北师大版数学高二-练习高中数学选修4-5 综合质量评估

综合质量评估
第一至第四讲
（120分钟 150分）
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若n>0,则n+的最小值为( )
A.2
B.4
C.6
D.8
2.可以表示二维形式的柯西不等式的是( )
A.a2+b2≥2ab(a,b∈R)
B.(a2+b2)(c2+d2)≥(ab+cd)2(a,b,c,d∈R)
C.(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(a,b,c,d∈R)
D.(a2+b2)(c2+d2)≤(ac+bd)2(a,b,c,d∈R)
3.(2013·成都高二检测)设x>0,y>0,A=,
B=+,则A,B的大小关系是( )
A.A=B
B.A<B
C. A≤B
D.A>B
4.已知x+2y=1,则2x+4y的最小值为( )
A.8
B.6
C.2
D.3
5.已知a,b∈R,且ab<0,则( )
A.|a+b|>|a-b|
B.|a+b|<|a-b|
C.|a-b|<|a|-|b|
D.|a-b|<|a|+|b|
6.(2013·青岛高二检测)已知|2x-3|≤2的解集与{x|x2+ax+b≤0}的解集相同,则( )
A.a=3,b=-
B.a=-3,b=
C.a=3,b=
D.a+b=
7.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a 的最小值为
( )
A.2
B.4
C.6
D.8
8.(2013·烟台高二检测)不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是( )
A.[-5,7]
B.[4,6]
C.(-∞,-5]∪[7,+∞)
D.(-∞,-4]∪[6,+∞)
9.已知x为实数,且x>-1,x≠0时,则+与1的大小关系为( )
A.+>1
B.+=1
C.+<1
D.+≤1
10.(2013·龙岩高二检测)已知a,b,c为非零实数,则(a2+b2+c2)的最小值为( )
A.7
B.9
C.12
D.18
11.设a,b,c≥0,a2+b2+c2=3,则ab+bc+ca的最大值为( )
A.0
B.1
C.3
D.
12.(2013·天津高二检测)用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)·…·(n+n)
=2n·1·3·…·(2n-1)(n∈N+)”时,从n=k到n=k+1时应增添的式子是( )
A.2k+1
B.2(2k+1)
C. D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)
13.不等式<1的解集为.
14.(2013·合肥高二检测)若x,y,z是正数,且满足xyz(x+y+z)=1,则(x+y)(y+z)的最小值为.
15.设a,b,c都是正数,a+b+c+d=1,则+的最小值是.
16.请补全用分析法证明不等式“ac+bd≤”时的推论过程:要证明ac+bd≤①,
只要证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),
即要证:a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2,
即要证a2d2+b2c2≥2abcd, ②.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)若a>2,b>3,求a+b+的最小值.
18.(12分)若a1≤a2≤…≤a n,b1≤b2≤…≤b n,
求证:
≥·.
19.(12分)(2013·徐州模拟)已知实数x,y,z满足x+y+z=2,求2x2+3y2+z2的最小值.
20.(12分)(2013·滨州高二检测)设函数f(x)=|2x-4|+1.
(1)画出函数y=f(x)的图象.
(2)若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围.
21.(12分)(能力挑战题)把一条长是m的绳子截成三段,各围成一个正方形.怎样截能使得这三个正方形的面积的和最小?
22.(12分)(能力挑战题)已知数列{x n}满足x1=,x n+1=,n∈N+.
(1)猜想数列{x2n}的单调性,并证明你的结论.
(2)证明:|x n+1-x n|≤.
答案解析
1.【解析】选C.根据算术-几何平均不等式可得:
n+=++≥3×=6,故选C.
2.【解析】选C.二维形式的柯西不等式的右端应为ac,bd,所以选C.
3.【解题指南】分析式子结构,通过对式子B的分母进行放大使得与式子A分母一样,然后进行比较大小.
【解析】选 B.通过对式子B进行放缩可得B=+>+==A,
即A<B.故选B.
4.【解析】选C.根据基本不等式可得:
2x+4y=2x+22y≥2=2,故选C.
5.【解析】选B.因为ab<0,特殊值验证可得|a-b|=|a|+|b|,|a+b|<|a-b|.故选B.
6.【解析】选B.由|2x-3|≤2解得≤x≤,因为|2x-3|≤2的解集与{x|x2+ax+b≤0}的解集相同,所以x=或x=为方程x2+ax+b=0的解,
则分别代入该方程,得⇒
7.【解析】选B.把已知不等式展开结合基本不等式可知:
(x+y)=1+a++≥(+1)2,所以(+1)2≥9,所以a≥4.故选B.
8.【解析】选D.当x>5时,原不等式可化为2x-2≥10,解得x≥6;当-3
≤x≤5时,原不等式可化为8≥10,不成立;当x<-3时,原不等式可化为-2x+2≥10,解得x≤-4.综上可知x≥6或x≤-4,故选D.
9.【解析】选 A.由贝努利不等式可知>1-,所以
+>1,故选A.
10.【解析】选B.由三维柯西不等式可得:
(a2+b2+c2)
≥=(1+1+1)2=9,所求最小值为9.故选B.
11.【解析】选 C.由排序不等式a2+b2+c2≥ab+bc+ac,所以ab+bc+ca≤3.
【变式备选】已知a,b,c为正实数,S1=a3+b3+c3,S2=a2b+b2c+c2a,则S1与S2的大小关系为( )
A.S1≥S2
B.S1≤S2
C.S1=S2
D.不能确定
【解析】选A.取两组数:a,b,c与a2,b2,c2,显然a3+b3+c3是同序和,a2b+b2c+c2a是乱序和,所以a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a.
12.【解析】选B.n=k时,有f(k)=(k+1)·(k+2)·…·(k+k),
n=k+1时,有f(k+1)=(k+2)(k+3)·…·(k+k)·(k+k+1)(k+k+2),
所以f(k+1)=f(k)·=f(k)·2(2k+1).
13.【解析】因为x≠0,所以|x+2|<|x|,即(x+2)2<x2,所以x+1<0,x<-1, 所以原不等式的解集为{x|x<-1}.
答案:{x|x<-1}
14.【解析】(x+y)(y+z)=xy+y2+yz+zx
=y(x+y+z)+zx≥2=2.
答案:2
15.【解析】利用柯西不等式得(a+b+c+d)(+)
=+≥
=(1+1)2=4.
答案:4
16.【解析】根据分析法的原理,及后续证明提示,可知在①处需要对ac+bd的正负讨论;对于②处需要考虑前面证明步骤成立的条件,及结论的写法.
答案:①当ac+bd≤0时,命题成立.当ac+bd>0时
②因为(ad-bc)2≥0,所以a2d2+b2c2≥2abcd,所以命题成立.
17.【解析】因为a>2,b>3,所以a-2>0,b-3>0,
所以a+b+
=(a-2)+(b-3)++5
≥3+5=3+5=8
(当且仅当a=3,b=4时,等号成立).
所以所求最小值为8.
18.【证明】由题设和排序不等式,可知有以下n组式子成立:
a1b1+a2b2+…+a n b n=a1b1+a2b2+…+a n b n,
a1b1+a2b2+…+a n b n≥a1b2+a2b3+…+a n b1,
……
a1b1+a2b2+…+a n b n≥a1b n+a2b1+…+a n b n-1.
将上述n个不等式叠加后,两边同除以n2,即得欲证的不等式.
19.【解析】由柯西不等式,(x+y+z)2≤[(x)2++z2]·,
因为x+y+z=2,所以2x2+3y2+z2≥,
当且仅当==,即x=,y=,z=时,等号成立,所以2x2+3y2+z2的最小值为.
20.【解析】(1)由于f(x)=则函数y=f(x)的图象如图所示.
(2)由函数y=f(x)与函数y=ax的图象可知,当且仅当a≥或a<-2时,函数y=f(x)与函数y=ax的图象有交点.故不等式f(x)≤ax的解集非空时,a的取值范围为
(-∞,-2)∪.
21.【解析】设三段的长度为x,y,z.那么,x+y+z=m是一个定值.三个正方形的面积的和为S=++=(x2+y2+z2)
而S和16S=x2+y2+z2同时有最小值.由柯西不等式
(xa+yb+zc)2≤(x2+y2+z2)(a2+b2+c2)
使a=b=c=1,可得
(x+y+z)2≤3(x2+y2+z2),
因为左边(x+y+z)2=m2,是一个定值,所以,在x=y=z时,3(x2+y2+z2)有最小值.
这就是说,把绳子三等分后,这三段所围成的三个正方形的面积的和最小.
22.【解析】(1)x1=,x2==,x3==,
x4==,x5==,x6==,….可知x2>x4>x6>…
可推测{x2n}为递减数列,下面用数学归纳法证明:
①当n=1时,x2>x4猜想成立;
②假设n=k时命题成立,即x2k>x2k+2,可知x k>0,
x2k+2-x2k+4=-
=
=>0,
即x2(k+1)>x2(k+2),
也就是说当n=k+1时猜想成立,综合①和②知x2n>x2n+2(n∈N+).
(2)当n=1时,|x n+1-x n|=x2-x1=,结论成立.
当n≥2时易知0<x n-1<1,
则
1+x n-1<2,x n=>,(1+x n)(1+x n-1)=(1+x n-1)=2+x n-1≥,
|x n+1-x n|=
=≤|x n-x n-1|
≤|x n-1-x n-2|≤…≤|x2-x1|
=.
综上可知,原不等式成立.
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