2019届高考文科数学知识点总结考点分类复习第四章 三角形 解三角形

2019届高考文科数学知识点总结考点分类复习
第四章三角函数、解三角形
考点1 三角函数的概念、同角三角函数基本关系式及诱导公式
1(2017浙江，11)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其
结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积
6
S，
=
6
S．
答案
2.(2017课标3，4)已知
4
sin cos
3
αα
-=，则sin2α=（）
A．
7
9
-B．
2
9
-C．
2
9
D．
7
9
2解析
()2
sin cos17
sin22sin cos
19
αα
ααα
--
===-
-
.所以选A.
答案A
3.(2017山东，4)已知
3
cos
4
x=,则cos2x=( )
A.
1
4
- B.
1
4
C.
1
8
- D.
1
8
3解析由
3
cos
4
x=得
2
2
31
cos22cos121
48
x x
⎛⎫
=-=⨯-=
⎪
⎝⎭
,故选D.
答案D
4.(2017北京，9)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y
轴对称.若sin α=
1
3
，则sin β=_________． 4解析 因为角α与角β关于y 轴对称，则α+β= ，所以
答案
13
5.（2017课标3，15）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b
，c =3，则A =_________.
5解析 由题意：sin sin b c
B C
= ，
即s i n 2sin 32
b C
B c
===，结合b c < 可得45B = ，则18075A B C =--=.
答案75°
6.（2017江苏，5） 若π1
tan(),46
α-= 则tan α= .
6解析：由题意可得
答案
75
7.（2017课标1，15）已知
π(0)2
a ∈，，tan α=2，则π
cos ()4α-=__________．
7 解析∵α∈(0,
),tanα=2,∴sinα=
,cosα= ,∴cos(α-
)=cosαcos +sinαsin = ×( + )=
.
8.(2015·福建，6)若sin α＝－
5
13
，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A.125 B.－125 C.512 D.－512
8.解析 ∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－5
12，故选D.
答案 D
9.(2014·大纲全国，2)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.3
5 C.－35 D.－45
9.解析 记P (－4，3)，则x ＝－4，y ＝3，r ＝|OP |＝（－4）2＋32＝5， 故cos α＝x r ＝－45＝－4
5，故选D.
答案 D
10.(2014·新课标全国Ⅰ，2)若tan α＞0，则( ) A.sin α＞0 B.cos α＞0 C.sin 2α＞0 D.cos 2α＞0
10.解析 由tan α＞0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号， 故sin 2α＝2sin α cos α＞0，故选C. 答案 C
11.(2016·新课标全国Ⅰ，14)已知θ是第四象限角，且⎪⎭⎫
⎝
⎛
+4sin πθ＝35，则⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-4tan πθ＝________.
11.解析 由题意，得⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+
4cos πθ＝4
5，∴⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+4tan πθ＝34. ∴⎪⎭⎫
⎝
⎛-4tan πθ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛
-+24tan ππθ＝－1tan ⎝⎛⎭
⎫θ＋π4＝－43. 答案 －4
3
12.(2016·四川，11)sin 750°＝________.
12.解析 ∵sin θ＝sin(k ·360°＋θ)，(k ∈Z )，∴sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝1
2.
答案 12
13(2015·四川，13)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________． 13解析 ∵sin α＋2cos α＝0， ∴sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2，
又∵2sin α cos α－cos 2
α＝2sin α·cos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1
，
∴原式＝2×（－2）－1
（－2）2＋1＝－1.
答案 －1
考点2 三角函数的图象与性质
1.（）2017课标3，6）函数1ππ
()sin()cos()536
f x x x =++-的最大值为（ ） A ．
65 B ．1 C ．35 D ．1
5
1解析 由诱导公式可得：cos cos sin 6233x x x ππππ⎡⎤⎛
⎫
⎛⎫⎛⎫-
=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦ ， 则：()16sin sin sin 53353f x x x x πππ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭ ,函数的最大值为65 . 答案A
2.（2017课标II ，3）函数π
()sin(2)3
f x x =+
的最小正周期为（ ） A.4π B.2π C. π D.π
2
2解析 由题意得
=
答案 C
3.（2017天津，7）设函数()2s i n (),f x x x ω
ϕ=+∈R ，其中0,||πωϕ><.若
5π11π
(
)2,()0,88f f ==且()f x 的最小正周期大于2π，则 （ ） A 2π,312ωϕ== B 211π,312ωϕ==- C 111π,324ωϕ==- D 17π,324ωϕ==
3 解析 由f (
)=2,得
ω+φ=
+2kπ(k ∈Z), (1)
答案A
4.（2017山东，7）函数2cos2y x x + 最小正周期为 （ ）
A.
π2 B. 2π3
C.π
D. 2π
4解析 因为π2cos 22sin 23y x x x ⎛
⎫
=+=+ ⎪⎝
⎭
,所以其周期2ππ2T ==,故选C. 答案 C
5.（2017浙江，13）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =
5解析 取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意：,AE BC BF CD ⊥⊥，
△ABE 中，1
cos 4BE ABC AB ∠=
=，1cos ,sin 44
DBC DBC ∴∠=-∠==，
BC 1sin 2D S BD BC DBC ∴=⨯⨯⨯∠=
△
又21
cos 12sin ,sin 44
DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-∴∠=
，
cos sin BDC DBF ∴∠=∠=
综上可得，△BCD cos BDC ∠=．
答案
6.（2017
课标
II ，13）函数
()2c o s f x x x =+的最大值
为 . 6解析
()f x ≤=
答案
7 (2016·新课标全国Ⅰ，6)若将函数y ＝⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+62sin 2πx 的图象向右平移1
4个周期后，所得图象对应的函数为( ) A.y ＝⎪⎭⎫
⎝
⎛+
42sin 2πx B.y ＝⎪⎭⎫
⎝
⎛+
32sin 2πx C.y ＝⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
42sin 2πx D.y ＝⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
32sin 2πx 7.解析 函数y ＝⎪⎭⎫
⎝
⎛+
62sin 2πx 的周期为π，将函数y ＝⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+62sin 2πx 的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得函数为y ＝2⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-6
42sin ππx ＝⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
-32sin 2πx ，故选D.
答案 D
8.(2016·新课标全国卷Ⅱ，3)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则 ( ) A.y ＝⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
62sin 2πx B.y ＝⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
32sin 2πx C.y ＝⎪⎭⎫
⎝
⎛+
62sin 2πx D.y ＝⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+32sin 2πx 8.解析 由题图可知，T ＝⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-632ππ＝π，所以ω＝2， 由五点作图法可知2×π3＋φ＝π2，所以φ＝－π
6，
所以函数的解析式为y ＝⎪⎭
⎫
⎝
⎛-62sin 2πx ，故选A. 答案 A
9.(2016·四川，4)为了得到函数y ＝⎪⎭
⎫
⎝
⎛+3sin πx 的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( )
A.向左平行移动π
3
个单位长度
B.向右平行移动π
3
个单位长度
C.向上平行移动π
3个单位长度
D.向下平行移动π
3
个单位长度
9.解析 由y ＝sin x 得到y ＝sin(x ±a )的图象，只需记住“左加右减”的规则即可. 答案 A
10．(2015·新课标全国Ⅰ，8)函数f (x )＝cos (ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )
A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z
B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋3
4，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝
⎛⎭⎫2k －14，2k ＋3
4，k ∈Z
10.解析 由图象知T 2＝54－1
4＝1，
∴T ＝2.由选项知D 正确． 答案 D
11.(2015·山东，4)要得到函数y ＝⎪⎭
⎫
⎝
⎛-34sin πx 的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π
12个单位
B ．向右平移π
12个单位
C ．向左平移π
3个单位
D ．向右平移π
3
个单位
11.解析 ∵y ＝⎪⎭⎫
⎝
⎛-
34sin πx ＝⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-124sin πx ， ∴要得到函数y ＝⎪⎭
⎫
⎝
⎛-34sin πx 的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π
12个单位． 答案 B
12.(2014·天津，8)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π
3，则f (x )的最小正周期为( )
A.π2
B.2π3
C.π
D.2π 12.解析 由题意得函数f (x )＝2⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
6sin πωx (ω＞0)， 又曲线y ＝f (x )与直线y ＝1相邻交点距离的最小值是π
3
，
由正弦函数的图象知，ωx ＋π6＝π6和ωx ＋π6＝5π6对应的x 的值相差π
3，
即
2π3ω＝π
3
，解得ω＝2， 所以f (x )的最小正周期是T ＝2πω
＝π. 答案 C
13.(2014·陕西，2)函数f (x )＝)4
2cos(π
+
x 的最小正周期是( )
A.π
2
B.π
C.2π
D.4π 13.解析 由余弦函数的复合函数周期公式得T ＝2π
2＝π.
答案 B
14.(2014·四川，3)为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( )
A ．向左平行移动1个单位长度
B ．向右平行移动1个单位长度
C ．向左平行移动π个单位长度
D ．向右平行移动π个单位长度
14.解析 由图象平移的规律“左加右减”，可知选A. 答案 A
15.(2014·浙江，4)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )
A.向右平移π
12个单位
B.向右平移π
4个单位
C.向左平移π
12
个单位
D.向左平移π
4
个单位
15.解析 因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
43cos πx ，所以将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π
12个
单位后可得到y ＝2⎪⎭
⎫
⎝
⎛-43cos πx 的图象． 答案 A
16.(2014·安徽，7)若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )
A.π8
B.π4
C.3π8
D.3π4 16.解析 方法一 f (x )＝2)4
2sin(π
+
x ，
将函数f (x )的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数解析式为y ＝2
)24
2sin(ϕπ
-+
x ，由该函数为偶函数可知2φ－π4＝k π＋π
2，k ∈Z ，
即φ＝k π2＋3π
8，k ∈Z ，
所以φ的最小正值为3π
8.
方法二 f (x )＝2⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
42cos πx ， 将函数f (x )的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数为y ＝2⎪⎭
⎫
⎝
⎛--ϕπ
242cos x ，
且该函数为偶函数， 故2φ＋π
4＝k π，k ∈Z ，
所以φ的最小正值为3π
8.
答案 C
17.(2014·新课标全国Ⅰ，7)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝)6
2sin(π
+x ，
④y ＝⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-
42tan πx 中，最小正周期为π的所有函数为( ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③
17.解析 ①y ＝cos|2x |，最小正周期为π；②y ＝|cos x |，最小正周期为π；③y ＝)6
2cos(π
+
x ，
最小正周期为π；④y ＝⎪⎭
⎫
⎝
⎛-42tan πx ，最小正周期为π
2，所以最小正周期为π的所有函数为①②③，故选A. 答案 A
18.(2014·福建，7)将函数y ＝sin x 的图象向左平移π
2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下
列说法正确的是( )
A.y ＝f (x )是奇函数
B.y ＝f (x )的周期为π
C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π
2
对称 D.y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π2，0对称 18.解析 函数y ＝sin x 的图象向左平移π
2个单位后，得到函数f (x )＝)2
sin(π+x ＝cos x 的图象，
f (x )＝cos x 为偶函数，排除A ；f (x )＝cos x 的周期为2π，排除B ；因为⎪⎭
⎫
⎝⎛2πf ＝cos π2＝0，所以f (x )＝cos x 不关于直线x ＝π
2对称，排除C ；故选D.
答案 D
19.(2016·新课标全国Ⅲ，14)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到.
19.解析 y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，由y ＝2sin x 的图象至少向右平移π
3个单位长度得到. 答案 π
3
20.(2015·天津，11)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________． 20.解析 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2⎪⎭
⎫
⎝
⎛+4sin πωx ， 由－π2＋2k π≤ωx ＋π4≤π
2＋2k π，k ∈Z ，
得－3π4＋2k π≤ωx ≤π
4
＋2k π，
由题意f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，可知k ＝0，ω≥π2
， 又函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称， 所以sin(ω2＋π4)＝1，ω2＋π4＝π2
，
所以ω＝π2
. 答案 π2
21.(2015·陕西，14)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数 y ＝3sin ⎝⎛⎭
⎫π
6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．
21.解析 由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5， ∴y max ＝k ＋3＝8. 答案 8
22(2015·湖南，15)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.
22.解析 由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝2sin ωx ，
y ＝2cos ωx ，知sin ωx ＝cos ωx ，
即sin ωx －cos ωx ＝0， ∴2⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
4sin πωx 0， ∴ωx ＝π4＋k π，x ＝⎪⎭
⎫
⎝
⎛+ππωk 4
1k ∈Z )，
∴两函数交点坐标为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫
⎝⎛+2,41ππωk (k ＝0，2，4，…)， 或⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫
⎝⎛+2,41ππωk k ＝…，－3，－1，1，3，…) ∴最短距离为（22）2
＋π2
ω
2＝23，
∴π2
ω2＝4， ∴ω＝π2.
答案 π2
23.(2014·重庆，13)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2≤φ＜π
2)图象上每一点的横坐标缩短为
原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6
个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则⎪⎭⎫
⎝⎛6πf ＝
________.
23.解析 把函数y ＝sin x 的图象向左平移π
6个单位长度得到y ＝)6
sin(π+x 的图象，
再把函数y ＝)6
sin(π
+x 图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，
得到函数f (x )＝)6
21sin(π
+x 的图象， 所以⎪⎭
⎫
⎝⎛6πf ＝)6621sin(ππ+⨯＝sin π4＝22. 答案
22
24.（2017浙江，18）（本题满分14分）已知函数f （x ）=sin 2x –cos 2x –sin x cos x （x ∈R ）．
（Ⅰ）求)3
2(
π
f 的值． （Ⅱ）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间．
24解析 试题分析：（Ⅰ）由函数概念
32cos 32sin 3232cos 32sin )32(
22π
ππππ--=f ，
分别计算可得；（Ⅱ）化简函数关系式得)sin(ϕω+=x A y ，结合ωπ
2=
T 可得周期，利
用正弦函数的性质求函数的单调递增区间．
答案 （Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为π，单调递增区间为[
+kπ,
+kπ](k ∈Z)．
25.(2015·湖北，18)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ),⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π
2在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：
(1)f (x )的解析式； (2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平移π
6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离
原点O 最近的对称中心．
25.解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π
6
.数据补全如下表：
且函数表达式为f (x )＝5)6
2sin(-x .
(2)由(1)知f (x )＝5)6
2sin(π
-x ，
因此g (x )＝5)6
)6
(2sin(π
π
-
+
x ＝5)6
2sin(π
+
x .
因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋π6＝k π，解得x ＝k π2－π
12
，k ∈Z .
即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π12，0.
26.(2014·湖北，18)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关
系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π
12t ，t ∈[0,24)．
(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．
26.解 (1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫
π12×8 ＝10－3cos
2π3－sin 2π
3
＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32
＝10.
故实验室上午8时的温度为10 ℃. (2)因为f (t )＝10－2⎝⎛
⎭⎫
32
cos π12t ＋12sin π12t
＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π
3， 又0≤t ＜24，
所以π3≤π12t ＋π3＜7π
3
，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π
3＝－1. 于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
27.(2014·四川，17)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π
4. (1)求f (x )的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π
4cos 2α，求cos α－sin α的值． 27.解 (1)由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π
2＋2k π，k ∈Z ，
得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π
3
，k ∈Z .
所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π
3，k ∈Z . (2)由已知，有sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭
⎫α＋π
4(cos 2α－sin 2α)， 所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝4
5⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2 α－sin 2 α)， 即sin α＋cos α＝4
5
(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．
当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π
4＋2k π，k ∈Z ，此时cos α－sin α＝－ 2.
当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝5
4
.
由α是第二象限角，知cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52
. 综上所述，cos α－sin α＝－2或cos α－sin α＝－5
2
.
28.(2014·福建，18)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；
(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 28.解 f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
4＋1. (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π
4＋1 ＝2sin π
4＋1＝2.
(2)T ＝2π2
＝π.
由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得k π－3π8≤x ≤k π＋π
8
，k ∈Z .
所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π
8，k ∈Z .
29.(2014·北京，16)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6的部分图象如图所示． (1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π
12上的最大值和最小值． 29.解 (1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π
6，y 0＝3.
(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π
6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0. 于是当2x ＋π6＝0，即x ＝－π
12
时，f (x )取得最大值0；
当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π
3
时，f (x )取得最小值－3.
考点3 三角恒等变换
1.(2016·新课标全国Ⅲ，6)若tan θ＝－1
3，则cos 2θ＝( )
A.－45
B.－15
C.15
D.45
1.解析 tan θ＝－13，则cos 2θ＝cos 2θ－sin 2
θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45.
答案 D
2.(2016·新课标全国Ⅱ，11)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫
π2－x 的最大值为( ) A.4 B.5 C.6
D.7
2.解析 因为f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322
＋11
2， 所以当sin x ＝1时函数的最大值为5，故选B. 答案 B
3.(2015·重庆，6)若tan α＝13，tan(α＋β)＝1
2，则tan β＝( )
A.17
B.1
6 C.5
7 D.56
3.解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α
＝12－1
31＋12×13＝1
7.
答案 A
4.(2016·浙江，11)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________. 4.解析 ∵2cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1＋sin 2x ＝2⎝⎛
⎭
⎫22cos 2x ＋22sin 2x ＋1
＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
4＋1 ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，
∴A ＝2，b ＝1. 答案 2 1
5.（2017北京，16）已知函数()3cos(2)2sin cos 3
f x x -x x π
=-.
（I ）f (x )的最小正周期； （II ）求证：当[,]44x ππ
∈-
时，()1
2
f x ≥-．
5.解析 （Ⅰ）31π
()2sin 2sin 2sin 2cos 2sin(2)22223
f x x x x x x x =
+-=+=+. 所以()f x 的最小正周期2π
π2
T ==. （Ⅱ）因为ππ44x -
≤≤， 所以ππ5π2636
x -≤+≤.
所以ππ1
sin(2)sin()362x +≥-=-.
所以当ππ[,]44x ∈-时，1
()2
f x ≥-.
答案 （Ⅰ）π ；（Ⅱ）详见解析.
6.(2016·山东，17)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；
(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求⎪⎭
⎫
⎝⎛6
πg 的值.
6.解 (1)由f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2 ＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1 ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
3＋3－1. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π
12
(k ∈Z ).
所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )⎝⎛⎭
⎫或⎝⎛⎭⎫k π－π12，k π＋5π
12（k ∈Z ）.
(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
3＋3－1， 把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 得到y ＝2sin ⎝⎛⎭
⎫x －π
3＋3－1的图象. 再把得到的图象向左平移π
3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，
即g (x )＝2sin x ＋3－1. 所以g ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π
6＋3－1＝ 3.
7.(2016·北京，16)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；
(2)求f (x )的单调递增区间.
7.解 (1)f (x )＝2sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2⎝⎛
⎭
⎫22sin 2ωx ＋22cos 2ωx
＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2ωx ＋π
4 由ω＞0，f (x )最小正周期为π得2π
2ω＝π，
解得ω＝1.
(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 令－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π
2＋2k π，k ∈Z ，
解得－3π8＋k π≤x ≤π
8
＋k π，k ∈Z ，
即f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π
8＋k π(k ∈Z ).
8.(2015·广东，16)已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π
4的值； (2)求
sin 2α
sin 2
α＋sin αcos α－cos 2α－1
的值．
8.解 (1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π
4＝tan α＋tan
π
41－tan αtan
π4
＝tan α＋11－tan α＝2＋11－2
＝－3. (2)sin 2α
sin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos α
sin 2α＋sin αcos α－（2cos 2α－1）－1 ＝2sin αcos α
sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝2tan α
tan 2α＋tan α－2 ＝
2×2
22
＋2－2
＝1.
9.(2015·北京，15)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x
2.
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π
3上的最小值． 9.解 (1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3. ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
3－ 3. 所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为0≤x ≤2π3时，所以π3≤x ＋π
3
≤π.
当x ＋π3＝π，即x ＝2π
3时，f (x )取得最小值．
所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2π
3＝－ 3.
10.(2015·福建，21)已知函数f (x )＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x
2.
(1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)将函数f (x )的图象向右平移π
6个单位长度，再向下平移a (a ＞0)个单位长度后得到函数g (x )
的图象，且函数g (x )的最大值为2. ①求函数g (x )的解析式；
②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0.
10.(1)解 因为f (x )＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x
2
＝53sin x ＋5cos x ＋5 ＝10sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π
6＋5， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π.
(2)证明 ①将f (x )的图象向右平移π
6个单位长度后得到y ＝10sin x ＋5的图象，再向下平移a
(a ＞0)个单位长度后得到g (x )＝10sin x ＋5－a 的图象． 又已知函数g (x )的最大值为2，所以10＋5－a ＝2，解得a ＝13. 所以g (x )＝10sin x －8.
②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得10sin x 0－8＞0，即sin x 0＞4
5.
由45＜32知，存在0＜α0＜π3，使得sin α0＝45
. 由正弦函数的性质可知，当x ∈(α0，π－α0)时，均有sin x ＞45.
因为y ＝sin x 的周期为2π，
所以当x ∈(2k π＋α0，2k π＋π－α0)(k ∈Z )时，均有sin x ＞4
5.
因为对任意的整数k ，(2k π＋π－α0)－(2k π＋α0)＝π－2α0＞π
3
＞1，
所以对任意的正整数k ，都存在正整数x 0∈(2k π＋α0，2k π＋π－α0)，使得sin x k ＞4
5.
亦即，存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0.
11.(2014·广东，16)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322. (1)求A 的值；
(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫π
6－θ. 11.解 (1)∵f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322， ∴Asin ⎝⎛⎭⎫5π12＋π3＝322⇒Asin 3π4＝32
2⇒A ＝3. (2)由(1)知f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
3， ∵f (θ)－f (－θ)＝3，
∴3sin(θ＋π
3
)－3sin ⎝⎛⎭⎫－θ＋π3＝3， 展开得3⎝⎛⎭⎫12sin θ＋32cos θ－3⎝⎛⎭⎫32cos θ－1
2sin θ＝3，
化简得sin θ＝
33
. ∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos θ＝63
. ∴f ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝3sin ⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫π6－θ＋π
3＝3sin ⎝⎛⎭
⎫π2－θ＝3cos θ＝ 6.
12.(2014·浙江,18)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知4sin2A －B
2
＋ 4sin A sin B ＝2＋ 2. (1)求角C 的大小；
(2)已知b ＝4,△ABC 的面积为6,求边长c 的值．
12.解 (1)由已知得2[1－cos(A －B)]＋4sin Asin B ＝2＋2， 化简得－2cos Acos B ＋2sin Asin B ＝2， 故cos(A ＋B)＝－
2
2
. 所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π
4.
(2)因为S △ABC ＝1
2
absin C ，
由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π
4，得a ＝32，
由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ，得c ＝10.
考点4 正, 余弦定理及解三角形
1.（2017课标1，11）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知
s i n s i n (s i n c o s )B A C C +-
=
，a =2，c C = （ ）
A ．π12
B ．π6
C ．π4
D ．π
3
1解析
因为sin B+sin A (sin C-cos C )=0,所以sin(A+C )+sin A ·
sin C-sin A ·cos C =0,所以sin A cos C+cos A sin C+sin A sin C-sin A cos C =0,整理得sin C (sin A+cos A )=0,因为sin C ≠0,所以
sin A+cos A =0,所以tan A =-1,因为A ∈(0,π),所以A =,由正弦定理得sin C =,
又0<C <,所以C =.故选B.
答案 B
2.(2016·新课标全国Ⅰ，4)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝2
3，则b ＝( )
A. 2
B. 3
C.2
D.3
2.解析 由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×2
3，解得b ＝3⎝⎛⎭⎫b ＝－13舍去，故选D. 答案 D
3.(2016·山东，8)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a2＝2b2(1－sin A)，则A ＝( ) A.3π
4 B.π3 C.π4
D.π6
3.解析 在△ABC 中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A ， ∵b ＝c ，∴a2＝2b2(1－cos A)，又∵a2＝2b2(1－sin A)， ∴cos A ＝sin A ，∴tan A ＝1， ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π
4，故选C.
答案 C
4.(2015·广东,5)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若a ＝2,c ＝23,cos A ＝3
2
,且b<c,则b ＝( )
A. 3
B.2 2
C.2
D. 3 4.解析 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－2×b ×23×3
2
，即b 2－6b ＋8＝0，∴b ＝4或b ＝2，又b <c ，∴b ＝2. 答案 C
5.(2014·四川，8)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，
此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )
A ．240(3－1)m
B ．180(2－1)m
C ．120(3－1)m
D ．30(3＋1)m 5.解析 ∵tan 15°＝tan(60°－45°)＝
tan 60°－tan 45°
1＋tan 60°tan 45°
＝2－3，
∴BC ＝60tan 60°－60tan 15°＝120(3－1)(m)，故选C. 答案 C
6.(2016·新课标全国Ⅱ，15)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 cos A ＝45，cos C ＝5
13
，a ＝1，则b ＝________.
6.解析 在△ABC 中由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝12
13，sin B ＝sin(A ＋C)
＝sin Acos C ＋cos Asin C ＝6365，由正弦定理得b ＝asin B sin A ＝21
13.
答案
21
13
7.(2016·北京，13)在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则b
c ＝________.
7.解析 由a sin A ＝c sin C 得sin C ＝c sin A a ＝13×32＝1
2，
又0＜C ＜π3，所以C ＝π6，B ＝π－(A ＋C )＝π
6.
所以b c ＝sin B
sin C ＝sin π
6sin π
6＝1.
答案 1
8.(2015·北京，11)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝2π
3，则∠B ＝________.
8.解析 由正弦定理得sin ∠B ＝b sin ∠A
a ＝
6sin
2π33＝22，因为∠A 为钝角，所以∠B ＝π4
. 答案 π4
9.(2015·重庆，13)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－1
4，
3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.
9.解析 由3sin A ＝2sin B ，得3a ＝2b ，∴b ＝32a ＝3
2
×2＝3，
在△ABC 中，由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos C ＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭
⎫－14＝16， 解得c ＝4. 答案 4
10.(2015·安徽，12)在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________. 10..解析 已知∠C ＝60°，由正弦定理得AC sin ∠B ＝AB
sin ∠C
，
∴AC ＝6sin 45°
sin 60°
＝
6×22
32＝2.
答案 2
11.(2015·湖北，15)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.
11.解析 依题意，在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝45°， 由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°，得BC ＝3002，
在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝1006(m)． 答案 1006
12.(2014·新课标全国Ⅰ，16)如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°，已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.
12.解析 在三角形ABC 中，AC ＝1002，
在三角形MAC 中，MA sin 60°＝AC
sin 45°，解得MA ＝1003，
在三角形MNA 中，MN 1003＝sin 60°＝3
2，故MN ＝150，
即山高MN 为150 m ． 答案 150
13.(2014·湖北，13)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知A ＝π
6，a ＝1，
b ＝3，则B ＝________.
13.解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin A a ＝3
2，
又B ∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6，所以B ＝π3或2π
3. 答案 π3或2π
3
14(2014·福建，14)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________．
14.解析 在△ABC 中，根据正弦定理，得AC sin B ＝BC
sin A
，
所以2sin B ＝3sin 60°，解得sin B ＝1，
因为B ∈(0，π)，所以B ＝π
2，所以AB ＝22－（3）2＝1.
答案 1
15(2014·北京，12)在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝1
4，则c ＝________；sin A ＝________.
15.解析 根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝12＋22－2×1×2×1
4＝4，故c ＝2，
因为cos C ＝1
4
，于是sin C ＝
1－⎝⎛⎭⎫142
＝154
， 于是，由正弦定理，sin A ＝a sin C c ＝1×
15
42＝15
8
(或：由a ＝1，b ＝2，c ＝2，得cos A ＝22＋22－122×2×2＝7
8
，于是，sin A ＝
1－⎝⎛⎭⎫782
＝15
8
).
答案 2 158
16.【2017山东，文17】（本小题满分12分）在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,
6AB AC ⋅=-,S △ABC =3,求A 和a .
16解析
试题分析：先由数量积公式及三角形面积公式得,3cos 6
13sin 32
c A c A =-⎧⎪
⎨⨯=⎪⎩,由此求A ,再利用余弦定
理求a .
试题解析：因为6AB AC ⋅=-， 所以cos 6bc A =-， 又3ABC S ∆=， 所以sin 6bc A =，
因此tan 1A =-，又0A π<<， 所以34
A π
=
， 又3b =
，所以c =
由余弦定理222
2cos a b c bc A =+-，
得29823(292
a =+-⋅⋅-=，
所以a =
答案3
=π,4A a
17.【2017天津，文15】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知
s i n 4s i n a A b B =
，222)ac a b c --.
（I ）求cos A 的值； （II ）求sin(2)B A -的值.
17答案 (Ⅰ
)5-
；(Ⅱ
)5
- .
解析 （Ⅰ）解：由sin 4sin a A b B =，及
sin sin a b
A B
=，得2a b =.
由222)ac a b c =--
，及余弦定理，得222
5cos 2b c a
A bc
ac +-=
=
=.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），
可得sin A =
代入sin 4sin a A b B =，
得s i n s i n 4a A B b ==由（Ⅰ）知，A 为钝角，
所以cos B ==
.于是4sin 22sin cos 5B B B ==，
23
cos 212sin 5
B B =-=
，故
43sin(2)sin 2cos cos 2sin (55B A B A B A -=-=⨯-=18.【2017江苏，18】如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高
均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为
容器Ⅱ的两底面对角线EG ,11E G 的长分别为14cm 和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l ,其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（1）将l 放在容器Ⅰ中,l 的一端置于点A 处,另一端置于侧棱1CC 上,求l 没入水中部分的
长度；
（2）将l 放在容器Ⅱ中,l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部
分的长度.
18答案 （1）16（2）20
解析 (1)由正棱柱的定义,CC 1
⊥平面ABCD ,所以平面A 1ACC 1⊥平面ABCD ,CC 1
⊥A C.
记玻璃棒的另一端落在CC 1上点M 处.
所以MC =
=30,从而sin ∠MAC =
.
记AM 与水面的焦点为1P ,过1P 作P 1Q 1⊥AC , Q 1为垂足， 则 P 1Q 1⊥平面 ABCD ，故P 1Q 1=12， 从而 AP 1=
11
16sin P MAC
Q =∠.
答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm.
( 如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为24cm)
（1） （2）
（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心.
由正棱台的定义,OO 1⊥平面EFGH ,所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ,O 1O ⊥E G.
同理,平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1,O 1O ⊥E 1G 1. 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处. 过G 作GK ⊥E 1G 1,K 为垂足, 则GK =OO 1=32.
因为EG =14,E 1G 1=62, 所以KG 1=
=24,从而GG 1==40.
设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25
KGG KGG απ=+==
∠∠. 因为2απ<<π，所以3cos 5
α=-. 在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7
sin 25
β=. 因为02βπ<<，所以24cos 25
β=
. 于
是
42473
sin sin()sin()sin co 3s cos sin ()5252555
NEG αβαβαβαβ=π--=+=+=⨯+-⨯=
∠
记EN 与水面的交点为P 2，过 P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则 P 2Q 2⊥平面 EFGH ，故P 2Q 2=12，从而 EP 2=
22
20sin P NEG
Q =∠.
答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm.
(如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为20cm)
19.(2016·浙江，16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B. (1)证明：A ＝2B ；
(2)若cos B ＝2
3
，求cos C 的值.
19.(1)证明 由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ， 故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B ) ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， 于是sin B ＝sin(A －B ).
又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π， 所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ， 所以A ＝2B .
(2)解 由cos B ＝23得sin B ＝53，cos 2B ＝2cos 2B －1＝－1
9，
故cos A ＝－19，sin A ＝45
9
，
cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝22
27
.
20.(2016·四川，18)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin C
c .
(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝6
5bc ，求tan B.
20.(1)证明 根据正弦定理，可设
a sin A ＝
b sin B ＝
c sin C
＝k (k >0). 则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C .
代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C
， 变形可得：sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B ).
在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，
所以sin A sin B ＝sin C .
(2)解 由已知，b 2＋c 2－a 2＝65
bc ， 根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35
. 所以sin A ＝1－cos 2A ＝45
. 由(1)知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，
所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，故tan B ＝sin B cos B
＝4.
21.(2015·江苏，15)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°.
(1)求BC 的长；
(2)求sin 2C 的值．
21.解 (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12
＝7， 所以BC ＝7.
(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BC sin A
， 所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217. 因为AB ＜BC ，所以C 为锐角， 则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277
. 所以sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×
217×277＝437.
22.(2015·新课标全国Ⅱ，17)在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC .
(1)求sin ∠B sin ∠C
； (2)若∠BAC ＝60°，求∠B .
22.解 (1)由正弦定理得AD sin ∠B ＝BD sin ∠BAD ，AD sin ∠C ＝DC sin ∠CAD
. 因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ，所以sin ∠B sin ∠C ＝DC BD ＝12
. (2)因为∠C ＝180°－(∠BAC ＋∠B )，∠BAC ＝60°，
所以sin ∠C ＝sin(∠BAC ＋∠B )＝
32cos ∠B ＋12
sin ∠B . 由(1)知2sin ∠B ＝sin ∠C ，
所以tan ∠B ＝33，即∠B ＝30°. 23.(2015·天津，16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14
. (1)求a 和sin C 的值；
(2)求cos ⎝
⎛⎭⎫2A ＋π6的值． 23.解 (1)在△ABC 中，由cos A ＝－14，可得sin A ＝154
. 由S △ABC ＝12
bcsin A ＝315，得bc ＝24， 又由b －c ＝2，解得b ＝6，c ＝4.
由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a ＝8.
由a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝158
. (2)cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝cos 2A ·cos π6－sin 2A ·sin π6
＝32(2cos 2A －1)－12
×2sin A ·cos A ＝15－7316
. 24.(2015·山东，17)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos B ＝33， sin (A ＋B )＝69，ac ＝23， 求sin A 和c 的值． 24.解 在△ABC 中，由cos B ＝33，得sin B ＝63
. 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝69
. 因为sin C ＜sin B ，所以C ＜B ，可知C 为锐角，
所以cos C ＝539
. 所以sin A ＝sin(B ＋C )
＝sin B cos C ＋cos B sin C
＝63×539＋33×69
＝223
.
由a sin A ＝c sin C ，可得a ＝c sin A sin C ＝223c 6
9＝23c ， 又ac ＝23，所以c ＝1.
25.(2015·湖南，17)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A .
(1)证明：sin B ＝cos A ；
(2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C . 25.解 (1)由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝c sin C
＝2R ， ∴a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，
代入a ＝b tan A ，得sin A ＝sin B ·sin A cos A
， 又∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，
∴1＝sin B cos A
，即sin B ＝cos A . (2)由sin C －sin A cos B ＝43知，sin(A ＋B )－sin A cos B ＝43
， ∴cos A sin B ＝34
. 由(1)知sin B ＝cos A ，∴cos 2A ＝34
， 由于B 是钝角，故A ∈⎝⎛⎭
⎫0，π2， ∴cos A ＝32，A ＝π6，sin B ＝32，B ＝2π3
， ∴C ＝π－(A ＋B )＝π6
.
26.(2015·浙江，16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝2.
(1)求sin 2A sin 2A ＋cos 2 A 的值； (2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积． 26.解 (1)由tan ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝2，得tan A ＝13
， 所以sin 2A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25
. (2)因为tan A ＝13
，A ∈0，π)，
所以sin A ＝1010，cos A ＝31010
. 又由a ＝3，B ＝π4及正弦定理a sin A ＝b sin B
得b ＝3 5. 由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4得sin C ＝255
， 设△ABC 的面积为S ，则S ＝12
ab sin C ＝9.
27.(2015·新课标全国Ⅰ,17)已知a ,b ,c 分别为△ABC 内角A ,B ,C 的对边,sin 2B ＝2sin A sin C .
(1)若a ＝b ,求cos B ；
(2)设B ＝90°,且a ＝2,求△ABC 的面积．
27.解 (1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac .
又a ＝b 22.解 (1)由tan ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝2，得tan A ＝13
， 所以sin 2A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25
. (2)因为tan A ＝13
，A ∈0，π)， 所以sin A ＝1010，cos A ＝31010
. 又由a ＝3，B ＝π4及正弦定理a sin A ＝b sin B
得b ＝3 5. 由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4得sin C ＝255
， 设△ABC 的面积为S ，则S ＝12
ab sin C ＝9. ，可得b ＝2c ，a ＝2c .
由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14
. (2)由(1)知b 2＝2ac .
因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2.
故a 2＋c 2＝2ac ，得c ＝a ＝ 2.
所以△ABC 的面积为1.
28.(2014·重庆，18)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.
(1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值； (2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A 2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值． 28.解 (1)由题意可知：c ＝8－(a ＋b )＝72
.
由余弦定理得：cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab ＝22＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫7222×2×52
＝－15. (2)由sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A 2＝2sin C 可得：sin A ·1＋cos B 2＋sin B ·1＋cos A 2
＝2sin C ， 化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C .
因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，
所以sin A ＋sin B ＝3sin C .
由正弦定理可知：a ＋b ＝3c .
又因a ＋b ＋c ＝8，故a ＋b ＝6.
由于S ＝12ab sin C ＝92
sin C ，所以ab ＝9， 从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，b ＝3.
29.(2014·山东，17)△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2
. (1)求b 的值；
(2)求△ABC 的面积．
29.解 (1)在△ABC 中，由题意知sin A ＝1－cos 2 A ＝33
， 又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cos A ＝63
. 由正弦定理可得b ＝a sin B sin A ＝3×633
3
＝3 2. (2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33
. 由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )．
所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )]
＝sin(A ＋B )
＝sin A cos B ＋cos A sin B
＝33×⎝⎛⎭⎫－33＋63×63
＝13
. 因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322
.。