江苏省泰州市2013届高三上学期期末考试数学(附答案) (17)

泰州2012～2013学年度第一学期期末考试
高三数学试题
(考试时间： 120分钟 总分160分)
注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效． 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．已知集合A ={}3,2,1，B ={}5,2,1，则A ∩B = ▲ . 2．设复数z 1=2+2i,z 2=2-2i,则
2
1
z z = ▲ . 3．若数据3,,,,,54321x x x x x 的平均数为3，则数据54321,,,,x x x x x 的平均数为 ▲ .
4．设双曲线15
42
2=-y x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲
线上位于第一象限内的一点，且△PF 1F 2的面积为6，则点P 的坐标为
▲ . 5．曲线y =2ln x 在点(e,2)处的切线（e 是自然对数的底）与y 轴交点坐标
为 ▲ .
6．如图，ABCD 是一个4×5的方格纸，向此四边形ABCD 内抛撒一粒豆子，则豆子恰好落在阴影部分内的概率为 ▲ . 7．设函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且),()(b f a f >则)(a f - ▲
)(b f -（用""""<>或填空）.
8． 在空间中，用a b c ,
, 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列四个命题：
①若//a b ，//b c ，则//a c ； ②若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥； ③若//a γ，//b γ，则//a b ； ④若a γ⊥，b γ⊥，则//a b ；
其中真命题的序号为 ▲ . 9. 右图是一个算法流程图，则输出的P = ▲ .
10. 已知点P (t ,2t )(t ≠0)是圆C ：x 2+y 2
=1内一点，直线tx +2ty =m 与圆C 相切，则直线x +y +m =0与圆C 的位置关系是 ▲ .
11. 设a ∈R ，s ：数列{()2
a n -}是递增的数列；t ：≤a 1.则s 是t 的 ▲ 条件.（填
“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”中的一个）.
12.各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 1≥1，a 2≤2，a 3≥3，则a 4的取值范围是 ▲ .
（第6题图）
A
B
C
D
结束
P ← 0 n ← P ←1
(1)
P n n ++
n ← n ＋1 输出P N
Y
n=6
（第9题图） 开始
13. 已知六个点A 1(x 1,1),B 1(x 2,-1),A 2(x 3,1),B 2(x 4,-1),A 3(x 5,1),B 3(x 6,-1)（x 1＜x 2＜x 3＜x 4＜x 5 ＜x 6，x 6－x 1=5π)都在函数f (x )=sin(x +
3
π
)的图象C 上.如果这六点中不同的两点的连
线的中点仍在曲线C 上，则称此两点为“好点组”，则上述六点中好点组的个数为 ▲ .（两点不计顺序）
14. 已知f (x )=2mx +m 2
+2,m ≠0,m ∈R ,x ∈R .若｜x 1｜+｜x 2｜=1，则)()(21x f x f 的取值范围是
▲ .
二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）
15. （本题满分14分）已知向量a =（cos λθ,cos(10-λ)θ），b =(sin(10-λ)θ,sin λθ),
λ、θ∈R .
（1）求2
a +2
b 的值；
（2）若a ⊥b
，求θ；
（3）若θ=
20
π
，求证：a ∥b
.
16. （本题满分14分） 在三棱锥S-ABC 中，SA ⊥平面ABC ，
SA =AB =AC =
3
3
BC ，点D 是BC 边的中点，点E 是线段AD 上一点，且AE =4DE ，点M 是线段SD 上一点. (1)求证：BC ⊥AM ；
(2)若AM ⊥平面SBC ，求证EM ∥平面ABS .
17. （本题满分14分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，AB =1，BC =2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN ⊥BC . （1）设∠MOD =30°，求三角形铁皮PMN 的面积； （2）求剪下的铁皮三角形PMN 面积的最大值.
18. （本题满分16分）直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：
122
22=+b
y a x （a >b >0）的左、右顶点分别是A 1，A 2，上、下顶点为B 2，B 1，点P （a 5
3
，m ）（m ＞0）是椭圆C 上一点，PO ⊥A 2B 2，
直线PO 分别交A 1B 1、A 2B 2于点M 、N . （1）求椭圆离心率； （2）若MN =
7
21
4，求椭圆C 的方程； （3）在（2）的条件下，设R 点是椭圆C 上位于第一象限内的
点，F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，RQ 平分∠F 1RF 2且与y 轴交于点Q ，求点Q 纵坐标的取值范围.
19. （本题满分16分）已知数列a n =n -16，b n =(-1)n ｜n -15｜，其中n ∈N *
. （1）求满足a n +1=｜b n ｜的所有正整数n 的集合； （2）若n ≠16，求数列
n
n
a b 的最大值和最小值； （3）记数列{a n b n }的前n 项和为S n ，求所有满足S 2m =S 2n （m ＜n ）的有序整数对（m ,n ）.
R x
y
F 1 F 2
Q
O
20. （本题满分16分）已知函数f (x )=(x -a )(x -b )2
，a ,b 是常数. (1)若a ≠b ，求证：函数f (x )存在极大值和极小值；
(2)设（1）中f (x )取得极大值、极小值时自变量的值分别为x 1、x 2，令点A (x 1, f (x 1)),B (x 2,
f (x 2)).如果直线AB 的斜率为-
2
1
，求函数f (x )和f ′ (x )的公共递减区间的长度 ； (3)若f (x )≥mxf ′ (x )对于一切x ∈R 恒成立，求实数m ,a ,b 满足的条件.
2012～2013学年度第一学期期末考试
高三数学试题(附加题)
21.［选做题］请考生在A 、B 、C 、D 四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分。

A.（本小题满分10分，几何证明选讲）如图⊙O 的两弦AB ，CD 所在直线交于圆外一点P .
(1)若PC =2，CD =1，点A 为PB 的中点，求弦AB 的长；
(2)若PO 平分∠BPD ，求证：PB =PD .
B.（本小题满分10分，矩阵与变换）已知变换T 把平面上的点(1,0),(0,2)分别变换成点(1,1)，(-2,2).
(1)试求变换T 对应的矩阵M ；
(2)求曲线x 2-y 2
=1在变换T 的作用下所得到的曲线的方程.
C.（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）已知直线⎩
⎨
⎧-=+=t y t
x l 1:（t 为参数）与圆C ：
P
A B D
C
O
•
⎩⎨
⎧+==θ
θ
sin 2cos 2m y x （θ为参数）相交于A ,B 两点，m 为常数. (1) 当m =0时，求线段AB 的长；
(2) 当圆C 上恰有三点到直线的距离为1时，求m 的值.
D.（本小题满分10分，不等式选讲）若c b a ,,∈R +
，+a 2+b 3c =6.
(1)求abc 的最大值； (2)求证
c
c b b a a 2
36++
+++≥12.
［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AD 、DC 的中点.
(1)求直线BC 1与平面EFD 1所成角的正弦值；
(2)设直线BC 1上一点P 满足平面PAC ∥平面EFD 1，求PB 的长.
23.(本小题满分10分)如图A 1(x 1，y 1)(y 1<0)是抛物线y 2
=mx (m ＞0)上的点，作点A 1关于x 轴的对称点B 1，过B 1作与抛物线在A 1处的切线平行的直线B 1A 2交抛物线于点A 2. (1)若A 1(4,-4),求点A 2的坐标；
(2)若△A 1A 2B 1的面积为16，且在A 1，B 1两点处的切线互
相垂直.
①求抛物线方程； ②作A 2关于x 轴的对称点B 2，过B 2作与抛物线在A 2
处的切线平行的直线B 2A 3，交抛物线于点A 3,…,如此继续下去，得一系列点A 4,A 5,…，设A n (x n ,y n )，求满足x n ≥10000x 1的最小自然数n .
O x y A 1
B 1 A 2 A B
C 1
D 1
C D E F B 1
A 1
2012～2013学年度第一学期期末考试
高三数学参考答案
一填空题
1．{}2,1 2.i 3.3 4. ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛2,556 5.(0,1) 6.0.2 7.< 8. ①④ 9. 65
10.相交
11.必要不充分 12. ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡8,29 13.11 14. ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡
+
-22,22
1 二 解答题
15. （1）∵｜a ｜=cos 2λθ+cos 2(10-λ)θ ，｜b ｜=sin 2(10-λ)θ+sin 2
λθ （算
1个得1分）
｜a ｜2
+｜b ｜2
=2，………………………………………………………………4分
（2）∵a ⊥b
，∴cos λθ·sin(10-λ)θ +cos(10-λ) θ·sin λθ=0
∴sin ((10-λ) θ+λ
θ)=0，∴sin10θ=0…………………………………………7分
∴10θ=k π，k ∈Z ，∴θ=10
π
k ，k ∈Z (9)
分
（3）∵θ=20
π
, cos λθ·sin λθ－cos(10-λ) θ·sin［(10－λ) θ］
=cos 20
λπ
·sin 20
λπ
－cos （2
π
－
20
λπ
）·sin(2
π
－
20
λπ
)
=cos
20
λπ
·sin
20
λπ
-sin
20
λπ
·cos
20
λπ
=0，
∴a ∥b
(14)
分
16.
(1)∵AB =AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ,………………………………………… 2分
AM BC SAD AM SAD BC A SA AD BC
SA ABC BC ABC SA ⊥⇒⎭
⎬⎫
⊂⊥⇒⎭⎬⎫=⋂⊥⇒
⎭⎬⎫⊂⊥面平面面面……………..7分 （证到SA ⊥平面SAD 得5分）
（2）∵AM ⊥面SAB ， ⇒AM ⊥SD ，
⇒⎭⎬⎫==DE AE MD SM 44⎪⎭
⎪
⎬⎫
⊆⊄平面平面SA ABS //ME SA ME ⇒EM ∥面ABS ……………14分
（证到SM =4MD 得10分，得到ME ‖SA 得12分。

）
17. (1)设MN 交AD 交于Q 点 ∵∠MQD =30°，∴MQ =
2
1
，OQ =23（算出一个得2分）
S △PMN =
21MN ·AQ =21×2
3
×（1+23）=8336+ ……………….……… 6分
（2）设∠MOQ =θ，∴θ∈［0，2
π
］，MQ =sin θ，OQ =cos θ
∴S △PMN =
21MN ·AQ =2
1
(1+sin θ)(1+cos θ) =2
1
(1+sin θcos θ+sin θ+cos θ) (11)
分
令sin θ+cos θ=t ∈［1，2］，∴S △PMN =2
1
(t +1+212-t )
θ=
4
π
，当t =2,∴S △PMN 的最大值为
4
2
23+.………………………..……………14分 18. (1)P (
53a ,5
4b )，…………………………………………………………1分 22B A K ·K OP =-1，∴4b 2=3a 2=4(a 2-c 2), ∴a 2=4c 2, ∴e=2
1
① …………………………4分
(2)MN=7
214=
2
21
12
b a +，∴1272222=+b a b a ②
由①②得，a 2
=4,b 2
=3, ∴13
42
2=+y x (8)
（3）cos α=cos β，∴
RQ
RF RQ RF ··11=
RQ
RF RQ RF ..22 (10)
分
∴
2
2
000002
2
00000)1()
,)(,1()1()
,)(,1(y x y t x y x y x y t x y x +-----=
++-----
化简得：
∴t =-
3
1
y 0…………………………….................................................14分
∵0<y 0<3,t∈(-
3
3
,0) …………………………………………………………..16分
19. (1)a n +1=｜b n ｜，n －15=｜n －15｜，当n ≥15时,a n +1=｜b n ｜恒成立， 当n <15时,n －15=－(n －15) ，n =15
n 的集合{n ｜n ≥15,n ∈N *}……………………………………….…………….…………….4分
(2)n
n a b =1615)1(---n n n
(i)当n>16时，n 取偶数
n n a b =16
15--n n =1+161
-n
当n=18时（
n
n a b ）max =23
无最小值
n 取奇数时
n
n a b =-1-161-n n=17时（
n
n
a b ）min =-2无最大值 ……………………………………………………………8分 (ii)当n<16时，n
n
a b =16)15()1(---n n n
当n 为偶数时
n
n a b =16)15(---n n =-1-161
-n
n=14时（
n
n a b ）max =-21（n n a b ）min =-1413
当n 奇数
n n a b =1615--n n =1+161-n ， n=1 ， （n
n a b ）max =1-151=1514，
n =15，（
n
n
a b ）min =0 ………………………………………………………………………11分 综上，
n
n a b 最大值为23
（n =18）最小值-2（n =17） (12)
分
(3)n≤15时，b n =(-1)n-1(n-15)，a 2k -1b 2k -1+a 2k b 2k =2 (16-2k )≥0 ，n >15时，b n =(-1)n
(n -15)，a 2k -1b 2k -1+a 2k b 2k =2 (2k -16) >0，其中a 15b 15+a 16b 16=0
∴S 16=S 14 m =7， n =8…………………………………………………………….16分 20．（1）[])2(3)()(/
b a x b x x f +--= …………………………………………………1分
b a ≠ 32b a b +≠
∴0)(,=∴x f 有两不等 b 和
3
2b
a + ∴f （x ）存在极大值和极小值 ……………………………….……………………………4分
（2）①若a =b ，f （x ）不存在减区间
②若a >b 时由（1）知x 1=b ，x 2=
3
2b
a + ∴A （
b ,0）B ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--+9)(2,322
b a b a 213
29)(22
-=-+-∴b b a b a ∴)(3)(22b a b a -=- 2
3=-∴b a
○
3当a <b 时 x 1=
3
2b
a +,x 2=
b 。

同理可得a -b =23
(舍)
综上a -b =2
3
………………………………………………..………………………….7分
)(x f ∴的减区间为)32,
(b a b +即（b ,b +1），,
f （x ）减区间为)2
1,(+-∞b ∴公共减区间为（b ，b +21
）长度为2
1…………………………….……………………10分
（3）)()(/
x mxf x f ≥
[])2(3)())((2b a x b x x m b x a x +--⋅≥--∴ []{}
0)()2()31()(2≥++-++--∴ab x b a b a m x m b x
若3
1
≠
m ，则左边是一个一次因式，乘以一个恒正（或恒负）的二次三项式，或者是三个一次因式的积，无论哪种情况，总有一个一次因式的指数是奇次的，这个因式的零点左右的符号不同，因此不可能恒非负。

3
1
=
∴m …………………………………………………………………………………12分 []03)2()(≤-+-∴ab x b a b x
若a +2b =0，b a 2-=，b a =∴=0， 若02≠+b a 则 b x =1，b
a ab
x 232+=
⎩⎨⎧∴<++=0223b a b
a ab
b
①b =0 则a<0，
②b ≠0
123=+b a a
b a =∴且b <0
综上 3
1
=∴m 0≤=b a ………………………………………………………………..16分
附加题
21.A.解（1）∵PA ·PB =PC ·PD ,AB =CD ，∴AB ·2AB =2×3,∴AB =3……………….5分 (2)作OM ⊥CD 于 M ,ON ⊥AB 于N ，∵PO 平分∠BPD ，∴OM =ON ∴AB =CD ，
∴点M 平分弦CD ,点N 平分弦AB ，………………………………………………7分 又∵∆PON ≌∆POM ，∴PN =PM ，
∴PB =PD ………………………………………………………..…………………….10分 B.解：（1）设矩阵M =
[]ab
cd
依题意得，[]''x y =[]ab cd []x y →{
by ax x dy
cx y +=+=''，（1，0）变换为（1，1）
得：a =1,c =1，(0,2) 变换为（－2,2) 得： b =－1,d =1 所求矩阵M =
[]1
,11
,1-……………………………………………………………………………5分
(2)变换T 所对应关系
{
y x x y
x y -=+=''解得⎩⎨⎧+
=-=2
'
'2
''y x x x y y ………………………………………………7分
代入x 2
-y 2
=1得:x ′y ′=1
故x 2-y 2
=1在变换T 的作用下所得到的曲线方程得xy =1 ………………………………10分 C.解 ：（1）直线l :x +y -1=0 曲线C :x 2
+y 2
=4 圆心到直线的距离为 d =
2
1
AB =22
2d r -=14…………………………………………………………………..5分 (2)x 2
+(y -m )2
=4,x +y -1=0
d =
2
1-m =1 ∴m -1= ±2 m =1+2或m =1－2………………..……………..10分
D.解：（１）∵a ,b ,c ∈R +
,a +2b +3c =6 ∴abc =
61a ·2b ·3c ≤61 (332c b a ++)3=3
4
当a =2,b =1,c =32时取等号,∴abc 的最大值为3
4
……………………….…..5分
(2)∵
a a 6++
b b 3++
c c 2+=3+a 6+b 3+c 2
而(a 6+b 3+c 2） (a +2b +3c ) ≥(6+6+6)2
=54∴a 6+b 3+c 2≥9
∴a a 6++b b 3++c
c 2+≥12…………………………………..…………………..…….10分
22.解 建立以D 点为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴 ，1DD 所在直线为
z 轴的空间直角坐标系
Ｄ1(0,0,2) , A (2,0,0) , B (2,2,0),E (1,0,0) ,C 1(0,2,2),F(0,1,0) .1BC =(-2,0,2) ,
E D 1=(1,0,-2), E
F =(-1,1,0).设平面D 1EF 的法向量n =(x 1,y 1,z 1),
则{
{
200
.0
.11111=-=+-==⇒
z X Y X E D n EF n 令X 1=2,则n =(2,2,1)………………………………………………… 3分
cos∠n ,1BC >=
3
.222-=－
6
2 ∴直线BC 1与平面EFD 1所成角的正弦值为
6
2
………………………..………………..5分 （2）BP =λ1BC =(-2λ,0,2λ)
AP =AB +BP =(-2λ,2,2λ)
n .AP =-4λ+4+2λ=0 ∴λ=2………………………………………………… 8分
∵AP 不在平面EFD 1内，AP ∥平面EFD 1，又AC ∥EF ，EF ⊆平面EFD 1， ∴AC ∥平面EFD 1
又AP 于AC 相交于点A , ∴平面 PAC ∥平面EFD 1，BP =(-4,0,4)，BP =42….10分
23.解：(1) m =4,设A 2(x 2,-2x 2)，y =－mx ，y ′=－
x
m 2,B (4,4)
∴
44222-+x x =
2
1
∴x 2=36 ∴A 2(36,－12) ……………….………………….………3分 (2) ①设A 1，B 1处切线的斜率分别为K 1，K 2,K 1•K 2=－1 ∴(－
1
2x m ).
1
2x m =－1 ∴m =4x 1○
1 设A 2(x 2,-2mx ) ∴
1
21
2x x mx mx ---=-
1
21mx ∴x 2=9x 1○
2
又S =
2
1
×21mx (x 2-x 1)=16 ○
3 由○1○2○3知x 1=1,m =
4 ∴抛物线方程为y 2
=4x …………………………………………………………………..……6分 ② 由(2)知
1
1
-----n n n n x x mx mx =－m
2x n -1
，∴x n =9x n -1，∴数列{}n x 为等比数列,
∴x 19n -1
≥10000x 1
∴n ≥6 ∴n 最小值为6………………………………………………………………………10分
2012——2013学年度第一学期泰州市期末联考
高三数学试题评讲建议
2013.元.30
12.各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 1≥1，a 2≤2，a 3≥3，则a 4的取值范围是 ▲ . 【答案】 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡8,2
9
【分析】（i ）大量的不等式应该联想到线性规划
(ii)取对数可将乘、指数运算转化为线性运算
【解答】
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=≥=≤=≥3142
13
121321q
a a q a a q a a a ， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
+=≥+≤+≥∴q
a a q a q a a lg 3lg lg 3lg lg 2lg 2lg lg lg 0lg 14111 令y q x a ==lg ,lg 1,t a =4lg
则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
+=≥+≤+≥∴y
x t y x y x x 33lg 22lg 0，根据线性规划知识可得。

【变式】江苏高考2010第12题：94,8322
≤≤≤≤y x xy ，则43
y
x 的最大值是 ▲ . 13. 已知六个点A 1(x 1,1),B 1(x 2,-1),A 2(x 3,1),B 2(x 4,-1),A 3(x 5,1),B 3(x 6,-1)（x 1＜x 2＜x 3＜x 4
＜x 5 ＜x 6，x 6－x 1=5π)都在函数f (x )=sin(x +
3
π
)的图象C 上.如果这六点中不同的两点的连
线的中点仍在曲线C 上，则称此两点为“好点组”，则上述六点中好点组的个数为 ▲ .（两点不计顺序） 【答案】11
【分析】（i ）对称关系不因平移而改变，x y sin =∴与f (x )=sin(x +
3
π
)对称关系没有变。

（ii ）根据周期性只要研究]6,0[π
（iii ）树形图可避免重复或遗漏。

【解答】
14. 已知f (x )=2mx +m 2
+2,m ≠0,m ∈R ,x ∈R .若｜x 1｜+｜x 2｜=1，则)
()(21x f x f 的取值范围是
▲ .
【答案】 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-22,22
1
【分析】（i ）法一：目标函数法
①分类讨论去绝对值找21,x x 的关系。

②将
)
()(21x f x f 化为一个变量的函数)(2
x g
（ii ）法二：数形结合
①“数”难时，要考虑“形” ②C ：｜x 1｜+｜x 2｜=1为正方形 ③“分式”联想到斜率。

【解法一】
先考虑10,1021≤≤≤≤x x 的情形，
X5
X6
X5 X6
X1 X4 X2 （X3） X2
X4 X3 X6
(X5) X3
X6
X4 (X5) X4
X5 (X6)
则x 1+x 2=1
)()(21x f x f 2222222
1++++=m mx m mx 222)1(2222
2++++-=m mx m x m m
m x m m 122
112+
++
++-=
当0>m ，令函数)(x g m
m x m m 122
11+
++
++
-=，]1,0[∈x ， 由单调性可得：
)0()()1(g x g g ≤≤。

其中，222
22
1)1(-≥++-
=m
m g ， 2
21121)0(+
≤+
+
=m
m g 当0<m ，同理。

21x x 、在其他范围同理。

综上可得⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-
22,22
1。

【解法二】
)()(21x f x f 2
2222
22
1++++=m mx m mx m
m x m m x 2222
2221++
++=， )()(21x f x f ∴为点P )22,22(22m
m m m +-+-与点Q ),(12x x 连
线的斜率。

P 点在直线)2|(|≥=x x y 上.
由图可得直线PQ 斜率的范围，即
)
()
(21x f x f 的范围。

【变式】将条件改为12
221=+x x
18.直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：122
22=+b
y a x （a >b >0）的左、右顶点分别是A 1，A 2，上、
下顶点为B 2，B 1，点P （a 5
3
，m ）（m ＞0）是椭圆C 上一点，PO ⊥A 2B 2，直线PO 分别交A 1B 1、
A 2
B 2于点M 、N .
（1）求椭圆离心率；
（2）若MN =7
21
4，求椭圆C 的方程；
（3）在（2）的条件下，设R 点是椭圆C 上位于第一象限内的点，F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，RQ 平分∠F 1RF 2且与y 轴交于点Q ，求点Q 纵坐标的取值范围. （3）【分析】角平分线的处理方法: 法一：向量的数量积
法二：点Q 到直线21PF PF 、距离相等。

法三：2F 关于RQ 的对称点与S 在直线1RF 上。

法四：角平分线定理：
P
F P
F RF RF 2121=,(P 为RQ 与x 轴的交点) 法五：利用夹角或到角公式(新教材不作要求) 【解答】（3）RQ F RQ F 21cos cos ∠=∠，∴
RQ
RF RQ RF ··11=
RQ
RF RQ RF ··22
∴
2
2
000002
2
00000)1()
,)(,1()1()
,)(,1(y x y t x y x y x y t x y x +-----=
++-----
化简得： ∴t =-
3
1
y 0∵0<y 0<3,t ∈(-33,0) （其他几种方法均可得到t =-
3
1
y 0）
19.已知数列a n =n -16，b n =(-1)n ｜n -15｜，其中n ∈N *
. （1）求满足a n +1=｜b n ｜的所有正整数n 的集合； （2）若n ≠16，求数列
n
n
a b 的最大值和最小值； （3）记数列{a n b n }的前n 项和为S n ，求所有满足S 2m =S 2n （m ＜n ）的有序整数对（m ,n ）. (3)【分析】（i ）讨论去绝对值寻找关系
（ii ）多写几项，看规律（归纳思想），第(2)问也可以用此法。

【解法一】 (3)记n n n b a c =，
n m S S 22= 022212=+++∴++n m m c c c ，
R
x
y
F 1
F 2
Q
O
14151⨯=c ，13142⨯=c ……1214⨯-=c ，015=c ，016=c ，2117⨯-=c ……
经观察，8,7==n m
【解法二】
n ≤15时，b n =(-1)n -1(n -15),a 2k -1b 2k -1+a 2k b 2k =2 (16-2k )≥0 n >15时，b n =(-1)n (n -15),a 2k -1b 2k -1+a 2k b 2k =2 (2k -16) >0 其中a 15b 15+a 16b 16=0,∴s 16=s 14 m =7 ，n =8
20.已知函数f (x )=(x -a )(x -b )2
，a ,b 是常数.
(1)若a ≠b ，求证：函数f (x )存在极大值和极小值；
(2)设（1）中f (x )取得极大值、极小值时自变量的值分别为x 1、x 2，令点A (x 1, f (x 1)),B (x 2,
f (x 2)).如果直线AB 的斜率为-
2
1
，求函数f (x )和f ′ (x )的公共递减区间的长度 ； (3)若f (x )≥mxf ′ (x )对于一切x ∈R 恒成立，求实数m ,a ,b 满足的条件.
(3)【分析】012233a x a x a x a +++0≥恒成立，则必须03=a ，否则不可能恒大于等于零。

从而转化成学生熟悉的0122a x a x a ++0≥恒成立问题。

【解法一】
（3）)()(/
x mxf x f ≥
[])2(3)())((2b a x b x x m b x a x +--⋅≥--∴ []{}
0)()2()31()(2≥++-++--∴ab x b a b a m x m b x
若3
1
≠
m ，则左边是一个一次因式，乘以一个恒正（或恒负）的二次三项式，或者是三个一次因式的积，无论哪种情况，总有一个一次因式的指数是奇次的，这个因式的零点左右的符号不同，因此不可能恒非负。

3
1
=
∴m []03)2()(≤-+-∴ab x b a b x 若a +2b=0 b a 2-=，b a =∴=0
若02≠+b a 则 b x =1b
a ab
x 232+=
⎩⎨⎧∴<++=0223b a b
a ab
b
①b =0 则a<0 ②b ≠0
123=+b
a a
b a =∴且b <0
综上 3
1
=∴m 0≤=b a 【解法二】
令)()()(x f mx x f x g '-=一定是形如012233a x a x a x a +++的式子。

若3a 0≠，则)(x g 不可能恒大于零。

∴必须03=a ， 因此只要求出3x 的系数m a 313-=
（此方法比解法一目标更明确，运算更简捷）
3
1=
∴m ， 此时)()()(x f mx x f x g '-=2
2
2
2
3)24()2(ab x b ab x b a -+++-=0≥恒成立。

①⎪⎩⎪⎨⎧≤=+=+0
30240
222
ab b ab b a ，⇒⎩⎨⎧<=0b b a 或⎩⎨⎧==00a b
②⎩⎨⎧≤∆<+002b a ⇒⎩
⎨
⎧<=0b b a ， 综上：3
1
=
m 0≤=b a 。