2019年高考数学(文科)一轮分层演练：第9章平面解析几何第8讲(含答案解析)

[学生用书P271(单独成册)]
一、选择题
1．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点
坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )
A ．x 245＋y 2
36＝1
B ．x 236＋y 2
27＝1
C ．x 227＋y 2
18
＝1
D ．x 218＋y 2
9
＝1
解析：选D ．因为直线AB 过点F (3，0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝1
2(x －3)，代入椭圆方程
x 2
a 2＋y 2
b 2＝1消去y ，得⎝⎛⎭⎫a 2
4＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝⎛⎭
⎫a 24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a ＝32，选D ．
2．已知直线y ＝22(x －1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，点M (－1，m )，若MA →·MB →
＝0，则m 等于( )
A ． 2
B ．
2
2
C ．12
D ．0
解析：选B ．由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，
y ＝22（x －1），
8x 2－20x ＋8＝0，解得x ＝2或x ＝1
2，
则A (2，22)，B (1
2，－2)．
点M (－1，m )， 由MA →·MB →＝0，
可得(3，22－m )·⎝⎛⎭
⎫32，－2－m ＝0． 化简2m 2－22m ＋1＝0，解得m ＝
2
2
．故选B ． 3．设直线y ＝kx 与椭圆x 24＋y 2
3
＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B 向x 轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两
个焦点，则k 等于( )
A ．±3
2
B ．±23
C ．±12
D ．±2
解析：选A ．将直线与椭圆方程联立，
⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ， x 24＋y 23＝1，
化简整理得(3＋4k 2)x 2＝12，(*) 因为分别过A ，B 向x 轴作垂线，垂足恰为椭圆的两个焦点，故方程的两个根为±1， 代入方程(*)，得k ＝±3
2
，故选A ．
4．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则|AF |·|BF |的最小值是( ) A ．2 B ． 2 C ．4
D ．2 2
解析：选C ．设直线AB 的倾斜角为θ，可得|AF |＝21－cos θ，|BF |＝21＋cos θ，则|AF |·|BF |＝21－cos θ×
2
1＋cos θ
＝
4
sin 2θ
≥4． 二、填空题
5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作两条互相垂直的弦AB ，CD ，则1|AB |＋1
|CD |
等于________．
解析：抛物线y 2＝4x ，可知2p ＝4，设直线l 1的倾斜角为θ(θ为锐角)，则l 2的倾斜角为π
2＋θ，AB ，CD
为过焦点的弦，|AB |＝2p
sin 2θ
，|CD |＝
2p sin 2⎝⎛⎭
⎫π2＋θ＝2p cos 2θ，所以1|AB |＋1|CD |＝sin 2θ2p ＋cos 2θ2p ＝12p ＝14． 答案：14
6．已知双曲线x 2
－y 2
3
＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，
则实数m 的值为________．
解析：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
x 21－y 2
1
3
＝1，①
x 2
2－y 223
＝1，②
x 1＋x 2＝2x 0，③
y 1＋y 2＝2y 0，④
由②－①得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＝1
3(y 2－y 1)(y 2＋y 1)，显然x 1≠x 2．
所以y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1
＝3，即k MN ·y 0
x 0＝3，
因为M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以k MN ＝－1，
因为y 0＝－3x 0．又因为y 0＝x 0＋m ，所以P ⎝⎛⎭⎫－m 4，3m 4，代入抛物线方程得916m 2＝18·⎝⎛⎭⎫－m 4，解得m ＝0或－8，经检验都符合．
答案：0或－8 三、解答题
7．已知点A 、B 的坐标分别是(－1，0)、(1，0)，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－2． (1)求动点M 的轨迹方程；
(2)若过点N ⎝⎛⎭⎫
12，1的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点，且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程． 解：(1)设M (x ，y )，
因为k AM ·k BM ＝－2，所以y x ＋1·y x －1＝－2(x ≠±1)，
化简得2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)，即为动点M 的轨迹方程． (2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．
当直线l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝12，则C ⎝⎛⎭⎫12，62，D ⎝⎛⎭⎫12，－6
2，此时CD 的中点不是N ，不合题
意．
故设直线l 的方程为y －1＝k ⎝⎛⎭
⎫x －1
2， 将C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)代入2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)得
2x 21＋y 2
1＝2，① 2x 22＋y 22＝2，②
①－②整理得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－2（x 1＋x 2）y 1＋y 2
＝－2×2×
1
2
2×1
＝－1，
所以直线l 的方程为y －1＝(－1)×⎝⎛⎭
⎫x －12，
即所求直线l 的方程为2x ＋2y －3＝0．
8．(2018·甘肃张掖一诊)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝25，点P 为椭
圆短轴的端点，且△PF 1F 2的面积为25．
(1)求椭圆的方程；
(2)点Q 是椭圆上任意一点，A (45，6)，求|QA |－|QF 1|的最小值；
(3)点B ⎝⎛⎭⎫
1，423是椭圆上的一定点，B 1，B 2是椭圆上的两动点，且直线BB 1，BB 2关于直线x ＝1对称，
试证明直线B 1B 2的斜率为定值．
解：(1)由题意可知c ＝5， S △PF 1F 2
＝1
2
|F 1F 2|×b ＝25，
所以b ＝2，求得a ＝3， 故椭圆的方程为x 29＋y 2
4
＝1．
(2)由(1)得|QF 1|＋|QF 2|＝6，F 1(－5，0)，F 2(5，0)． 那么|QA |－|QF 1|＝|QA |－(6－|QF 2|)＝|QA |＋|QF 2|－6， 而|QA |＋|QF 2|≥|AF 2|＝
（45－5）2＋（6－0）2＝9，所以|QA |－|QF 1|的最小值为3．
(3)设直线BB 1的斜率为k ，因为直线BB 1与直线BB 2关于直线x ＝1对称，所以直线BB 2的斜率为－k ，所以直线BB 1的方程为y －42
3
＝k (x －1)，
设B 1(x 1，y 1)，B 2(x 2，y 2)，
由⎩⎨⎧y －423＝k （x －1），x 2
9＋y
2
4＝1，
可得(4＋9k 2)x 2＋6k (42－3k )x ＋9k 2－242k －4＝0， 因为该方程有一个根为x ＝1， 所以x 1＝9k 2－242k －4
4＋9k 2，
同理得x 2＝9k 2＋242k －4
4＋9k 2
， 所以kB 1B 2＝y 1－y 2
x 1－x 2
＝
⎣
⎡⎦⎤k （x 1－1）＋423－⎣⎡⎦⎤
－k （x 2
－1）＋423x 1－x 2
＝k （x 1＋x 2）－2k
x 1－x 2
＝
k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
9k 2－242k －44＋9
k 2＋9k 2＋242k －44＋9k 2
－2k 9k 2－242k －44＋9k 2－
9k 2＋242k －4
4
＋9k 2
＝
26
， 故直线B 1B 2的斜率为定值
2
6
．
1．已知拋物线C 的顶点为O (0，0)，焦点为F (0，1)． (1)求抛物线C 的方程；
(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点．若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求|MN |的最小值．
解：(1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p
2＝1，p ＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y ．
(2)易知直线AB 的斜率存在．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1．
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y
消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4．从而|x 1－x 2|＝4
k 2＋1．
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1，又y 1＝x 214，所以x M ＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1
． 同理，点N 的横坐标x N ＝84－x 2
．
所以|MN |＝2|x M －x N |＝2⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
84－x 1－84－x 2
＝82⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x 1－x 2
x 1x 2－4（x 1＋x 2）＋16＝
8 2 k 2＋1|4k －3|． 令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋3
4．
当t >0时，|MN |＝2 2 25t 2＋6
t
＋1>22． 当t <0时，|MN |＝2 2
⎝⎛⎭⎫5t ＋352
＋1625≥85
2． 综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，|MN |取得最小值8
52．
2．
(2017·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2
2，椭圆C 截
直线y ＝1所得线段的长度为22．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)动直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ，点N 是M 关于O 的对称点，⊙N 的半径为|NO |．设D 为AB 的中点，DE ，DF 与⊙N 分别相切于点E ，F ，求∠EDF 的最小值．
解：(1)由椭圆的离心率为
2
2
，得a 2＝2(a 2－b 2)． 又当y ＝1时，x 2
＝a 2
－a 2b 2，得a 2
－a 2b 2＝2，
所以a 2＝4，b 2＝2， 因此椭圆方程为x 24＋y 2
2＝1．
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
联立方程⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，
x 2＋2y 2
＝4，
得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0， 由Δ>0得m 2<4k 2＋2． (*)
且x 1＋x 2＝－4km
2k 2＋1，
因此y 1＋y 2＝2m
2k 2＋1
，
所以D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2km 2k 2＋1，m 2k 2＋1，
又N (0，－m )，
所以|ND |2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2km 2k 2＋12＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫m 2k 2＋1＋m 2
，
整理得|ND |2
＝4m 2（1＋3k 2＋k 4
）（2k 2＋1）2
，
因为|NF |＝|m |，
所以|ND |2|NF |2＝4（k 2＋3k 2
＋1）
（2k 2＋1）2＝1＋8k 2＋3（2k 2＋1）2
．
令t ＝8k 2＋3，t ≥3． 故2k 2＋1＝t ＋14
，
所以|ND |2|NF |2＝1＋16t （1＋t ）2＝1＋16
t ＋1t
＋2． 令y ＝t ＋1t ，所以y ′＝1－1t 2．
当t ≥3时，y ′>0，
从而y ＝t ＋1
t 在[3，＋∞)上单调递增，
因此t ＋1t ≥10
3
，
等号当且仅当t ＝3时成立，此时k ＝0， 所以|ND |2
|NF |2
≤1＋3＝4，
由(*)得－2<m <2且m ≠0． 故
|NF ||ND |≥1
2
， 设∠EDF ＝2θ，则sin θ＝|NF ||ND |≥1
2
，
所以θ的最小值为π
．
6
从而∠EDF的最小值为π
3，此时直线l的斜率是0．
．综上所述：当k＝0，m∈(－2，0)∪(0，2)时，∠EDF取到最小值π
3。