÷÷÷
＝
1 4
S△ABC＝4.
故选B.
应用 2 三角形的中线的应用
类型1 求与中线相关线段的问题
6. 如图，AE是△ABC的中线，已知EC＝4， DE＝2，则BD的长为( A ) A．2 B．3 C．4 D．6
同类变式
7. 如图，已知BE＝CE，ED为△EBC的中线， BD＝8，△AEC的周长为24，则△ABC的 周长为( ) A．40 B．46 C．50 D．56
同类变式
8．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上 的中线BD将这个三角形的周长分成15 cm 和6 cm两部分，求这个等腰三角形的三边 长．
解： 设AD＝CD＝x cm，则AB＝2x cm，BC＝(21－
解：
理由：连接AD，由题意可知S△ABC＝ S△ACD＝S△AED＝a， 所以S△DEC＝2a，即S2＝2a.
(3)如图③，在图②的基础上延长AB到点F，使BF ＝AB，连接FD，FE，得到△DEF，若阴影部 分的面积为S3，则S3＝____6_a___(用含a的式子 表示)．
应用 3 三角形的角平分线的应用
类型2 求与中线相关的面积问题 9．操作与探索：
在图①～③中，△ABC的面积为a.
(1)如图①，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝ BC，连接DA，若△ACD的面积为S1，则S1＝ ____a____(用含a的式子表示)；
(2)如图②，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA 到点E ，使CD＝BC ，AE＝CA ，连接DE ，若 △DEC的面积为S2，则S2＝____2_a___(用含a的式 子表示)，请说明理由；
设△ABC的边BC上的高为h，△AGH的边GH上的高为h1，
△CGH的边GH上的高为h2，则有h＝h1＋h2. S△ABC＝
1 2
BC•h＝16 ，S阴影＝S△AGH＋S△CGH＝
1 2
GH•h1＋
1 2
GH•h2＝
1 2
GH•(h1＋h2)＝
1 2
GH•h.
∵四边形BDHG是平行四边形，且BD＝
证明：连接AD，因为S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，
所以 1 AC•BG＝ 1 AB•DE＋ 1 AC•DF.
2
2
2
又因为AB＝AC，
所以DE＋DF＝BG.
“等面积法”是数学中很重要的方法，而在涉 及垂直的线段的关系时，常将线段的关系转化 为面积的关系来解决．
类型5 求与高有关的面积
5．【中考•淄博】如图，△ABC的面积为16，点D 是BC边上一点，且BD＝ 1 BC，点G是AB边上 一点，点H在△ABC内部，4 且四边形BDHG是 平行四边形．则图中阴影部分的面积是( B ) A．3 B．4 C．5 D．6
因为BE，CD为△ABC的角平分线，
所以∠EBC＝ 1 ∠ABC，∠DCB＝
1 ∠ACB. 2
2
所以∠EBC＋∠DCB＝
1 ∠ABC＋
1 ∠ACB＝
1
2
(∠ABC＋∠ACB)＝90°
－2 1 α， 2 2
所以∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)
＝180°－(90°－
1
α)＝90°＋
1
α.
2
2
第(1)问很容易解决，第(2)问是对前一问的一个 变式，第(3)问就是类比前面解决问题的方法用 含α的式子表示．
类型3 求三角形两内角平分线的夹角度数
12．如图，在△ABC中，BE，CD分别为其角平分 线且交于点O.
(1)当∠A＝60°时，求∠BOC的度数； (2)当∠A＝100°时，求∠BOC的度数； (3)当∠A＝α时，求∠BOC的度数．
解： (1)因为∠A＝60°，
所以∠ABC＋∠ACB＝120°.
11. 如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的 平分线，∠B＝20°，∠C＝60°，求∠DAE的 度数．
解： 在△ABC中，∠B＝20°，∠C＝60°，
所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－20°
－60°＝100°.
又因为AE是∠BAC的平分线，
所以∠BAE＝ 1 ∠BAC＝ 1 ×100°＝50°.
因为BE，CD为△ABC的角平分线，
所以∠EBC＝ 1 ∠ABC，∠DCB＝
1 ∠ACB. 2
2 所以∠EBC＋∠DCB＝
1
∠ABC＋
1
∠ACB＝
1
2 (∠ABC＋∠ACB)＝60°，
2
2
所以∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)
＝180°－60°＝120°.
(2)因为∠A＝100°，
所以∠ABC＋∠ACB＝80°.
习题课 阶段方法技巧训练（一）
专训2 三角形的三种重 要线段的应用
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三 种重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关 系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起到 了很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角 度认识这三种线段．
应用 1 三角形的高的应用
类型1 找三角形的高
(1)△ABC的面积及AC边上的高BE的长； (2)AD∶BE的值．
解： (1)S△ABC＝
1 BC•AD＝ 1 ×4×4＝8.
2
2
因为S△ABC＝
1 AC•BE
2
＝ 1 ×5×BE＝8， 2
所以BE＝ 16 .
5
(2)AD∶BE＝4∶ 16 ＝ 5
5 4
.
类型4 证与高相关线段和的问题
4．如图，在△ ABC 中，AB＝AC，DE⊥AB， DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为点E，F，G. 求证：DE＋DF＝BG.
因为BE，CD为△ABC的角平分线，
所以∠EBC＝ 1 ∠ABC，∠DCB＝
1 ∠ACB.
2
2 所以∠EBC＋∠DCB＝
1
∠ABC＋
1
∠ACB＝
1
2 (∠ABC＋∠A
(∠EBC＋∠DCB)＝180°－40°＝
140°.
(3)因为∠A＝α，
所以∠ABC＋∠ACB＝180°－α.
类型1 三角形角平分线定义的直接应用
10．(1)如图，在△ABC中，D，E，F是边BC上 的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，以AE为 角平分线的三角形有___△__A_B_C__和__△__A_D_F___；
(2)如图，已知AE平分∠BAC，且∠1＝∠2＝∠4＝ 15°，计算∠3的度数，并说明AE是△DAF的角 平分线．
2
2
在△ABD中，∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°.
又因为AD是高， 所以∠BDA＝90°， 所以∠BAD＝180°－∠B－∠BDA
＝180°－20°－90°＝70°. 所以∠DAE＝∠BAD－∠BAE
＝70°－50°＝20°.
灵活运用三角形内角和为180°，结合三角形的 高及角平分线是求有关角的度数的常用方法．