数列求和的基本方法归纳

数列求和的基本方法归纳
知识点
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)
1(11)1()1(111q q q a a q
q a q na S n n
n
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 三、倒序相加法求和
这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）)()1(n f n f a n -+= （2）οοο
οο
n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）1
1
1)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=
n n n n n a n （5）])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=
n n n n n n n a n
(6) n
n
n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(1
1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则
练习题
1、已知3
log 1
log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和.
2求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S
3、求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n
前n 项的和.
4、求οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值
5、求数列的前n 项和：231
,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a
a a n ，…
6、求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1
1,
,3
21,
2
11n n 的前n 项和.
7、在数列{a n }中，1
1211++
⋅⋅⋅++++=
n n
n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.
1、解：由2
1
2log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=
x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）
＝x x x n
--1)1(＝2
11)
21
1(2
1--n ＝1－n 21
2、解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积
设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1
----⋅
+=-- ∴ 2
1)1()
1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+
3、解：由题可知，{
n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积 设n n n
S 2
226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①
14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n n
S ………………………………② ①－②得
14322
22222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n n
S
1122212+---=n n n ∴ 12
2
4-+-=n n n S
4、解：设οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①
将①式右边反序得
οοοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S ………..② 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ο
①+②得
)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222οοοοοο++⋅⋅⋅++++=S ＝89
∴ S ＝44.5
5、解：设)231
()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n a
a a S n n 将其每一项拆开再重新组合得
)23741()1
111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n a
a a S n n
当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(n
n +
当1≠a 时，2)13(1111n n a
a S n
n -+
--=＝2)13(11n n a a a n -+--- 6、解：设n n n n a n -+=++=
111 则 1
13
212
11+++⋅⋅⋅+++
+=
n n S n
＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n 7、解： ∵ 211211n n n n n a n =++⋅⋅⋅++++=
∴ )111(82
122+-=+⋅=n n n n b n
∴ 数列{b n }的前n 项和
)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n ＝)1
11(8+-n ＝
18+n n
等比数列
知识点：
1、定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列；这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，表达式为：
q a a n n
=-1
)2(≥n ； 2、如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，且 ab G ±
=；
3、等比数列}{n a 的通项：
4、等比数列}{n a 的前n 项和：
5、等比数列的性质：
⑴ 若q p n m +=+，则 q p n m a a a a ⋅=⋅
特别的,当2m n k +=时,得2n m k a a a ⋅= 注：12132n n n a a a a a a --⋅=⋅=⋅⋅⋅
⑵ 等比数列}{n a 中连续项的和构成等比数列,n n n n n S S S S S 232,,--…… ⑶ 等比数列}{n a 中 ① 三个数
a
q
,a , aq ② 四个数 a q 3 ,a
q
,aq ,3aq
练习题
1. 已知等比数列}{n a 中1n n a a +>，且37283,2a a a a +=⋅=，则
11
7
a a =（ ） A.
21
B. 23
C. 32
D. 2 2.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22
5a 2a =1，则1a = ( ) A.
2
1
B. 22
C. 2
D.2
3. 在等比数列}{a 中,,8,16=-=a a 则=a ( )
A. 4-
B. 4±
C. 2- D .2± 4.设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若
63S S =3 ，则 6
9S
S =( ) （A ） 2 （B ）
73
（C ） 8
3 （D ）3
5. 已知等比数列的首项为8，S n 是其前n 项的和，某同学计算得到S 2＝20，S 3＝36，S 4＝65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为( )
A ．S 1
B ．S 2
C ． S 3
D ．S 4
6. 若{}n a 是等比数列,前n 项和21n n S =-,则2222
123n a a a a ++++=L ( )
A.2(21)
n -
B.21(21)3
n - C.41n
- D.1(41)3
n
-
7. 已知数列1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则
=+2
2
1b a a _______． 8. 已知等差数列{a n }，公差d ≠0,431a a a ，，成等比数列，则
18
6217
51a a a a a a ++++=
9. 等比数列{n a }的公比0q >, 已知2a =1，216n n n a a a +++=，则{n a }的前4项和4S = 10. 在等比数列{}n a 中，12236,12,n a a a a S +=+=为数列{}n a 的前n 项和，则22010log (2)S += . 11. 已知等比数列,8
3
,12}{83==a a a n 满足记其前n 项和为.n S （1）求数列}{n a 的通项公式n a ； （2）若.,93n S n 求=
12. 已知等比数列{}n a 的公比1q >，
是1a 和4a 的一个等比中项，2a 和3a 的等差中项为6，若数列{}n b 满足2log n n b a =（n ∈*N ）
． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b 的前n 项和n S ．
答案
1. D
2. B
3. A
4. B
5. C
6. D
7.
25
8. 1189. 152
10. 2011
三、解答题
11. 解析：（1）设等比数列}{n a 的公比为q ，则
⎪⎩
⎪⎨⎧====,83,127
18213q a a q a a 解得⎪⎩⎪⎨⎧==,21,481q a …………4分
所以.)2
1
(4811
1--⋅==n n n q
a a
…………5分
（2）])21(1[962
11])21(1[481)1(1n n n
n q q a S -=--=--=
…………8分
由.5,93])2
1(1[96,93==-=n S n
n 解得得
12. 解：
（Ⅰ）因为1a 和4a 的一个等比中项，
所以2
1432a a ⋅==．由题意可得2323
32,12.a a a a ⋅=⎧⎨+=⎩因为1q >，所以32a a >．解得234,8.a a =⎧⎨=⎩
所以3
2
2a q a =
=．故数列{}n a 的通项公式2n n a =． （Ⅱ）由于2log n n b a =（n ∈*
N ），所以2n n n a b n =⋅．
231122232(1)22n n
n S n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅L ． ①
23121222(1)22n n n S n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅L ． ②
①-②得 231
122222n n n S n +-=⋅++++-⋅L 12(12)212
n n n +-=-⋅-．
所以 11222n n n S n ++=-+⋅。