龙泉中学2016届高三周练理科数学试卷(2)

龙泉中学2016届高三周练理科数学试卷（2）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 1．已知()
(){}3,3,,202y M x y N x y ax y a x ⎧
-⎫
===++=⎨⎬-⎩
⎭
且∅=⋂N M ，则a = A ．6-或2- B ．6- C ．2或6- D ．2
2．下列命题中,真命题是
A ．0
0,0x x R e
∃∈≤
B ．2,2x x R x ∀∈>
C ．1,1a b >>是1ab >的充分条件
D ． 0a b +=的充要条件是
1a
b
=- 3．设集合()22
{,|
1}416
x y A x y =+=，{(,)|3}x B x y y ==，则A B ⋂的子集的个数是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 4．()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>在1x =处取最大值，则
A ．(1)f x -一定是奇函数
B ．(1)f x -一定是偶函数
C ．(1)f x +一定是奇函数
D ．(1)f x +一定是偶函数 5．已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且以2为周期,则“()f x 为[0,1]上的增函数”是“()f x 为[3,4]上的减
函数”的
A ．既不充分也不必要条件
B ．充分而不必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．充要条件
6．函数||()x f x x e =⋅的大致图象为
7 ．设n m ,是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，有下列四个命题： ① 若αβαβ⊥⊥⊂m m 则,,；
② 若βαβα//,,//m m 则⊂； ③ 若βαβα⊥⊥⊥⊥m m n n 则,,,； ④ 若//,//,//m m αβαβ则 其中正确命题的序号是 A ．①③ B ． ①②
C ． ③④
D ．②③
8．若函数()=f x 21
2
log ,0,log (),0x x x x >⎧⎪
⎨-<⎪⎩,若()()f a f a >-,则实数a 的取值范围是 A ．（-1，0）∪（0，1） B ．（-∞，-1）∪（1，+∞）
C ．（-1，0）∪（1，+∞）
D ．（-∞，-1）∪（0，1）
9.设m 是一个非负整数，m 的个位数记作()G m ，如(2015)5G =，(16)6G =，(0)0G =，称这样的函数为
尾数函数．给出下列有关尾数函数的结论：
①()()()G a b G a G b -=-； ②,,a b c ∀∈N ，若10a b c -=，都有()()G a G b =； ③()(()()())G a b c G G a G b G c ⋅⋅=⋅⋅； 则正确的结论的个数为 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
10．设A 是自然数集的一个非空子集，对于k A ∈,如果2
k A ∉
A ,那么k 是A 的一个“酷元”，给
定{
}
2
lg(36)S x N y x =∈=-，设集合M 中的元素是由集合S 中的两个元素构成的，且集合M 中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M 有 A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个
11．将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心 率为2e 的双曲线2C ，则 A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e <
D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >
12．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且(1)f x -为偶函数，当[01]x ∈，时,12
()f x x =，若()()g x f x x b =-
-
有三个零点，则实数b 的取值集合是(以下k ∈Z )
A ．11(22)44k k -+，
B ．11
(44)44
k k -+，
C ．15(22)22k k ++，
D ．19(44)22k k ++，
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13
．函数()f x =
的定义域是 ．
14．若关于实数x 的不等式53x x a -++<无解,则实数a 的取值范围是________________．
15．给出下列四个命题：
①若0x >，且1x ≠则1
lg 2lg x x
+
≥； ②设,x y R ∈，命题“若220,0xy x y =+=则”的否命题是真命题；
③若函数()y f x =的图象在点()()1,1M f 处的切线方程是1
22
y x =+，则()()113f f '+=；
④已知抛物线()2
40y px p =>的焦点F 与双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>的一个焦点重合，点A 是
两曲线的交点，AF x ⊥
1.
其中所有真．．．命题．．的序号是________________． 16. 已知平面上的点集A 及点P ，在集合A 内任取一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到集合A 的距 离，记作(,)d P A ．
（Ⅰ）如果集合={(,)|1(01)}A x y x y x +=≤≤，点P 的坐标为(2,0)，那么(,)d P A =_______；
（Ⅱ）如果点集A 所表示的图形是边长为2的正三角形及其内部，那么点集{|0(,)1}D P d P A =<≤所
表示的图形的面积为___________．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ()sin 2x y ααα
⎧=⎨=⎩是参数，以原点O 为极点，x 轴正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为1
sin cos ρθθ
=-．
（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线1C 上的任意一点P 到曲线2C 的最小距离，并求出此时点P 的坐标．
18．（本小题满分12分）
设p ：关于x 的不等式1x a >的解集是{}
0x x <；:q 不等式21x x a +->的解集为R .若p q ∨为真，
p q ∧为假，求a 的取值范围.
19．（本小题满分12分）
某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件．．，需另投入成本为)(x C （万元），当年产量不足80千件时，x x x C 1031)(2
+=
（万元）．当年产量不小于80千件时，14501000051)(-+=x
x x C （万元）．通过市场分析，每件．．商品售价定为500元．
，且该厂生产的商品能全部售完． （Ⅰ）求出年利润)(x L （万元）关于年产量x （千件．．）的函数解析式； （Ⅱ）求年产量为多少千件．．时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．
20．（本小题满分12分）
设()log (1)log (1)(1)a a f x x x x x a =+--> （Ⅰ）判断()f x 的单调性；
（Ⅱ）已知444,0,0,log log m n m n m m n n +=>>+且求的最小值． 21．（本小题满分12分）
已知椭圆Γ：12222=+b
y a x （0>>b a ）的离心率23
=e ，且直线
1=+-b y a x 与两坐标轴围成的三角形的面积为1．
（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；
（Ⅱ）设椭圆Γ的左、右焦点分别为21,F F ，过右焦点2F 的直线l
求△MN F 1的内切圆的面积的最大值以及此时直线l 的方程． 22．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：当1x >时，1
2ln x x x
<-
； （Ⅱ）若不等式(1)ln(1)a t a t
++>对任意的正实数t 恒成立，求正实数a 的取值范围； （Ⅲ）求证：19291()10e
<．
龙泉中学2016届高三周练理科数学试卷（2）参考答案
一、选择题
1-5 ACADD 6-10 ADCBC 11-12 DB 二、填空题
13. (0,)e 14.
(],8-∞ 15. ②③④. 16. 1；6π+
三．解答题 17. 解：（Ⅰ）由题意知，1C 的普通方程为22(1)1x y -+=
2C 的直角坐标方程为1y x =+. ………………………………5分
（Ⅱ）设(1cos 2,sin 2)P αα+，则P 到2C
的距离2)|4
d π
α=
+， 当cos(2)14π
α+=-，即322()4
k k Z π
απ=+∈时，d
1，
此时P
点坐标为(1.
………………………………10分
19. 解：（Ⅰ）因为每件商品售价为0.05万元，则千件商品销售额为0.05×x 1000万元，依题意得： 当
时，
.
当时，
=
.
所以 …….……. 6分
（Ⅱ）当
时，
此时，当
时，
取得最大值
万元. …….……. 8分
当时，
当时，即时取得最大值1000万元. …….…. 11分
所以，当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，
最大利润为1000万元. ……. …… 12分
20 ．解：（1）由()log 01a
x f x x '==-得1
.2
x =1a >∵ ， ∴当102x <<时，01,()01x
f x x '<<<- ∴ ；同理，当112
x <<时，()0.f x '>
()f x ∴在1(0,)2上递减，在1
(,1)2
上递增 ………………………………………………6分
（2）由（1）知，()f x 在12x =处取最小值，min 11
()log .
22a f f ==
令114,4m m n n ==,则111m n +=，故
44log log m m n n +=141144l o g 44l o g 4m m
n n +11411144(l o g l o g )m m m n n n
=+++ 1411
414(1l o g l o g )m m n n =++141141
4(1l o g (1)l o g (1))m m m m =++--
44log log m m n n ∴+的最小值为2．………………………………………………12分
21．解：（Ⅰ）由23==a c e 得：a c 2
3
= 又由直线
1=+-b
y
a x 与两坐标轴围成的三角形的面积为1得：121=ab
将上述条件代入2
2
2
c b a +=，解得：1,42
2==b a 。

故椭圆Γ的方程的方程为
14
22
=+y x。

………………4分 （Ⅱ）设),(),,(2211y x N y x M ，不妨设0,021<>y y 。

设△MN F 1的内切圆的半径为R 。

易知△MN F 1的周长为84=a 。

，则R R N F M F MN S MN F 4|)||||(|2
1
111=∙++=
∆。

………………………6分 因此，若MN F S 1∆最大，则R 最大，△MN F 1的内切圆的面积也最大。

又)(3||||2
1
2121211y y y y F F S MN F -=-=
∆ …………………………8分 由题设知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为
x 代入1422
=+y x ，消去x 得：32)4(22-++my y m 则4
32221+-=+m m
y y ，41221+-=m y y 。

∴4
1
44)(2
2212
2121++=-+=-m m y y y y y y 。

∴4
1
342
21++=∆m m S MN
F ，令12+=m t ，则1≥t 。

2323
43343
3421=≤+=+=
∆t
t t t S MN F ，当且仅当3=t ，即2±=m 时取等号。

∴2
1
,24≤
≤R R ，所求内切圆的面积的最大值为4π。

此时直线l 的方程为032=--y x 或032=-+y x ……………………12分 22.解：（Ⅰ）令函数1
()2ln f x x x x
=-+
，定义域是{|1}x R x ∈> 由2
22
21(1)()10x f x x x x
--'=--=≤，可知函数()f x 在(1,)+∞上单调递减 故当1x >时，1()2ln (1)0f x x x f x =-+
<=，即1
2ln x x x <-．……………3分 （Ⅱ）因为0,0t a >>，故不等式(1)ln(1)a t a t ++>可化为ln(1)at
t t a
+>+……()*
问题转化为()*式对任意的正实数t 恒成立,构造函数()ln(1)(0)at
g t t t t a
=+->+， 则222
1[(2)]
()1()(1)()
a t t a a g t t t a t t a --'=-=++++， …………………5分 （1）当02a <≤时，0,(2)0t a a >-≤，()0g t '∴≥即()g t 在(0,)+∞上单调递增，
所以()(0)0g t g >=，即不等式ln(1)at
t t a
+>+对任意的正实数t 恒成立．
（2）当2a >时，(2)0a a -> 因此(0,(2))()0t a a g t '∈-<，，函数()g t 单调递减； ((2),+)()0t a a g t '∈-∞>，，函数()g t 单调递增，
min (2)
()((2))2ln(1)1a a g t g a a a a -=-=--
-2,11a a >∴->，令11x a =->， 由(Ⅰ)可知2min (2)11
()2ln(1)2ln 2ln ()01a a x g t a x x x a x x
--=--
=-=--<-， 不合题意．
综上可得，正实数a 的取值范围是(0,2]． ……………………8分
（Ⅲ）要证19291(
)10e <，即证9101
19ln 2ln 19ln 219ln(1)21099
e <-⇔>⇔+>， 由（Ⅱ）的结论令2a =，有2
(1)ln(1)2t t
++>对0t >恒成立，
取19t =可得不等式1
19ln(1)29
+>成立，
综上，不等式19291
()10e
<成立． ……………………………12分。