双曲线的画法和性质

第十章 双曲线的画法和性质
一．双曲线的定义：
1．在平面内，到两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

2．双曲线的标准方程：
设M (x , y )是双曲线是上任意一点，双曲线的焦距为2c (c >0)，则如图建立直角坐标系，又F 1、F 2的坐标分别是F 1(－c , 0), F 2(c , 0)，若M 点与F 1、F 2两点的距离的差的绝对值等于2a (c >a >0)，则 ||MF 1|－|MF 2||＝2a ,
∴
a y c x y c x 2)()(2222=+--++, 图10－1
整理化简，并且设b 2＝c 2－a 2得双曲线的标准方程
122
22
=-b
y a x . 3．双曲线的第二定义：
设动点M (x , y )与定点F (c , 0)的距离和它到
定直线l : x ＝c
a 2
的距离的比是常数
a
c
(c >a >0)，则点M 的轨迹是双曲线。

点F 是双曲线的一个焦点，直线l 是双曲线中对应于
焦点F 的准线。

常数e ＝a
c
(e >1)是双曲线的离
心率。

图10－2
4．双曲线的参数方程：
以原点为圆心，分别以a 、b (a , b >0)为半径作两个圆，|OA |＝a , |OB |＝b , 点P 是以a 为半径的圆上的一个点，点C 是OA 与半径为bd 圆的交点，过点C 作CN ⊥Ox ，交直线OP 于N ，过点N 作OX 轴的平行线，
过点P 作PR ⊥OP ，交Ox 轴于R ，过点R
作直线RM 交过点N 的x 轴的平行线于点
M ，当点P 在圆上运动时，M 点的轨迹是双
曲线。

设点M 的坐标是(x , y )，φ是以Ox 为始边，OP 为终边的正角，取φ为参数，那么
x ＝|OR |＝|OP |se c φ＝a se c φ, y ＝|RM |＝|CN |＝|OC |t g φ＝bt g φ,
∴ 双曲线的参数方程是⎩
⎨⎧φ=φ
=btg y a x sec (φ是参数).
二．双曲线的画法： 画法1：
图10－4
1．在x 轴上取两点F 1、F 2，使|OF 1|＝|OF 2|，用它们作为两个焦点； 2．在图形外作一条线段AB ，使|AB |＝2a ，(|AB |<|F 1F 2|)； 3．以O 为中心，在x 轴上取两点A 1、A 2，使|A 1A 2|＝|AB |；
4．在AB 延长线上分别取C '，使|BC '|＝|A 1F 1|；在ABC '的延长线方向上作射线C 'C ，并用“作图”菜单中的“对象上的点”功能在C 'C 上作点C ；
5．分别以F 1、F 2为圆心，用|BC |、|AC |为半径作圆，两圆相交于P 1、P 2两点；同样方法分别以F 1、F 2为圆心，用|AC |、|BC |为半径作圆，两圆相交于P 3、P 4两点；并将这四个点定义为“追踪点”；
6．依次选中点C 、点P 1 (或点C 、点P 2 , 或点C 、点P 3, 或点C 、点P 3)，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，作出双曲线。

理论根据：点P 1是两圆的交点，∴ 点P 1到F 1与F 2的距离的差等于两圆的半径的差, 即 ||PF 1|－|PF 2||＝|AC |－|BC |＝|AB |＝2a .
说明：点C 不要直接在BC 上取，那样画出来的双曲线将在x 轴附近断开一段，因为计算机画的曲线实际上是由若干条小线段形成的，这些线段的端点是由符合条件的若干个点中随机选取的，当我们使点C 在BC 上运动时，当点C 非常接近点B 时，两圆没有交点，于是画出来的图形就不好看了。

画法2：
1．在x 轴上取两点F 1、F 2，使|OF 1|＝|OF 2|，用它们作为两个焦点； 2．在图形外作一条线段，使它的长度为2a ，(2a <|F 1F 2|)；
2a B C
图10－5
3．以F 1为圆心，2a 为半径作圆，在圆上任取一点P ；
4．连接PF 1、PF 2，作PF 2的中垂线与直线PF 1交于点M ，连接MF 2；
5．将点M 定义为“追踪点”，分别选中点M 、点P ，用“作图”菜单中的“轨迹”功能画出双曲线。

理论根据：
点M 在PF 2的中垂线上，∴ |MP |＝|MF 2|, ∴ |MF 1|－|MF 2|＝|MF 1|－|MP |＝|F 1P |＝2a . 即点M 到两个定点F 1和F 2的距离的差等于定长2a 。

点M 的轨迹是一个双曲线。

画法3：1．在平面直角坐标系中取点F 1、F 2，使|OF 1|＝|OF 2|，把它们作为焦点，在OF 1
上取一点A 1，使它作为双曲线的顶点；
2．度量OF 1、OA 1，把它们的长分别作为c 和a ，使a <c ；
3．计算c c a -2，在Ox 轴上取一点N ，使|ON |＝c c
a -2
,过点N 作Ox 轴的垂线作为双曲
线的准线；
4．选中Ox 轴，用“作图”菜单中的“对象上的点”功能，取动点P ；
5．计算e ＝a c ，并度量|NP |的长，计算|NP |×a
c
；
6．以点F 2为圆心，|NP |×a
c
为半径作圆，此圆与过点P 且垂直于Ox 轴的直线相交于M 1，
M 2两点；
7．分别选中点M 1和点P (或点M 2和点)，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出双曲线。

e=a 2c
图10－6
理论根据：
点M 1到点F 2的距离是|NP |×a
c ，点M 1到准线l 的距离|M 1D |＝|NP |,
∴ 的距离到直线点的距离到点l M F M 121＝a
c ＝e . ∴ 点M 1在双曲线上。

画法4：
1．以坐标原点O 为圆心，分别以a 、b (a , b >0)为半径画两个圆; 2．圆OA 与x 轴的正方向交于点C ，过C 作x 轴的垂线，
3．在圆OA 上取一点P ，连接OP ，直线OP 与过点C 且和x 轴垂直的直线交于点N ，过点N 作x 轴的平行线NM ；
4．过点P 作PR 垂直于OP ，交x 轴于点R ； 5．过点R 在x 轴的垂线交直线NM 于点M ；
6．分别选中点M 和点P ，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出双曲线。

理论根据： 设∠xOP ＝φ，
则|OR |＝|OP |se c φ＝a se c φ, |RM |＝|NC |＝
|OC |t g φ＝bt g φ, 根据双曲线的参数方程知，点M 的轨迹是一个双曲线。

图10－7
三．双曲线中动弦的画法
(一)．双曲线焦点弦的画法：
图10－8
1．在坐标系中作出两个焦点F1、F2，在图形外作一条线段，使它的长等于2a(2a<|F1F2|)；
2．以F1为圆心，2a为半径作圆，在圆上任取一点P，连接PF2，作PF2的中垂线交直线PF1于点M；选中点M和点P，用“轨迹”功能作出双曲线；
3．连接PF1延长与圆交于点Q；
4．同样方法作出点Q在双曲线上的对应点N；
5．连接MN，则线段MN一定过焦点F1，且点M、N都在双曲线上；
6．保留坐标系、双曲线、焦点和焦点弦MN，隐藏其它的内容，这时选中点M，在双曲线上拖动它，则点N相应在双曲线上移动，且MN始终经过点F1.
理论根据：
双曲线上的点M、N是由圆上的点P、Q得到的，线段PQ在大圆上经过定点F1，则相应的线段MN在双曲线上也经过定点F1.
(二) 双曲线中过定点M的弦：
图10－9
1．用参数方程的画法画出一个双曲线，标出定点D；
2．在以a为半径的圆上取一点M，作出它在双曲线上的相应点P；
3．作DE⊥Ox轴，垂足是E，过点E作以a为半径的圆的切线ER、ES，连接RS；
4．过点D 作RS 的垂线，垂足是D '；
5．连接MS '，延长与圆交于N ，作出点N 在双曲线上的对应点Q ； 6．连接PQ ，则PQ 始终经过点D ，且P 、Q 都在双曲线上；
7．保留坐标系、双曲线、定点D 和过定点D 的弦PQ ，隐藏其它的内容，这时选中点P ，在双曲线上拖动它，则点Q 相应在双曲线上移动，且PQ 始终经过点D ；.
理论根据：
双曲线上的点P 、Q 是由大圆上的点M 、N 得到的，线段MN 在大圆上经过定点D '，则相应的线段PQ 在双曲线上也经过定点MD 。

问题的关键是怎样由点D 得到点D '，我们看到，点D 和点D '的纵坐标是一样的，另外在双曲线中过点D 且垂直于x 的弦的两个端点在圆上的对应点恰好是R 、S ，所以点D '.一定在RS 上，这样就得到了点D '.
(三) 双曲线中平行弦的画法：
图10－10
1．用参数方程的画法画出一条双曲线，计算两圆半径的比a , b ，在双曲线上取一点P ； 2．在图形外画一条斜率为k 的线段，过点P 作斜率为k 的线段的平行线；
3．选中a , b , k, 用“计算”算出22
ka
b 的值；
4．过原点O 作斜率为22
ka
b 的直线，与过点P 斜率为k 的直线相交于点M ；
5．以点M 为中心，将点P 旋转180°，得到点Q ，则点Q 在双曲线上； 6．连接PQ ，则PQ 就是斜率为k 的双曲线中的平行弦； 7．保留坐标系、双曲线、斜率k 和PQ ，隐藏其它的内容；选中点P 在双曲线上拖动点P ，则弦PQ 始终与AC 平行，且点P 、Q 在双曲线上；
8．作PQ 的中点，标记为“追踪点”，则点P 运动时，就可以得到中点的轨迹。

理论根据：
设P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2)都在双曲线122
22=-b
y a x 上，且PQ 的斜率为k ，若PQ 的中点为M (x 0,
y 0), 有1221221=-b y a x ，1222222=-b y a x ，两式相减得2
212122121)
)(())((b
y y y y a x x x x -+=-+。

∴00x y ＝222
212
21)()(ka b a y y b x x =--, ∴ 中点M 在过原点且斜率为22
ka
b 的直线上。

四．双曲线切线的画法：
(一) 过双曲线上一个定点P 的切线：
1．在直角坐标系中画一条双曲线，同时标出它的两个焦点F 1、F 2；
2．在双曲线上标出定点P ；
图10－11
3．以F 1为圆心，双曲线的实轴2a 为半径作圆； 4．连接F 1P 交圆于点M ；
5．连接F 2M ，作F 2M 的中垂线，这条中垂线过点P ，并且是双曲线的切线。

理论根据：
∵ 点P 在双曲线上， ∴ ||PF 1|－|PF 2||＝2a ,
又|F 1M |＝2a ，∴ |PF 2|＝|MP |,
点P 在F 2M 的中垂线上，直线MP 经过点M 且与双曲线有且仅有一个交点，所以直线MP 是双曲线过点P 的切线。

(二) 过双曲线外一点作双曲线的切线：
1．在直角坐标系中画一条双曲线，同时标出它的两个焦点F 1、F 2； 2．在双曲线外标出定点T ；
3．以点F 1为圆心，双曲线的实轴2a 为半径作圆； 4．以点T 为圆心，|TF 2|为半径作圆，交圆
F 1于点M 、N ；
5．连接MF 2，作MF 2的中垂线TCP ，同样连接NF 2，作NF 2的中垂线TDQ ； 6．直线TCP 、TDQ 都是过点T 的椭圆的切线。

理论根据：
点M 、N 在以点T 为圆心，|TF 2|为半径作圆上，∴ |TF 2|＝|TM |＝|TN |，MF 2的中垂线一定经过定点T ，且中垂线上一定有一点P ，满足||PF 1|
－|PF 2||＝||PF 1|－|PM ||＝2a, 点P 在双曲线上，∴ PT 是双曲线的切线且PT 经过点T ；同理QT 也是椭圆的切线且QT 经过点T 。

图10－12。