2020-2021学年吉林省长春市农安县九年级(上)期中数学试卷

2020-2021学年吉林省长春市农安县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥1B．x≤1C．x＞1D．x＜1
2．（3分）下列根式是最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
3．（3分）下列各数中，与的积为有理数的是（）
A．B．3C．2D．2﹣
4．（3分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）
A．x2+＝1B．ax2+bx+c＝0
C．（x﹣1）（x+2）＝1D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0
5．（3分）方程x2﹣2x＝0的根是（）
A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝2C．x1＝0，x2＝2D．x1＝0，x2＝﹣2 6．（3分）一元二次方程3x2﹣4x+1＝0的根的情况为（）
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．两个相等的实数根D．两个不相等的实数根
7．（3分）点A（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为（）
A．（3，﹣2）B．（3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（2，﹣3）8．（3分）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D 、E、F．已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为（）
A．4B．5C．6D．8
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，DE、DF是△ABC的中位线，则四边形
BEDF的周长是（）
A．5B．7C．8D．10
10．（3分）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若AA'＝1，则A'D等于（）
A．2B．3C．D．
二、填空题（每小题4分，共40分）
11．（4分）若＝3﹣x，则x的取值范围是．
12．（4分）计算：﹣＝．
13．（4分）与最简二次根式5是同类二次根式，则a＝．
14．（4分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n＝0的解，则6m+2n＝．15．（4分）一元二次方程x2﹣9＝0的解是．
16．（4分）若将方程x2+6x＝7化为（x+m）2＝16，则m＝．
17．（4分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（0，1），则点E的坐标是．
18．（4分）如图，EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6cm，则△ABC的周长为cm．
19．（4分）在平面直角坐标系中，将点（3，﹣2）先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得点的坐标是．
20．（4分）已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE＝3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是．
三、解答题（21--24每小题各5分，25、26题各7分，27、28题各8分，共50分）21．（5分）解方程：x2+3x+1＝0．
22．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0．
（1）当m＝3时，判断方程的根的情况；
（2）当m＝﹣3时，求方程的根．
23．（5分）如图，已知在△ABC与△DEF中，∠C＝54°，∠A＝47°，∠F＝54°，∠E ＝79°，求证：△ABC∽△DEF．
24．（5分）图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段OM 、ON的端点均在格点上．在图①、图②给定的网格中以OM、ON为邻边各画一个四边形，使第四个顶点在格点上．要求：
（1）所画的两个四边形均是轴对称图形．
（2）所画的两个四边形不全等．
25．（7分）实数a、b在数轴上的位置如图所示：
化简．
26．（7分）已知：x＝1﹣，y＝1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．
27．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
（1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；
（2）选择（1）中一对加以证明．
28．（8分）一个矩形周长为56厘米．
（1）当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？
（2）能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．
2020-2021学年吉林省长春市农安县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥1B．x≤1C．x＞1D．x＜1
【分析】根据二次根式有意义的条件可得1﹣x≥0，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得：1﹣x≥0，
解得：x≤1，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．2．（3分）下列根式是最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式，可得答案．
【解答】解：A、该二次根式的被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、该二次根式的被开方数中含有小数，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、该二次根式符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
D、20＝22×5，该二次根式的被开方数中含开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本
选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了最简二次根式，最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开得尽方的因数或因式．
3．（3分）下列各数中，与的积为有理数的是（）
A．B．3C．2D．2﹣
【分析】根据实数运算的法则对各选项进行逐一解答即可．
【解答】解：A、×＝，故A错误；
B、×3＝3，故B错误；
C、×2＝6，故C正确；
D、×（2﹣）＝2﹣3，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知实数运算的法则是解答此题的关键．
4．（3分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）
A．x2+＝1B．ax2+bx+c＝0
C．（x﹣1）（x+2）＝1D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、是分式方程不是一元二次方程，故A错误；
B、a＝0是一元一次方程，故B错误；
C、是一元二次方程，故C正确；
D、是二元二次方程，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．5．（3分）方程x2﹣2x＝0的根是（）
A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝2C．x1＝0，x2＝2D．x1＝0，x2＝﹣2【分析】直接利用因式分解法将方程变形进而求出答案．
【解答】解：x2﹣2x＝0
x（x﹣2）＝0，
解得：x1＝0，x2＝2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了因式分解法解方程，正确分解因式是解题关键．
6．（3分）一元二次方程3x2﹣4x+1＝0的根的情况为（）
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．两个相等的实数根D．两个不相等的实数根
【分析】先计算判别式的意义，然后根据判别式的意义判断根的情况．
【解答】解：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×3×1＝4＞0
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．（3分）点A（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为（）
A．（3，﹣2）B．（3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（2，﹣3）【分析】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：A（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为（3，2），
故选：B．
【点评】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．8．（3分）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D 、E、F．已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为（）
A．4B．5C．6D．8
【分析】由AD∥BE∥CF可得＝，代入可求得EF．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴＝，
∵AB＝1，BC＝3，DE＝2，
∴＝，
解得EF＝6，
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段可得对应线段成比例是解题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，DE、DF是△ABC的中位线，则四边形BEDF的周长是（）
A．5B．7C．8D．10
【分析】由中位线的性质可知DE＝，DF＝，DE∥BF，DF∥BE，可知四边形BEDF为平行四边形，从而可得周长．
【解答】解：∵AB＝4，BC＝6，DE、DF是△ABC的中位线，
∴DE＝＝2，DF＝＝3，DE∥BF，DF∥BE，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴四边形BEDF的周长为：2×2+3×2＝10，
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形中位线的性质，利用中位线的性质证得四边形BEDF为平行四边形是解答此题的关键
10．（3分）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若AA'＝1，则A'D等于（）
A．2B．3C．D．
【分析】由S△ABC＝9、S△A′EF＝4且AD为BC边的中线知S△A′DE＝S△A′EF＝2，S△ABD ＝S△ABC＝，根据△DA′E∽△DAB知（）2＝，据此求解可得．【解答】解：如图，
∵S△ABC＝9、S△A′EF＝4，且AD为BC边的中线，
∴S△A′DE＝S△A′EF＝2，S△ABD＝S△ABC＝，
∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，
∴A′E∥AB，
∴△DA′E∽△DAB，
则（）2＝，即（）2＝，
解得A′D＝2或A′D＝﹣（舍），
故选：A．
【点评】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．
二、填空题（每小题4分，共40分）
11．（4分）若＝3﹣x，则x的取值范围是x≤3．
【分析】根据二次根式的性质得出3﹣x≥0，求出即可．
【解答】解：∵＝3﹣x，
∴3﹣x≥0，
解得：x≤3，
故答案为：x≤3．
【点评】本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≥0时，＝a，当a＜0时，＝﹣a．
12．（4分）计算：﹣＝．
【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式＝3﹣2
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题得关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
13．（4分）与最简二次根式5是同类二次根式，则a＝2．【分析】先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可．
【解答】解：∵与最简二次根式是同类二次根式，且，
∴a+1＝3，解得：a＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
14．（4分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n＝0的解，则6m+2n＝﹣2．【分析】先把x＝1代入x2+3mx+n＝0，得到3m+n＝﹣1，再把要求的式子进行整理，然后代入即可．
【解答】解：把x＝1代入x2+3mx+n＝0得：
1+3m+n＝0，
3m+n＝﹣1，
则6m+2n＝2（3m+n）＝2×（﹣1）＝﹣2；
故答案为：﹣2．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，解题的关键是把x的值代入，得到一个关于m ，n的方程，不要求m．n的值，要以整体的形式出现．
15．（4分）一元二次方程x2﹣9＝0的解是x1＝3，x2＝﹣3．
【分析】利用直接开平方法解方程得出即可．
【解答】解：∵x2﹣9＝0，
∴x2＝9，
解得：x1＝3，x2＝﹣3．
故答案为：x1＝3，x2＝﹣3．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．
16．（4分）若将方程x2+6x＝7化为（x+m）2＝16，则m＝3．
【分析】此题实际上是利用配方法解方程．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：在方程x2+6x＝7的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得
x2+6x+32＝7+32，
配方，得
（x+3）2＝16．
所以，m＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q＝0，然后配方．
17．（4分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（0，1），则点E的坐标是（，）．
【分析】由题意可得OA：OD＝1：，又由点A的坐标为（0，1），即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．
【解答】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，
∴OA：OD＝1：，
∵点A的坐标为（0，1），
即OA＝1，
∴OD＝，
∵四边形ODEF是正方形，
∴DE＝OD＝．
∴E点的坐标为：（，）．
故答案为：（，）．
【点评】此题考查了位似变换的性质与正方形的性质．此题比较简单，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键．
18．（4分）如图，EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6cm，则△ABC的周长为12 cm．
【分析】根据三角形中位线定理可直接得出结论．
【解答】解：∵EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6cm，
∴BC＝2EF，AB＝2AE，AC＝2AF，
∴BC+AB+AC＝2（EF+AE+AF）＝12（cm）．
故答案为：12．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．
19．（4分）在平面直角坐标系中，将点（3，﹣2）先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得点的坐标是（5，1）．
【分析】直接利用平移的性质得出平移后点的坐标即可．
【解答】解：∵将点（3，﹣2）先向右平移2个单位长度，
∴得到（5，﹣2），
∵再向上平移3个单位长度，
∴所得点的坐标是：（5，1）．
故答案为：（5，1）．
【点评】此题主要考查了平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．
20．（4分）已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE＝3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是或．
【分析】首先根据题意作图，注意分为E在线段AD上与E在AD的延长线上，然后由菱形的性质可得AD∥BC，则可证得△MAE∽△MCB，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．
【解答】解：∵菱形ABCD的边长是8，
∴AD＝BC＝8，AD∥BC，
如图1：当E在线段AD上时，
∴AE＝AD﹣DE＝8﹣3＝5，
∴△MAE∽△MCB，
∴＝；
如图2，当E在AD的延长线上时，
∴AE＝AD+DE＝8+3＝11，
∴△MAE∽△MCB，
∴＝．
∴的值是或．
故答案为：或．
【点评】此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键是注意此题分为E在线段AD上与E在AD的延长线上两种情况，小心不要漏解．
三、解答题（21--24每小题各5分，25、26题各7分，27、28题各8分，共50分）21．（5分）解方程：x2+3x+1＝0．
【分析】根据方程的特点可直接利用求根公式法比较简便．
【解答】解：a＝1，b＝3，c＝1
∴x＝＝．
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，此法适用于任何一元二次方程．方程ax2+bx+c＝0（a≠0，且a，b，c都是常数），若b2﹣4ac≥0，则方程的解为x＝．
22．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0．
（1）当m＝3时，判断方程的根的情况；
（2）当m＝﹣3时，求方程的根．
【分析】（1）代入m的值，根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝﹣8＜0，进而可得出：当m＝3时，原方程没有实数根；
（2）代入m的值，根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝16＞0，进而可得出：当m＝﹣3时，原方程有两个不相等的实数根．
【解答】解：（1）当m＝3时，原方程为x2+2x+3＝0，
∴Δ＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，
∴当m＝3时，原方程没有实数根；
（2）当m＝﹣3时，原方程为x2+2x﹣3＝0，即（x+3）（x﹣1）＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴当m＝﹣3时，方程的根为﹣3和1．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＜0时，方程没有实数根；（2）代入m＝﹣3，利用因式分解法求出方程的解．
23．（5分）如图，已知在△ABC与△DEF中，∠C＝54°，∠A＝47°，∠F＝54°，∠E ＝79°，求证：△ABC∽△DEF．
【分析】在△ABC中求出∠B，利用两角法可判定△ABC∽△DEF．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝79°，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC∽△DEF．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定方法，相似三角形的判定最常用的就是两角法．
24．（5分）图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段OM 、ON的端点均在格点上．在图①、图②给定的网格中以OM、ON为邻边各画一个四边形，使第四个顶点在格点上．要求：
（1）所画的两个四边形均是轴对称图形．
（2）所画的两个四边形不全等．
【分析】利用轴对称图形性质，以及全等四边形的定义判断即可．
【解答】解：如图所示：
【点评】此题考查了作图﹣轴对称变换，以及全等三角形的判定，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
25．（7分）实数a、b在数轴上的位置如图所示：
化简．
【分析】应用二次根式的化简，首先应注意被开方数的范围，再进行化简．
【解答】解：由数轴知，a＜0，且b＞0，
∴a﹣b＜0，
∴＝|a|﹣|b|+|a﹣b|
＝（﹣a）﹣b+（b﹣a）
＝﹣a﹣b+b﹣a＝﹣2a．
【点评】本题主要考查二次根式的化简方法与运用：a＞0时，＝a；a＜0时，＝﹣a；a＝0时，＝0．
26．（7分）已知：x＝1﹣，y＝1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．【分析】根据x、y的值，先求出x﹣y和xy，再化简原式，代入求值即可．
【解答】解：∵x＝1﹣，y＝1+，
∴x﹣y＝（1﹣）﹣（1+）＝﹣2，
xy＝（1﹣）（1+）＝﹣1，
∴x2+y2﹣xy﹣2x+2y＝（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+xy
＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）+（﹣1）
＝7+4．
【点评】本题考查了二次根式的化简以及因式分解的应用，要熟练掌握平方差公式和完
全平方公式．
27．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
（1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；
（2）选择（1）中一对加以证明．
【分析】（1）利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法得出符合题意的答案；
（2）利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法分别得出即可．
【解答】解：（1）△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD；
（2）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD为角平分线，
∴∠ABD＝∠ABC＝36°＝∠A，
在△ADE和△BDE中
∵，
∴△ADE≌△BDE（AAS）；
证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD为角平分线，
∴∠DBC＝∠ABC＝36°＝∠A，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BCD．
【点评】此题主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
28．（8分）一个矩形周长为56厘米．
（1）当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？
（2）能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．
【分析】（1）设出矩形的一边长为未知数，用周长公式表示出另一边长，根据面积列出相应方程求解即可．
（2）同样列出方程，若方程有解则可，否则就不可以．
【解答】解：（1）设矩形的长为x厘米，则另一边长为（28﹣x）厘米，依题意有x（28﹣x）＝180，
解得x1＝10（舍去），x2＝18，
28﹣x＝28﹣18＝10．
故长为18厘米，宽为10厘米；
（2）设矩形的长为x厘米，则宽为（28﹣x）厘米，依题意有
x（28﹣x）＝200，
即x2﹣28x+200＝0，
则Δ＝282﹣4×200＝784﹣800＜0，原方程无实数根，
故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形．
【点评】考查一元二次方程的应用；用到的知识点为：长方形的长＝周长的一半﹣宽．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．。