江苏省南京市2016-2017学年高二上学期期末考试数学(文)试题

南京市2016－2017学年度第一学期期末检测卷
高二数学（文科）2017。

01
注意事项：
1．本试卷共4页,包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷
满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答．
题卡
．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．
一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置
．．．．．．．上
1．命题“若a＝b,则｜a |＝|b｜”的逆否命题是▲．
2．双曲线x2－错误!＝1的渐近线方程是▲．
3．已知复数错误!为纯虚数,其中i是虚数单位，则实数a的值是▲．
4．在平面直角坐标系xOy中,点(4，3）到直线3x－4y＋a＝0的距离为1，则实数a的值是▲．
5．曲线y＝x4与直线y＝4x＋b相切，则实数b的值是▲．
6．已知实数x，y满足条件错误!则z＝2x＋y的最大值是▲．
7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C:y2＝4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF＝5，则点P的横坐标是▲．
8．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝r2（r＞0）与圆M：（x－3)2＋（y＋4)2＝4相交,则r的取值范围是▲．
9．观察下列等式:
（sin错误!）－2＋（sin错误!）－2＝错误!×1×2；
(sin错误!)－2＋(sin错误!）－2＋（sin错误!)－2＋（sin错误!)－2＝错误!×2×3；
（sin错误!）－2＋（sin错误!）－2＋（sin错误!）－2＋…＋(sin错误!）－2＝错误!×3×4；
（sin错误!）－2＋(sin错误!）－2＋(sin错误!)－2＋…＋（sin错误!）－2＝错误!×4×5；
……
依此规律，
当n∈N*时，(sin错误!)－2＋（sin错误!)－2＋(sin错误!）－2＋…＋（sin错误!)－2＝▲．10．若“ x∈R，x2＋ax＋a＝0”是真命题,则实数a的取值范围是▲．
11．已知函数f（x)＝(x2＋x＋m）e x(其中m∈R，e为自然对数的底数)．若在x＝－3处函数f (x)有极大值，则函数f (x）的极小值是▲．
12．有下列命题：
①“m＞0”是“方程x2＋my2＝1表示椭圆”的充要条件；
②“a＝1"是“直线l1:ax＋y－1＝0与直线l2:x＋ay－2＝0平行”的充分不必要条件;
③“函数f （x)＝x3＋mx单调递增”是“m＞0"的充要条件；
④已知p,q是两个不等价命题，则“p或q是真命题"是“p且q是真命题”的必要不充分条件．
其中所有真命题的序号是▲．
13．已知椭圆E：错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的焦距为2c（c＞0）,左焦点为F，点M的坐标为（－2c，0)．若椭圆E上存在点P，使得PM＝，2PF，则椭圆E离心率的取值范围是▲．14．已知t＞0，函数f(x）＝错误!若函数g（x）＝f（f(x）－1）恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是▲．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内
．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A(7，8），B（10，4），C（2，－4)．(1）求BC边上的中线所在直线的方程；
(2)求BC边上的高所在直线的方程．
16．（本题满分14分）
已知复数z1＝m－2i，复数z2＝1－n i，其中i是虚数单位，m,n为实数．
(1)若m＝1，n＝－1,求|z1＋z2｜的值;
(2)若z1＝(z2）2，求m，n的值．
17．(本题满分14分）
在平面直角坐标系x O y中,已知圆M的圆心在直线y＝－2x上，且圆M与直线x＋y－1＝0相切于点P（2,－1）．
（1）求圆M的方程；
(2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为错误!，求直线l的方程．
18．(本题满分16分）
某休闲广场中央有一个半径
．．为1（百米)的圆形花坛,现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF和梯形DEFC)构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上,C F为圆的直径（如图)．设∠AOF＝θ，其中O为圆心．
(1）把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ);
（2）当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大?并求最大面积．
19．（本题满分16分）
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：错误!＋错误!＝1(a ＞b ＞0）的离心率为错误!，两个顶点分别为A （－a ，0)，B (a ，0)，点M (－1，0)，且3错误!＝错误!，过点M 斜率为k (k ≠0）的直线交椭圆E 于C ,D 两点，且点C 在x 轴上方．
（1）求椭圆E 的方程;
(2)若BC ⊥CD ，求k 的值；
（3）记直线BC ，BD 的斜率分别为k 1,k 2,求证:k 1k 2为定值．
A B
C F
D
E （第18题图） O θ
20．（本题满分16分)
已知函数f (x)＝ax－ln x（a∈R）．
(1）当a＝1时,求f （x）的最小值；
(2）已知e为自然对数的底数,存在x∈［错误!，e］,使得f （x）＝1成立，求a的取值范围；
(3)若对任意的x∈[1，＋∞），有f （x）≥f （错误!）成立,求a的取值范围．
南京市2016－2017学年度第一学期期末检测卷高二数学（文科）参考答案及评分标准2017．01
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数,填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．若｜a｜≠|b｜，则a≠b 2．y＝±2x3．2 4．±5 5．－3 6．9 7．4 8．（3，7) 9．错误!10．（－∞，0］∪[4，＋∞）11．－1 12．②④13．［错误!，错误!］14．（3，4)
二、解答题(本大题共6小题,共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题满分14分）
解：（1）由B(10,4），C（2，－4），得BC中点D的坐标为（6，0)，………………2分所以AD的斜率为k＝错误!＝8, ……………… 5分
所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y－0＝8（x－6)，
即8x－y－48＝0．……………… 7分
(2)由B(10，4），C（2，－4)，得BC所在直线的斜率为k＝错误!＝1，…… 9分
所以BC边上的高所在直线的斜率为－1, ………………… 12分
所以BC边上的高所在直线的方程为y－8＝－（x－7），
即x＋y－15＝0．………………………… 14分
16．（本题满分14分）
解：（1）当m＝1，n＝－1时，z1＝1－2i，z2＝1＋i，
所以z1＋z2＝（1－2i）＋(1＋i）＝2－i，………………4分
所以|z1＋z2｜＝错误!＝错误!．………………6分
（2)若z1＝（z2)2，则m－2i＝（1－n i)2,
所以m－2i＝（1－n2)－2n i，……………10分
所以错误!………………12分
解得错误!………………14分
17．（本题满分14分）
解:（1）过点(2,－1）且与直线x＋y－1＝0垂直的直线方程为x－y－3＝0，……2分由错误!解得错误!
所以圆心M 的坐标为（1，－2), ………………4分
所以圆M 的半径为r ＝错误!＝错误!， ………………6分
所以圆M 的方程为 (x －1)2＋(y ＋2）2＝2． ………………7分
（2）因为直线l 被圆M 截得的弦长为错误!，
所以圆心M 到直线l 的距离为d ＝错误!＝错误!, ……………9分
若直线l 的斜率不存在,则l 为x ＝0，此时，圆心M 到l 的距离为1，则弦长为2，不符合题意． 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，
由d ＝错误!＝错误!， ………………11分
整理得k 2＋8k ＋7＝0，
解得k ＝－1或－7， ………………13分
所以直线l 的方程为x ＋y ＝0或7x ＋y ＝0． ………………14分
18．(本题满分16分)
解：(1)作AH ⊥CF 于H ，
则OH ＝cos θ，AB ＝2OH ＝2cos θ，AH ＝sin θ， ……………2分
则六边形的面积为f (θ）＝2×错误!（AB ＋CF ）×AH ＝（2cos θ＋2）sin θ
＝2(cos θ＋1)sin θ,θ∈(0，错误!)． ………………6分
（2）f ′(θ)＝2[－sin θsin θ＋（cos θ＋1）cos θ]
＝2（2cos 2θ＋cos θ－1)＝2（2cos θ－1）（cos θ＋1）． ………………10分
令 f ′(θ)＝0，因为θ∈（0，错误!)，
所以cos θ＝错误!，即θ＝错误!， ……………………12分 当θ∈(0，错误!）时，f ′(θ）＞0,所以f (θ)在（0,错误!）上单调递增；
当θ∈（错误!，错误!）时,f ′(θ)＜0，所以f （θ）在（错误!，错误!)上单调递减， …………14分
所以当θ＝错误!时,f （θ)取最大值f (错误!）＝2（cos 错误!＋1)sin 错误!＝错误!错误!． …………15分
答：当θ＝错误!时,可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为错误!错误!平方百米． …………………………16分
19．（本题满分16分）
解：（1）因为3错误!＝错误!，
所以3(－1＋a ，0)＝（a ＋1，0)，解得a ＝2． ………………2分
又因为c a
＝错误!，所以c ＝错误!,所以b 2＝a 2－c 2＝1， 所以椭圆E 的方程为错误!＋y 2＝1． ………………4分
(2)方法1
设点C 的坐标为（x 0，y 0)，y 0＞0,
则错误!＝(－1－x 0,－y 0)，错误!＝(2－x 0，－y 0）．
因为BC ⊥CD ，所以(－1－x 0)( 2－x 0）＋y 02＝0． ① ……………6分
又因为错误!＋y 02＝1， ②
联立①②，解得x 0＝－错误!，y 0＝错误!， ………………8分
所以k ＝错误!＝2错误!． ………………10分
方法2
因为CD 的方程为y ＝k (x ＋1），且BC ⊥CD ，
所以BC 的方程为y ＝－1k
（x －2)， ………………6分
联立方程组，可得点C 的坐标为(错误!,错误!), ………………8分
代入椭圆方程，得错误!＋（错误!)2＝1,
解得k ＝±2，2．
又因为点C 在x 轴上方，所以错误!＞0，所以k ＞0，
所以k ＝2 2 ………………10分
（3)方法1
因为直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1），
由错误!消去y ，得（1＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－4＝0，
设C (x 1，y 1），D （x 2，y 2),
则x 1＋x 2＝－8k 2
1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－4 1＋4k 2
， …………………12分 所以k 1k 2＝k 2(x 1＋1） （x 2＋1) （x 1－2(x 2－2）)＝k 2(x 1 x 2＋x 1＋x 2＋1) x 1 x 2－2 （x 1＋x 2
＋4） …………………14分 ＝错误!＝错误!＝－错误!，
所以k 1k 2为定值． ……………16分 方法2
因为直线BC 的方程为y ＝k 1(x －2)，
由错误!得C （错误!，错误!), ………………12分
同理D （错误!，错误!),
由于C ，M ，D 三点共线，故错误!，错误!共线，
又错误!＝（错误!＋1,错误!)＝（错误!,错误!),
错误!＝(错误!＋1,错误!）＝(错误!，错误!），
所以错误!×错误!＝错误!×错误!， ……………14分
化简得12k 12k 2－k 2＝12k 1k 22－k 1，即(12k 1k 2＋1)（k 1－k 2）＝0，
由于k 1≠k 2,否则C ，D 两点重合，于是12k 1k 2＋1＝0，即k 1k 2＝－错误!,
所以k 1k 2为定值． ……………16分 方法3
设C (x 0，y 0），则CD ：y ＝错误!（x +1）（－2＜x 0＜2且x 0≠－1），
由错误!消去y ，
得[(x 0＋1）2＋4y 02］x 2＋8y 02x ＋4y 02－4(x 0＋1）2＝0. ………………12分 又因为错误!＋y 02＝1，所以得D （错误!，错误!)， ………………14分 所以k 1k 2＝错误!·错误!＝错误!
＝错误!＝错误!＝－错误!,
所以k 1k 2为定值． ………………16分
20．（本题满分16分)
解：（1)a ＝1时，f (x )＝x －ln x ， 则f '（x )＝1－错误!＝错误!，
令f '（x )＝0，则x ＝1． ……………………2分 当0＜x ＜1时,f ’(x ）＜0，所以f (x ）在(0，1）上单调递减；
当x ＞1时，f ’(x )＞0，所以f (x )在（1，＋∞)上单调递增， ………………3分 所以当x ＝1时，f (x ）取到最小值，最小值为1． …………………4分
（2）因为 f (x ）＝1，所以ax －ln x ＝1，即a ＝错误!＋错误!, ………………6分 设g （x )＝错误!＋错误!，x ∈[错误!，e ］，则g ’（x )＝错误!，
令g ’（x ）＝0，得x ＝1．
当错误!＜x ＜1时，g ’(x )＞0，所以g （x ）在(错误!，1)上单调递增；
当1＜x＜e时，g ’(x)＜0，所以g（x)在（1,e)上单调递减；………………8分
因为g(1)＝1，g（错误!)＝0，g(e）＝错误!,所以函数g（x)的值域是［0，1]，
所以a的取值范围是[0,1］．……………………10分
（3)对任意的x∈[1，＋∞),有f(x)≥f（错误!）成立，
则ax－ln x≥错误!＋ln x，即a（x－错误!）－2ln x≥0．
令h（x）＝a（x－错误!）－2ln x,则h'（x)＝a(1＋错误!）－错误!＝错误!，
①当a≥1时，ax2－2x＋a＝a(x－错误!)2＋错误!≥0，
所以h’（x）≥0,因此h(x）在［1，＋∞）上单调递增，
所以x∈［1，＋∞）时，恒有h(x）≥h(1）＝0成立,
所以a≥1满足条件．………………12分
②当0＜a＜1时，有错误!＞1，若x∈［1，错误!］，则ax2－2x＋a＜0，
此时h'（x)＝错误!＜0，
所以h(x)在[1，错误!]上单调递减，所以h（错误!)＜h（1)＝0，
即存在x＝错误!＞1，使得h(x）＜0，所以0＜a＜1不满足条件．……………14分
③当a≤0时,因为x≥1,所以h'（x）＝错误!＜0，所以h(x）在[1，＋∞）上单调递减, 所以当x＞1时，h（x）＜h(1）＝0，所以a≤0不满足条件．
综上，a的取值范围为［1,＋∞）。

………………16分。