课时作业21：§1.6 微积分基本定理

§1.6 微积分基本定理
基础过关
1.函数y ＝⎠⎛0
x cos x d x 的导数是( ) A.cos x
B.－sin x
C.cos x －1
D.sin x
解析 (sin x )′＝cos x ，⎠⎛0
x cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪x 0＝sin x ，故选A. 答案 A
2.若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( )
A.F (x )＝13x 3
B.F (x )＝x 3
C.F (x )＝13x 3＋1
D.F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)
解析 若F (x )＝x 3，则F ′(x )＝3x 2，这与F ′(x )＝x 2不一致，故选B. 答案 B
3.⎠⎛－4
0|x ＋2|d x 等于( ) A.⎠⎛－4
0(x ＋2)d x B.⎠⎛－4
0(－x －2)d x C.⎠⎛－4
－2(x ＋2)d x ＋⎠⎛－20(－x －2)d x D.⎠⎛－4
－2(－x －2)d x ＋⎠⎛－20(x ＋2)d x 解析 ∵|x ＋2|＝⎩⎨⎧x ＋2，－2≤x ≤0，－x －2，－4≤x <－2，
∴⎠⎛－40|x ＋2|d x ＝⎠⎛－4
－2(－x －2)d x ＋⎠⎛－20(x ＋2)d x . 故选D.
答案 D
4.⎠⎛－1
1(1－x 2＋x )d x ＝________. 解析 ⎠⎛－11 (1－x 2＋x )d x ＝⎠⎛－111－x 2 d x ＋⎠⎛－1
1x x d x ，根据定积分的几何意义可知⎠⎛－111－x 2d x 等于半径为1的半圆的面积，即⎠⎛－1
11－x 2d x ＝π2， 又⎠⎛－1
1x d x ＝12x 2|1－1＝0， ∴⎠⎛－11(1－x 2
＋x )d x ＝π2. 答案 π2
5.若⎠⎛0
T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________. 解析 ⎠⎛0
T x 2d x ＝ ⎪⎪⎪13x 3T 0＝13T 3＝9，即T 3＝27，解得T ＝3. 答案 3
6.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －2π，0≤x ≤π2，
cos x ，π2
<x ≤π，计算⎠⎛0πf (x )d x . 解 ⎠⎛0πf (x )d x ＝∫ π
20
f (x )d x ＋∫ππ2f (x )d x ＝∫
π20
(4x －2π)d x ＋∫ππ2cos x d x ＝(2x 2－2πx )⎪⎪⎪⎪π
20)＋
sin x ⎪⎪⎪⎪ππ2＝－12π2－1)，
即⎠⎛0
πf (x )d x ＝－12π2－1. 7.已知⎠⎛0
1[(3ax ＋1)(x ＋b )]d x ＝0，a ，b ∈R ，试求ab 的取值范围. 解 ⎠⎛0
1[(3ax ＋1)(x ＋b )]d x ＝⎠⎛0
1[3ax 2＋(3ab ＋1)x ＋b ]d x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax 3＋12（3ab ＋1）x 2＋bx ⎪⎪⎪10
＝a ＋12(3ab ＋1)＋b ＝0，
即3ab ＋2(a ＋b )＋1＝0.
由于(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≥4ab ，
所以⎝
⎛⎭⎪⎫－3ab ＋122≥4ab ，即9(ab )2－10ab ＋1≥0， 得(ab －1)(9ab －1)≥0，解得ab ≤19或ab ≥1.
所以ab 的取值范围是⎝ ⎛⎦
⎥⎤－∞，19∪[1，＋∞). 能力提升
8. ∫
π20sin 2x 2d x 等于( )
A.π4
B.π2－1
C.2
D.π－24
解析 ∫ π20sin 2x 2d x ＝∫ π201－cos x 2d x ＝
12（x －sin x ）⎪⎪⎪⎪π20＝π－24，故选D. 答案 D
9.若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛1
2e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A.S 1＜S 2＜S 3 B.S 2＜S 1＜S 3
C.S 2＜S 3＜S 1
D. S 3＜S 2＜S 1
解析 S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪21＝73，)S 2＝
⎪⎪⎪⎠⎛121x d x ＝ln x 21＝ln 2＜1，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e ＝e(e －1)＞73，所以S 2＜S 1＜S 3，选B.
答案 B
10.已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，函数f (x )＝⎠⎛1
x 1t d t .若f (x )<a 3，则x 的取值范围为________.
解析 由a 3＝S 3－S 2＝()2×32＋3－(2×22＋2)＝11，
f (x )＝⎠⎛1x 1t d t ＝ln t ⎪⎪⎪x
1＝ln x ， ∴ln x <11，即0<x <e 11.
答案 (0，e 11)
11.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，
x ＋⎠⎛0
a 3t 2d t ，x ≤0.若f [f (1)]＝1，则a ＝________. 解析 因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg 1＝0.又x ≤0时，f (x )＝x ＋⎠⎛0
a 3t 2d t ＝x ＋t 3⎪⎪⎪a
0＝x ＋a 3，
所以f (0)＝a 3.因为f [f (1)]＝1，所以a 3＝1，解得a ＝1. 答案 1
12.已知f (x )＝⎠⎛－a
x (12t ＋4a )d t ，F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ，求函数F (a )的最小值. 解 因为f (x )＝⎠⎛－a
x (12t ＋4a )d t ＝(6t 2＋4at )⎪⎪⎪x －a ＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4ax －2a 2，
F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ＝⎠⎛0
1(6x 2＋4ax ＋a 2)d x ＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )⎪⎪⎪10
＝2＋2a ＋a 2 ＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1≥1.
所以当a ＝－1时，F (a )的最小值为1.
创新突破
13.求定积分⎠⎛－4
3|x ＋a |d x . 解 (1)当－a ≤－4，即a ≥4时，
原式＝⎠⎛－43(x ＋a )d x ＝
⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋ax 3－4＝7a －72. (2)当－4＜－a ＜3，即－3＜a ＜4时， 原式＝⎠⎛－4
－a [－(x ＋a )]d x ＋⎠⎛－a 3(x ＋a )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22－ax ⎪⎪⎪－a －4＋ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋ax 3－a ) ＝a 22－4a ＋8＋⎝
⎛⎭⎪⎫a 22＋3a ＋92＝a 2－a ＋252. (3)当－a ≥3即，a ≤－3时，
原式＝⎠⎛－43[－(x ＋a )]d x ＝
⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22－ax 3－4＝－7a ＋72. 综上，⎠⎛－43
|x ＋a |d x ＝⎩⎪⎨⎪⎧7a －72（a ≥4），a 2－a ＋252（－3＜a ＜4），－7a ＋72（a ≤－3）.。