江苏省启东市2021届高三上学期期中考试数学试题及答案

2020～2021学年第一学期期中考试
高三数学试题及评分建议
(考试时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。

1． 已知集合{0,2}A =，{|10}B x ax =+=，若B A ⊆，则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为
（ ▲ ） A ．
{}12 B ．{}12- C ．{}10,2 D ．{}1
0,2
- 【★答案★】D
2． “(21)(1)0x x -+<”是“0x =”的（ ▲ ）条件
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要 【★答案★】B
3．函数cos2y x =的单调减区间是（ ▲ ）
A ．ππ,π,Z 2k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦
B ．π3π2π,2π,Z 22k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦
C ．[]2π,π2π,Z k k k +∈
D ．πππ,π,Z 44k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦
【★答案★】A
4． 《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设1
AA 是正八棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点，以1AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ▲ ） A ．8 B ．16 C ．24 D ．28 【★答案★】C
5． 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，已知360S S +=，则
18
9
a a =（ ▲ ） A ．－512 B ．－8 C ．－2 D ．－1 【★答案★】B
6．若实数a ，b ，c 满足35a =，2log 5b =，53c =，则（ ▲ ）
A ．c b a <<
B ．b c a <<
C ．a c b <<
D ．c a b << 【★答案★】D
7． 已知角α的终边经过点(3,4)P ，则()
π
cos 24α+=（ ▲ ）
A ．
B
C ．
D 【★答案★】A
8． 设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，若()()1f x f x '+>，(0)2020f =，则不等式
()2019e 1x f x ->+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ▲ ）
A ．()(),00,-∞+∞
B ．()(),02019,-∞+∞
C ．()0,+∞
D ．()2019,+∞ 【★答案★】C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9． 对于任意向量a ，b ，c ，下列命题正确的是（ ▲ ）
A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c
B ．若a ·b ＝b ·c ，则a ＝c
C ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c
D ．若|a －b |＝|a ＋b |，则a ·b ＝0 【★答案★】CD
10．设正实数,x y 满足23x y +=，则下列说法正确的是（ ▲ ）
A ．
3
y x y
+的最小值为4 B ．xy 的最大值为98
C D ．224x y +的最小值为92
【★答案★】ABD
11．北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天
候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数cos5cos9()cos 59x x
f x x =++近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（ ▲ ）
A ．函数()f x 的最小正周期为π
B ．函数()f x 的图象关于点()
π
,02
-对称
C ．对任意x ∈R ，都有(π)()f x f x ''-=
D ．函数()f x '的最小值为－3 【★答案★】BCD
12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点M ，N 分别是棱A 1D 1，CD 的中点，点P 在四边形
ABCD 内，点Q 在线段BN 上，若PM =，则（ ▲ ）
A ．点P 的轨迹的长度为2π
B ．线段MP 的轨迹与平面11AD
C B 的交线为圆弧
C ．PQ
D ．PQ 长度的最大值为25＋2
【★答案★】AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

请把★答案★直接填写在答题卡相应．．．．． 位置上．．．。

13．已知函数,0()()3,0x x f x f x x ⎧⎪=⎨->⎪⎩
≤，则()32log f = ▲ ．
【★答案★】1
2
14．在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已知三棱
柱111ABC A B C -是一个“堑堵”，其中12AB BB ==，1,BC AC ==“堑堵”的外接球的表面积为 ▲ ． 【★答案★】9π
15．已知圆内接四边形ABCD 中，1,2,AB BC AD DC ====CA CB ⋅＝ ▲ ． 【★答案★】
154
16．已知函数f (x )＝(x 2－x )(x 2＋mx ＋n )的图象关于直线x ＝2对称，则m ＋n ＝ ▲ ；f (x )的最小值
为 ▲ ．（本题第一空2分，第二空3分） 【★答案★】5；－9
4
四、解答题：本题共6小题，共70分。

请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．(本小题满分10分)
在①11013,5a S ==-；②377,5a a ==-；③3530,35S S ==这三个条件中任选一个，回答下列问题，已知等差数列{}n a 满足 ▲ ．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ，以及使得n S 取得最大值时n 的值． 【解】（1）选条件①．因为数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，11013,5a S ==-，
1011091052
S a d ⨯=+=-，得3d =-，……………3分
所以1(1)163n a a n d n =+-=-．……………5分
选条件②．因为数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，由377,5a a ==-得 317127,65a a d a a d =+==+=-，得113,3a d ==-，……………3分
以下同①.
选条件③．3530,35S S ==因为数列{}n a 是等差数列，设首项为1a ，公差为d ， 由3530,35S S ==得3151
3254330,53522
S a d S a d ⨯⨯=+==+=，
解得113,3a d ==-，……………3分 以下同①．
（2）由（1）知1()2
n n a a S n +==22932n n -，……………7分
当5n ≤时0n a >，当6n ≥时，0n a <， 所以当5n =时，n S 最大．……………10分 18．(本小题满分12分)
如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，且3BD AD =． （1）若2BCD ACD ∠=∠，求角A 的大小； （2）若cos 1
3
A =
，求tan C 的值．
【解】（1）设ACD θ∠=，则π
(0,)2θ∈，2BCD θ∠=，
因为tan ,tan 2AD BD
CD CD
θθ=
=, 又因为3BD AD =，所以tan23tan θθ=，……………3分 即
2
2tan 3tan 1tan θθ
θ=-，所以tan θ， 因为π
(0,)2
θ∈，所以π6θ=，所以π3A =.……………6分
（2）因为tan ,tan CD CD
A B AD BD
==，3BD AD =，
所以tan 3tan A B =，……………8分 又因为1π
cos ,(0,)32
A A =∈，
所以222sin 1cos A A =-=，
所以tan 22A =，22tan B =，……………10分
又因为tan tan()C A B =-+，
所以82tan tan tan 1tan tan A B C A B +=-=-⋅．……………12分
19．(本小题满分12分)
如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，123,2AB A A ==，D ，E ，F 分别为线段AC ，A 1A ，C 1B
的中点.
（1）证明：EF ∥平面ABC ；
（2）求直线C 1B 与平面BDE 所成角的正弦值.
【解】（1）如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG ．
在△BCC 1中，因为F 为1C B 的中点，所以FG ∥111
,2
C C FG C C =．……………2分
在三棱柱111ABC A B C -中，1A A ∥111,C C A A C C =，且E 为1A A 的中点， 所以FG ∥,EA FG EA =. 所以四边形AEFG 是平行四边形
.
G
D F
E
1C
1B
1A
C B
A
B
B 1
C 1
D
F
E
A 1
C
A
所以EF ∥AG .……………4分
因为EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC ．……………6分
（2）以D
因为AB =所以1BD =
所以1(0,0,0),(0,1,0),(D B C E ．
所以133(,1,2),(0,1,0),(BC DB DE =-==-，……………8分
设平面BDE 的的一个法向量为(,,)n a b c =， 则0
0DB n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0,0,b c =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取a =1c =，
所以(3,0,1)n =，……………10分
所以
1111cos ,||||
4n BC n BC n BC ⋅<>=
=
直线1C B 与平面BDE 所成角为θ，则θ与1,n BC <>或它的补角互余， 所以1sin |cos ,|n BC θ=<>=.……………12分
20．(本小题满分12分)
如图所示的某种容器的体积为18π dm 3，它是由半球和圆柱两部分连接而成，半球的半径与圆柱的底面半径都为r dm ，圆柱的高为h dm ．已知顶部半球面的造价为2
3/dm a 元，圆柱的侧面造价为2
/dm a 元，圆柱底面的造价为
22/dm 3
a 元．
（1）将圆柱的高h 表示为底面半径r 的函数，并求出定义域； （2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径r 为多少？
【解】（1）因为半球的半径与圆柱底面半径都为r ， 所以半球体积为312π,
3
V r =
圆柱的体积为22πV r h =．……………2分 因为,1821π=+V V 所以23
22π18ππ,3
V r h r ==-
所以2
1823r
h r =
-.……………4分 因为312π18π
3
V r =<所以3r <.因此03r <<.
所以2
1823r
h r =
-，定义域为{}
03r r <<．……………6分
（2）半球的表面积212πS r =，圆柱的侧面积22πS rh =，圆柱底面积为23πS r =．
容器总造价为22212322220182
36π2πππ2π()3333a a y aS aS S r a rha r r a r r a r
=++=++=+-
24π27(4)3a r r
=+．……………8分 令2
27
()4f r r r =+，则3
22
27827()8r f r r r r -'=-=，
令()0f r '=，得3
2
r =，
当3
02
r <<时，()0f r '<，()f r 在3(0,)2上为单调减函数；
当
33
2
r <<时，()0f r '>，()f r 在3(,3)2上为单调增函数．……………10分
因此，当且仅当3
2
r =
时，()f r 有最小值27，y 有最小值36πa 元. 所以，总造价最低时，圆柱的底面半径为3
dm 2
．……………12分
21．(本小题满分12分)
已知函数()ln f x x ax b =-+的图象在1x =处的切线方程为x ＋y －3＝0． （1）求a 和b 的值；
（2）对∀0x >，()e 3x f x x x m -+≤成立，求实数m 的取值范围．
【解】（1）因为()ln f x x ax b =-+，所以1
()f x a x
'=-，
由函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为x ＋y －3＝0，
知(1)2f a b =-+=，(1)11f a '=-=-，得2,4a b ==.……………3分
（2）因为对∀0>x ，()e 3x f x x x m -+≤成立，所以ln e 4x m x x x +-+≥恒成立， 令()ln e 4,0x g x x x x x =+-+>
则(1)(1e )1()1(1)e x x x x g x x x x
+-'=+-+=，……………5分
设0()0g x '=，00x >，则00
1
e x x =，从而00ln x x =-，……………7分
因为1()3(102g '=->，(1)2(1e)0g '=-<，所以1
()(1)02g g '⋅<，
因为()g x '的图象在1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上是不间断的，
所以∃()
01
,12x ∈，满足0()0g x '=，……………9分
当0(0,)x x ∈时，()0g x '>， ()g x 单调递增； 当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减．
从而()g x 在0x x =时取得最大值00000()ln e 4143x
g x x x x =+-+=-+=，
所以m 的取值范围为3m ≥．……………12分
法二：因为对∀0>x ，()e 3x f x x x m -+≤成立，所以ln e 4x m x x x +-+≥恒成立，
即()
ln e e 4x x
m x x -+≥恒成立，……………5分
记()ln 4g x x x =-+，则11()1x
g x x x -'=-=，
当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减． 从而()g x 在1x =时取得最大值(1)3g =，……………9分
记()e 1x h x x -=，则1()102h =<，(1)e 10h =->，所以1
()(1)02h h ⋅<，
因为()h x 的图象在1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上是不间断的，所以∃()
01,12x ∈，满足0()0h x =，
即∃()
01
,12x ∈，使00e 1x x =成立．
所以()
ln e e 4x x
y x x -+=有最大值3，从而3m ≥．……………12分
22．(本小题满分12分)
已知函数()e x
f x x =，其中e 是自然对数的底数．
（1）求()y f x =的最值；
（2）设函数()()ln e h x f x k x =--有且只有2个不同的零点，求实数k 的取值范围．
【解】（1）因为()()1e x
f x x '=+，
令()0f x '=，即()1e 0x
x +=，所以1x =-，
列表如下：
……………2分
所以()f x 在(,1)-∞-递减，在(1,)-+∞递增，
所以当1x =-时，()f x 有最小值1
(1)e
f -=-，无最大值. ……………4分
（2）()e ln e x h x x k x =--，注意到(1)0h =， 则2'
()e ()e e ,0x x
x
x x k k h x x x x x
+-=+-=>， 当0k ≤时，'()0h x >，()h x 单调递增，不合题意；……………5分 当0k >时，设2()()e x x x x k ϕ=+-，
则'22()(21)e ()e (31)e 0x x x x x x x x x ϕ=+++=++>在(0,)+∞上恒成立， 所以()x ϕ在(0,)+∞上单调递增．
因为(0)0k ϕ=-<，又注意到20,e 0x x x x x +>>>>， 所以22()()e x x x x k x k ϕ=+->-，
从而()2
2(1)110k k k k k ϕ+>+-=++>，所以(0)(1)0k ϕϕ+<，
根据零点存在性定理知，存在0(0,)x ∈+∞，使得0()0x ϕ=，……………7分 当0(0,)x x ∈时，'()0h x <，()h x 递减；当0(,)x x ∈+∞时，'()0h x >，()h x 递增． 注意到(1)0h =，当01x =时，()h x 只有一个零点，
这时(1)2e 0k ϕ=-=，即2e k =；……………8分 当2e k >时，(1)0ϕ<，则01x >，
又因为()h x 在0(1,)x 递减，0(,)x +∞递增，(1)0h =，所以0()0h x <， 又因为(1)0k ϕ+>，所以01k x +>，
因为111(1)(1)e ln(1)e [e ln(1)]e e k k k h k k k k k k ++++=+-+-=-++-， 因为1e ln(1)k k +>+，1e e k +>，所以(1)0h k +>， 所以()h x 在0(,)x +∞上有一个零点，另一个零点为1， 所以当2e k >时，()h x 有两个零点. ……………10分 当(0,2e)k ∈时，(1)2e 0k ϕ=->，(0)0ϕ<， 所以存在0(0,1)x ∈使得0()0x ϕ=，
又因为()h x 在0(,1)x 递增，注意到(1)0h =，所以0()0h x <， 又因为e
0e 1k -<<，而e
e
e
e
e e e e (e )e e ln e e e 0k k k k k k h k e ------=--=>， 可知所以()h x 在0(0,)x 上有一个零点，另一个零点为1， 所以当(0,2e)k ∈时，()h x 有两个零点． 综上可知，实数k 的取值范围是()(0,2e)2e,+∞．……………12分
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