直线、平面平行的判定与性质

[点评] 证明线面平行的基本方法之一就是根据线面平行的 判定定理，利用这个定理的关键是在要证明的平面内找一条和 已知的直线平行的直线，如果已知条件中含有比例关系，要通 过添加适当的辅助线使用平面几何中的平行线分线段成比例定 理，如果已知条件中含有中点，则要添加适当的辅助线使用三 角形中位线定理等．
(2)对
(1)由平面与平面平行的判定定理知，这两条直线
必须是相交直线；(2)两个平面平行，则两个平面无公共点， 故分别在这两个平面内的两条直线没有交点．
► α.( )
问题3
若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥
[答案]错
[解析] 还有另一种可能：a⊂α.
►
问题4
若直线a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线 )
知识梳理
类 别
1．直线与平面平行
语言表述 图形表示 应 符号表示 用 证 明 a∩α＝∅ 直 ⇒ a∥α 线 与 平 a⊄α，b⊂ 面 α，且a∥b 平 ⇒ a∥α 行
定义：一条直线与 一个平面 没有公共点 ________，则称这 条直线与这个平面 判 平行 定 判定定理：平面外 一条直线与此平 ________________ 面内的一条直线 平行，则这条直线 平行于这个平面
►
探究点3
例3
线面、面面平行的综合应用
已知：直线a，b和平面α，a⊄α，a⊥b，b⊥α，求
证：a∥α.
[思路]
分直线a，b相交和异面，异面的情况可以通过
作平行线转化为相交的情况．
[解答]
证明：(1)当直线a，b相交时，如图(1)，经过a，b
作平面β，设α∩β＝c.因为b⊥α，c⊂α，所以b⊥c.又a⊥b，且 a，b，c都在平面β内，根据平面几何知识a∥c，又a⊄α，c⊂ α，所以a∥α. (2)当a，b是异面直线时，如图(2)，过直线b上一点(这点异 于直线b和平面α的交点)A作a′∥a，由于a⊥b，故a′⊥b，仿 照(1)可证a′∥c，根据公理4得a∥c，而a⊄α，c⊂α，所以a∥ α.
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例2三棱锥P－ABC中，A′，B′，C′分别是△PAB， △PBC，△PCA的重心．求证：平面A′B′C′∥平面ABC.
[思路]
只要能证明平面A′B′C′内有两条相交直线
分别平行于平面ABC即可，根据三角形的重心是三边中线的 交点，找△ABC各边的中点，根据三角形重心分中线的比例 关系可以使用三角形中的比例线段得出线线平行．
1．平行关系分为直线与平面的平行、平面与平面的平行， 平行关系的定义是直线与平面、平面与平面没有公共点，这是平 行关系的本质特征，在解题中可以根据这个定义证明平行关系． 2．直线与平面平行的证明方法有：(1)定义法，证明直线与 平面没有公共点；(2)判定定理法，证明平面外的直线平行于平面 内的直线；(3)面面平行法，证明一条直线所在的平面平行于另一 个平面，实际上也是定义法，即证明直线与平面没有公共点．
[点评] 根据线面平行的性质定理，通过作辅助平面，达到 利用性质定理的目的，是证明平行问题的一个主要思考方 向．直线与平面平行、平面与平面平行的性质是证明线线平行 的两个基本定理，平行关系的证明就是综合运用性质定理和判 定定理的证明过程．
变式题
已知直线a在平面β外，平面α∥平面β，a∥平面
α，求证：直线a∥平面β.
变式题
如图39－2，已知P为平行四边形ABCD所在平面外
一点，M为PB的中点； 求证：PD∥平面MAC.
图39－2
[解答] 证明：连接BD，与AC交点为O，连接MO，则MO为 △BDP的中位线，∴PD∥MO. 因为PD⊄平面MAC，MO⊂平面MAC，所以PD∥平面MAC.
►
探究点2
平面与平面平行的判定与性质
(2)错
(1)这条直线还有可能在这个平面内；(2)这条直线与
平面内的任一直线的位置关系是平行或异面．
►
问题2
平面与平面平行 ) )
(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这 两个平面平行；( 线平行或异面．( (2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直
[答案] (1)错
[解析]
[点评]
要证明两个平面平行，即在其中的一个平面内
找两条相交直线，证明这两条相交直线分别平行于另一个 平面，通过判定定理证明平面与平面平行．而证明所找的 直线与另一个平面平行时，就是在另一个平面内找一条直 线与这条直线平行，问题的核心是线线平行．
变式题 ∥平面ABC.
(1)如图39－3，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E，
[解答]
证明：因为直线a∥平面α，过直线a作平面γ交平
面α于直线b，根据直线与平面平行的性质定理，a∥b.再过直 线b作平面δ交平面β于直线c，因为平面α∥平面β，根据平面 与平面平行的性质定理，直线b∥直线c，根据公理4，则直线 a∥直线c，根据直线与平面平行的判定定理得直线a∥平面β.
规律总结
[解答]
证明：如图，分别取AB，BC，CA的中点D，E，
F，连接PD，PE，PF，DE，FE，FD. 根据三角形重心的性质，A′，B′，C′分别在PD，PE， PF上，且PA′∶A′D＝PB′∶B′E＝PC′∶C′F＝2∶1， 在△PDE中，可得A′B′∥DE，显然A′B′⊄平面ABC，DE ⊂平面ABC，所以A′B′∥平面ABC.同理可证A′C′∥平面 ABC.由于A′B′∩A′C′＝A′，所以平面A′B′C′∥平面 ABC.
有无数条．(
[答案]错
[解析] 画图可知，过点P且平行于a的直线只有一条，且 在平面α内．
►
问题5
若α∥β，直线a∥α，则a∥β.(
)
[答案]错
[解析] 还有另一种可能：a⊂β.
要点探究
► 探究点1 直线与平面平行的判定与性质 例1 如图39－1，已知点P是平行四边形ABCD所在平
面外的一点，E，F分别是PA，BD上的点且PE∶EA＝BF∶ FD，求证：EF∥平面PBC.
因为EF⊂平面PEF，所以EF∥平面ABC. 同理，GF∥平面ABC， 因为EF∩GF＝F，所以平面EFG∥平面ABC.
(2)∵四边形A′B′C′D′是平行四边形， ∴A′D′∥B′C′，∵AA′∥BB′，且AA′，A′D′ 是平面AA′D′D内的两条相交直线，BB′，B′C′是平面 BB′C′C内的两条相交直线，∴平面AA′D′D∥平面 BB′C′C. 又∵AD，BC分别是平面ABCD与平面AA′D′D，平面 BB′C′C的交线，故AD∥BC.同理可证AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形．
交线 平行
2．平面与平面平行
相交直线
相交直线 两条直线
同一条直线
平行
交线
问题思考
► 问题1 直线与平面平行 ) ) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条 直线平行于这个平面；( 个平面内的任一条直线．( (2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这
[答案] (1)错
[解析]
ABC－A1B1C1的侧面ABB1A1中，易知A1B1⊥BB1， 又EP⊥BB1，所以EP∥A1B1∥AB， BE BP 所以EP∥平面ABC， ＝ . BA1 BB1 CF BP 又因为BE＝CF，BA1＝CB1，所以 ＝ ， CB1 BB1 所以PF∥BC，则PF∥平面ABC， 因为EP∩PF＝P，所以平面PEF∥平面ABC，
直线、平面平行的判定与性质
考纲要求
1．理解以下判定定理． (1)如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么 该直线与此平面平行． (2)如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行， 那么这两个平面平行． 2．理解以下性质定理，并能够证明． (1)如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一 个平面与此平面的交线和该直线平行． (2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的 交线相互平行． 3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的 位置关系的简单命题．
F，G是侧面对角线上的点，且BE＝CF＝AG，求证：平面EFG
图39－3
(2)如图39－4，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均 在平行四边形A′B′C′D′所确定的平面α外，且AA′， BB′，CC′，DD′互相平行．求证：四边形ABCD是平行四边 形．
图39－4
[解答]
证明：(1)作EP⊥BB1于点P，连接PF.在正三棱柱
3．平面与平面平行的证明方法有：(1)定义法，即证明两个 平面没有公共点；(2)判定定理法，即证明一个平面内有两条相交 直线平行于另一个平面；(3)传递性法，即证明两个平面同时与第 三个平面平行． 4．平行关系证明中的关键是直线与直线的平行，产生直线 与直线平行的主要因素是三角形的中位线、梯形的中位线、平行 四边形的对边，直线与平面平行的性质定理、平面与平面平行的 性质定理，平行线的传递性等． 5．平行关系证明的思想是转化，这个转化过程如下图：
图39－1
[思路]
要证明线面平行，只要能证明EF平行于平面PBC
内的一条直线即可，由于四边形是平行四边形，如果连接AF 并把其延长交BC于点M，则比例关系PE∶EA＝BF∶FD就转 化为PE∶EA＝MF∶FA，根据平面几何知识即可证明EF∥ PM，根据线面平行的判定定理即可得证．
[解答] 证明：连接AF并延长交BC于M，连接PM. BF MF 因为AD∥BC，所以FD＝ FA ， PE BF PE MF 又由已知EA＝FD，所以EA＝ FA . 由平面几何知识可得EF∥PM，又EF⊄平面PBC，PM⊂平 面PBC， 所以EF∥平面PBC.