高中数学 第二章 解三角形 学业分层测评14 解三角形的实际应用举例 北师大版必修5

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第二章解三角形学业分层测评14 解三角形的实际应用举例北师大版必修5
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则14时两船之间的距离是( ) A．50 n mile B．70 n mile
C．90 n mile D．110 n mile
【解析】到14时，轮船A和轮船B分别走了50 n mile，30 n mile，由余弦定理得两船之间的距离为l＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝70 n mile.
【答案】 B
2．如图2­3­7所示，从山顶望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD＝100米，点C位于BD上，则山高AB等于( )
图2­3­7
A．100米B．503米
C．502米D．50(3＋1)米
【解析】设山高为h，则由题意知
CB＝h，DB＝3h，
所以3h－h＝100，
即h＝50(3＋1)米．
【答案】 D
3．如图2­3­8，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点仰角分别是β，α(α＜β)，则A点离地面的高度AB等于( )
图2­3­8
A.a sin α·sin β
β－
α
B.
a sin α·sin β
α－
β C.
a sin α·cos β
β－
α
D ．
a cos α·sin β
α－
β
【解析】 在△ADC 中，∠DAC ＝β－α. 由正弦定理得a
β－α＝AC
sin α
， ∴AC ＝
a ·sin α
β－α
，
∴AB ＝AC ·sin β＝a ·sin α·sin β
β－α
.
【答案】 A
4．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长( )
A ．1千米
B ．2千米 C.3千米
D ．2千米
【解析】 如图，∠BAO ＝75°，C ＝30°，AB ＝1，
∴∠ABC ＝∠BAO －∠BCA ＝75°－30°＝45°. 在△ABC 中，AB sin C ＝AC
sin∠ABC ，
∴AC ＝AB ·sin∠ABC
sin C ＝1×
221
2＝2千米．
【答案】 B
5．(2014·四川高考)如图2­3­9，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于
( )
图2­3­9
A ．240(3－1)m
B ．180(2－1)m
C ．120(3－1)m
D ．30(3＋1)m
【解析】 如图，在△ACD 中，∠CAD ＝90°－30°＝60°，
AD ＝60 m ，所以CD ＝AD ·tan 60°＝603(m)．
在△ABD 中，∠BAD ＝90°－75°＝15°， 所以BD ＝AD ·tan 15°＝60(2－3)(m)． 所以BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3) ＝120(3－1)(m)． 【答案】 C 二、填空题
6．某人向正东方向走x km 后向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好 3 km ，那么x 的值为______.
【解析】 如图所示，在△ABC 中，AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3，∠ABC
＝30°.由余弦定理得(3)2
＝32
＋x 2
－2×3·x ·cos 30°，即x 2
－33x ＋6＝0，解得x 1＝3，x 2＝23，检验均符合题意．
【答案】
3或2 3
7．在200 m 的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为________．
【解析】 如图，设塔AB 高为h ，在Rt△CDB 中，CD ＝200 m ，∠BCD ＝90°－60°＝30°，
∴BC ＝200cos 30°＝40033
(m)．
在△ABC 中，∠ABC ＝∠BCD ＝30°，∠ACB ＝60°－30°＝30°， ∴∠BAC ＝120°. 在△ABC 中，由正弦定理得BC sin 120°＝AB
sin 30°
，
∴AB ＝
BC ·sin 30°sin 120°＝400
3
m.
【答案】
4003
m 8．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.
【解析】 如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)，
ON ＝AO tan 30°＝
3
3
×30＝103(m)， 在△MON 中，由余弦定理得，
MN ＝900＋300－2×30×103×
32
＝300＝103(m)． 【答案】 10 3 三、解答题
9．A 、B 、C 、D 四个景点，如图2­3­10，∠CDB ＝45°，∠BCD ＝75°，∠ADC ＝15°.A 、
D 相距2 km ，C 、D 相距(32－6)km ，求A 、B 两景点的距离．
图2­3­10
【解】 在△BCD 中，
∠CBD ＝180°－∠BCD －∠CDB ＝60°， 由正弦定理得BD sin∠BCD ＝CD
sin∠CBD ，
即BD ＝
CD ·sin 75°
sin 60°
＝2.
在△ABD 中，∠ADB ＝45°＋15°＝60°，
BD ＝AD ，∴△ABD 为等边三角形，
∴AB ＝2.
即A 、B 两景点的距离为2 km.
10．据气象台预报，距S 岛正东方向300 km 的A 处有一台风中心形成，并以每小时30 km 的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 km 以内的地区将受到台风的影响，问：S 岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S 岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由. 【导学号：67940044】
图2­3­11
【解】 设台风中心经过t 小时到达B 点， 由题意，∠SAB ＝90°－30°＝60°，
在△SAB 中，SA ＝300，AB ＝30t ，∠SAB ＝60°， 由余弦定理得：
SB 2＝SA 2＋AB 2－2SA ·AB ·cos ∠SAB
＝3002
＋(30t )2
－2·300·30t ·cos 60°， 若S 岛受到台风影响，则应满足条件|SB |≤270， 即SB 2
≤2702
，化简得t 2
－10t ＋19≤0， 解得5－6≤t ≤5＋6，
所以从现在起，经过5－6小时S 岛开始受到影响，5＋6小时后影响结束． 持续时间为(5＋6)－(5－6)＝26小时．
即S 岛受台风影响，从现在起，经过5－6小时台风开始影响S 岛，持续26小时．
[能力提升]
1．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )
A ．50 m
B ．100 m
C ．120 m
D ．150 m
【解析】 设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得(3h )2
＝h 2
＋1002
－2·h ·100·cos 60°，即h 2
＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.
【答案】 A
2．甲船在岛A 的正南B 处，以4 km/h 的速度向正北航行，AB ＝10 km ，同时乙船自岛
A 出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行
的时间为( )
A.150
7
min B ．157 h
C ．21.5 min
D ．2.15 h
【解析】 如图所示，当两船航行t h 时，甲船到D 处，
乙船
到C 处，
则AD ＝10－4t ，AC ＝6t ，∠CAD ＝120° 或AD ′＝4t －10，AC ＝6t ，∠CAD ′＝60°.
∴CD 2＝(6t )2＋(10－4t )2
－2×6t ×(10－4t )×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12
＝28t 2
－20t ＋100，
∴当t ＝514
h 时，CD 2
最小，即两船最近，
t ＝514 h ＝
150
7
min. 【答案】 A
3．某同学骑电动车以24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A 处测得电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处，测得电视塔S 在电动车的北偏东75°方向上，则点B 与电视塔的距离是________km.
图2­3­12
【解析】 如题图，由题意知AB ＝24×15
60
＝6，在△ABS 中，∠BAS ＝30°，
AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，∴∠ASB ＝45°，由正弦定理知
BS
sin 30°
＝
AB
sin 45°
，
∴BS ＝
AB ·sin 30°
sin 45°
＝3 2.
【答案】 3 2
4．如图2­3­13，一辆汽车从O 点出发，沿海岸一条直线公路以100 km/h 的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在O 点南偏东方向距O 点500 km 且在海岸距离为300 km 的海上M 处有一快艇，与汽车同时出发，要把一件重要的物品递送给这辆汽车的司机，问快艇至少必须以多大的速度行驶，才能把物品递送到司机手中？并求快艇以最小速度行驶时方向与OM 所成的角．
图2­3­13
【解】 如图所示，
设快艇从M 处以v km/h 的速度出发， 沿MN 方向航行，t h 后与汽车在N 点相遇，在△MON 中，MO ＝500，ON ＝100t ，MN ＝vt .设∠MON ＝α，由题意知，sin α＝3
5，则cos α＝
45
， 由余弦定理知MN 2
＝OM 2
＋ON 2
－ 2·OM ·ON ·cos α，
即v 2t 2＝5002＋1002t 2
－2×500×100t ×45，
整理得，v 2
＝⎝
⎛⎭
⎪⎫500·1t
－802＋3 600，
当1t ＝80500，即t ＝254时，v 2
min ＝3 600， ∴v min ＝60.
即快艇至少必须以60 km/h 的速度行驶，此时MN ＝60×25
4＝375.
∵MQ ＝300，
设∠MNO ＝β，则sin β＝
300375＝45
， ∴α＋β＝90°，即MN 与OM 所成的角为90°.。