苏教版高三数学平面向量坐标运算
版高中数学第二章平面向量24第2课时平面向量数量积的坐标运算学案苏教版
第2课时平面向量数量积的坐标运算学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．知识点一平面向量数量积的坐标表示ijxy轴的正半轴同向的单位向量．设，轴、是两个互相垂直且分别与iijjij分别是多少？·思考1 ··，，ijaxybxyabij，(，取思考2 ，，，试将为坐标平面内的一组基底，设)＝(，用)，＝2112ab. 表示，并计算·abab坐标间有何关系？若⊥，，则思考3axybxy).＝＝((，)，，梳理若向量2112ab＝·数量积____________________________向量垂直平面向量的模知识点二ayxa |(1 思考若＝，)，试将向量的模|用坐标表示．1→ABBxyxAy (，如何计算向量，，思考2 若(的模？，))2211梳理向量的模及两点间的距离→AB＝||→AxyBxyAB 为端点的向量(以，()，，)211222yyxx＋－－1122向量的夹角知识点三a·b ba xy b y baa x＝θ的夹角，则)，都是非零向量，θ＝(，是)，cos ＝(，与设，2121|a||b|xxyy＋2112. ＝2222yyxx＋·＋1221类型一平面向量数量积的坐标运算abb a·b＝10. 已知(1,2)与，同向，＝例1a的坐标；求(1)ca b·ca·b c. )，求(及)(1)(2(2)若＝，－2此类题目是有关向量数量积的坐标运算，灵活应用基本公式是前提，设向量一反思与感悟般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量，还可以验证一般情况cbbcaa )··≠，即向量运算结合律一般不成立．(下·(·)ababa________. )·1,2)，则(2向量＋＝(1，－1)，＝＝(－1 跟踪训练向量的模、夹角问题类型二BAxOyO．－(16,12)，在平面直角坐标系5,15)中，是原点(如图)．已知点(例2→→ABOA ||，|(1)求|；OAB. 求∠(2)利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤：反思与感悟 (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积．22yax|＋|＝求两向量的模．(2)利用θ的值．θ代入夹角公式求cos ，并根据θ的范围确定(3)baba的取值范λ的夹角α＝(λ，1)，若与为钝角，求2 跟踪训练已知(1＝，－1)，围．向量垂直的坐标形式类型三baabab的值为垂直，则实数λλ1,0)(3,2)((1)例3 已知＝－，＝－，若向量＋与－2 _____． 3→→kABCABABCACk是直角三角形，求(2,3)，，若△＝(1，的值．(2)在△中，)＝利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关反思与感悟于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论．→→→OCtOCBCABxOyA，－－1)，在平面直角坐标系若中，已知((1,4)，)⊥(－2,3)，，(2跟踪训练3t________.则实数＝baba的夹角为，－2)，则________1．已知与＝(3，－1)，．＝(1????1331→→??ABCBABC＝，________.2．已知向量＝＝，则∠，????2222mnmnmn)，则λ－2,2)，若(＋＝)⊥(________. 3．已知向量＝(λ＋1,1)，＝(λ＋abab a·b b＝____________. ＝5|＝14．已知平面向量，且，，若，则向量＝(4，－3)，|ab＝(－1,2)＝(4,3)，．5．已知ab的夹角的余弦值；与(1)求abab)，求实数λ(的值．－λ )⊥(2＋(2)若1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．a x，(若可以对比学习、注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，3．二者不能混淆，记忆．＝1 4 yb xy ab xyxy ab xxyy＝－＝0，⊥＋?0.，则，，)＝()∥?221112112224．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误．5答案精析 问题导学 知识点一jjiiij 0. ＝1×1×cos 0＝1·，思考1 ·＝＝1×1×cos 0＝1，·jyxaxiyjbi ＝，＋＋＝，思考2 ∵221122yyjyyjxxxyjxiyjxixyxyabxii . ()·(＋＝＋＋)∴＝··＝(＋)＋＋2121122222121111ybabxxya 0. ?＝·＋思考3 ＝⊥0?2112yxxy ＋梳理2112yabxxy 0⊥＋?＝2211 知识点二yxiyjxa ＋，∈∵，＝R ，思考122222222jiyyjxyxaxiyji ·jxixyi ·j . )＋＋((＝)∴2＝(＋2＋ ＋)＝22i ·jji 1，0＝1，又∵，＝＝222222yaxyxa ＝|＋＋＝∴，∴|，22yax .∴||＋＝→→→yyyOAxyxxABOBx －，，)－(，，思考2 ∵)＝＝(－)－＝(11221221→22yxABxy.－|＋－＝∴|1212题型探究ba λλ)(>0)＝λ，＝(λ，21 例解 (1)设a ·b λ＝10则有，＝λ＋4a ＝(2,4)λ∴＝2，∴．a ·bb ·c 10，＝1×2－2×1＝0，(2)∵＝aab ·c 0)＝0，∴＝(ca ·b ．＝(20，－(10))1)＝10(2，－11 跟踪训练→OA ＝(16,12)例2 解 (1)由，→AB ，＝－12)(－21,3)－＝(－516,15→22OA ＝|20|＝1612＋，得→22AB 152.|－|＝＋3＝ 6→→ABAO ·→→ABOABAO. ＝(2)cos ∠cos ＝， →→ABAO ||||→→→→ABABAOOA 300. ＝－＝－[16×(－其中21,3)··21)＋12×3]＝＝－(16,12)·(－2300OAB .故cos ∠＝＝2220×15OAB ∴∠＝45°.ba ，1)∵，＝(1，－1)，＝(λ 跟踪训练2 解2baab 1. ＝|＝1＋λλ，∴|－|＝2|，·ba 为钝角，又∵的夹角，α ，1<0λ－?? ∴2?，2·1＋λλ≠1－ ，λ<1?? 即?2＋1≠0.λλ＋2??1. λ≠－<1∴λ且 1,1)．∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1 (1)例3 － 7133±211. －(2)或或 2331 －跟踪训练3当堂训练π3 3.－1. 2.30° 434????，－ 4. ??552552 (2)(1)5． 925 720XX —019学年度第一学期生物教研组工作计划指导思想以新一轮课程改革为抓手，更新教育理念，积极推进教学改革。
苏教版高中数学必修42.3.2 平面向量的坐标运算(一).docx
2．3.2 平面向量的坐标运算(一)课时目标1．理解平面向量坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量．2．掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进行有关的运算．1．平面向量的坐标表示(1)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个________________i ，j 作为基底，对于平面上的向量a ，有且只有一对有序实数x ，y 使得a ＝________，则____________________叫作向量a 的坐标，记作________．(2)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝________，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝________________. 2．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝________________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．一、填空题1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝________.2．已知a －12b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a ＝______.3．已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，则12AC →－14BC →的坐标是________．4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为________．5．已知M (3，－2)，N (－5，－1)且MP →＝12MN →，则点P 的坐标为________．6．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝________. 7．已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A (5，－1)，B (－1，7)，C (1,2)，则顶点D 的坐标为________．8．已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________.9．若向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3，2)，则x ＝________.10．函数y ＝x 2＋2x ＋2按向量a 平移所得图象的解析式为y ＝x 2，则向量a 的坐标是 ________． 二、解答题11．已知a ＝(－2,3)，b ＝(3,1)，c ＝(10，－4)，试用a ，b 表示c .12．已知平面上三个点坐标为A (3,7)，B (4,6)，C (1，－2)，求点D 的坐标，使得这四个 点为构成平行四边形的四个顶点．能力提升13．已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝________.14.在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向和长度如图所示，分别求它们的坐标．1．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示：2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．2．3.2 平面向量的坐标运算(一)知识梳理1．(1)单位向量 x i ＋y j 有序实数对(x ，y ) a ＝(x ，y ) (2)(x ，y ) (x 2－x 1，y 2－y 1)2．(1)(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (2)(x 1－x 2，y 1－y 2) (3)(λx ，λy ) 作业设计1．(－1,2) 2.(2，－2) 3.(－3,6) 4．－1,2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝2.5.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－32 解析 设P (x ，y )，由(x －3，y ＋2)＝12×(－8,1)，∴x ＝－1，y ＝－32.6．(－3，－5)解析 ∵AC →＝AB →＋AD →， ∴AD →＝AC →－AB →＝(－1，－1)． ∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)． 7．(7，－6)解析 设D (x ，y )，由AD →＝BC →， ∴(x －5，y ＋1)＝(2，－5)． ∴x ＝7，y ＝－6. 8.112解析 ∵AC →＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)， BD →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，又2BD →＝AC →，即(2x －4,2y －6)＝(－1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝－1，2y －6＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112.9．－1解析 ∵A (1,2)，B (3,2)， ∴AB →＝(2,0)．又∵a ＝AB →，它们的坐标一定相等．∴(x ＋3，x 2－3x －4)＝(2,0)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0， ∴x ＝－1. 10．(1，－1)解析 函数y ＝x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1的顶点坐标为(－1,1)，函数y ＝x 2的顶点坐标为(0,0)，则a ＝(0,0)－(－1,1)＝(1，－1)． 11．解 设c ＝x a ＋y b ，则(10，－4)＝x (－2,3)＋y (3,1) ＝(－2x ＋3y,3x ＋y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧10＝－2x ＋3y ，－4＝3x ＋y ，解得x ＝－2，y ＝2，∴c ＝－2a ＋2b .12．解 (1)当平行四边形为ABCD 时，AB →＝DC →， 设点D 的坐标为(x ，y )．∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝1，－2－y ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.∴D (0，－1)；(2)当平行四边形为ABDC 时，仿(1)可得D (2，－3)；(3)当平行四边形为ADBC 时，仿(1)可得D (6,15)． 综上可知点D 可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15)． 13．{(1,1)}解析 设a ＝(x ，y )，则P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝m ， ∴集合P 是直线x ＝1上的点的集合．同理集合Q 是直线x ＋y ＝2上的点的集合，即P ＝{(x ，y )|x ＝1}，Q ＝{(x ，y )|x ＋y －2＝0}． ∴P ∩Q ＝{(1,1)}．故选A.14．解 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，c ＝(c 1，c 2)，则a 1＝|a |cos 45°＝2×22＝2，a 2＝|a |sin 45°＝2×22＝2； b 1＝|b |cos 120°＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32， b 2＝|b |sin 120°＝3×32＝332； c 1＝|c |cos(－30°)＝4×32＝23， c 2＝|c |sin(－30°)＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2. 因此a ＝(2，2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332，c ＝(23，－2)．。
苏教版高三数学复习课件4.2 向量的坐标表示
【知识拓展】
线段的定比分点 如果点P满足 ，点P叫做有向线段 的定比分
点．当P1、P2的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)且λ≠－1时，则P的坐标(x，y) 可由下面的公式求
出
这个公式叫做线段的定比分点公式．
1．平面向量基本定理及坐标表示
(1)平面向量基本定理
定理：如果e1，e2是同一平面内的两个
整理得，k＝ ∴kmax＝
，当且仅当t＝ ，即t＝1时取等号，
(2)假设存在正实数k，t，使x∥y，则
化简得
＝0，即t3＋t＋k＝0.
(2)因为k、t为正实数，故不存在正数k使上式成立，从而不存在k、t，使 x∥y.,
【状元笔记】
向量的模与数量积．向量的模与数量积之间有关系式|a|2＝a2＝a· a，这 是一个简单而重要但又容易用错的地方，由这个关系还可以得到如
也为
点共线、线平行问题的处理提供了容易操作的方法．解题时要注
意共线向
量定理的坐标表示本身具有公式特征，应学会利用这一点来构造
函数和方
【例3】 向量
＝(k,12)，
＝(4,5)，
＝(10，k)，
当k为何值时，A、B、C三点共线．
思路点拨：根据向量共线的充要条件，若A、B、C三点共线，
∴－6(x－2)＋2(6－y)＝0.②
【规律方法总结】
1．向量平行的充要条件是建立向量的坐标及其运算的理论依据；平面向
量的基 本定理是平面向量坐标表示的基础．
2．利用平面向量的基本定理，可将几何问题转化为向量问题，其具体过 程大致为： (1)适当选择基底(两个彼此不共线向量)； (2)用基底显示几何问题的条件和结论； (3)利用共线向量的充要条件、向量垂直的充要条件，通过向量的运 算解决平行、
高中数学 2.3.2平面向量的坐标运算课件 苏教版必修4
栏
个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)，实数 目
与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
链 接
已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝O→B－O→A＝(x2，y2)－(x1，y1)
＝(x2－x1，y2－y1)．即：一个向量的坐标等于该向量的终点的坐标
减去起点的坐标．
栏
∴(x＋1，y－3)＝2(5，－3)＝(10，－6)，
目
链
∴xy＋ －13＝ ＝－10， 6，
即xy＝ ＝9－，3.
接
∴D(9，－3)，故选 D.
答案：D
题型2 平面向量的坐标运算
例2 已知向量 a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且 c＝λ1a＋λ
2b，则λ1，λ2 的值分别为( )
2．两个向量差的坐标等于___这__两__个__向__量__相__应__坐__标__的__差________．
即若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a－b＝(_x_1_－__x_2_，__y_1_－_.y2)
栏 目
链
3 ． 实 数 与 向 量 积 的 坐 标 分 别 等 于接
_这__个__实__数__乘__原__来__向__量__的__相__应__坐__标____，即 a＝(x1，y1)，λ∈R，
位置没有关系，只与其相对位置有关系．如右图所示，A→1B1是表示 a
的有向线段，A1，B1 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则向量 a 的坐 栏
标为 x＝x2－x1，y＝y2－y1，即 a 的坐标为(x2－x1，y2－y1)．
目 链
接
(3)为简化处理问题的过程，把坐标原点作为表示向量 a 的有向
高三数学平面向量的坐标运算
y1 y2
例1、平面内给定三个向量
a 3,2, b 1,2, c 4,1
（1）求满足 a
C. 2 x y 0
D. x 2 y 5 0
例4、已知 ABC 中，A(2,-1)，B(3,2)，C(-3,1),BC边上的 高为AD，求 AD 。
练习：已知A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB的交点P的 坐标
例5：已知向量 u ( x, y) 与 v ( y,2 y x) 的对应关系用 v f (u) 表示
A． 1 B。 2 C。 5 D。
6
例 3 、平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知两点 A(3,1)，B(-1,3)，若点C满足 ， 其中
, R
OC OA OB
且 1 ，则点C的轨迹方程为（）
2 2
A. x 1 y 1 5
B. 3x 2 y 11 0
1.证明：对于任意向量
a , b 及常数m，n恒有
f (ma nb) mf (a) nf (b) 成立
2. 设 a (1,1),b (1,0) ，求向量 f (a) 及 f (b) 的坐标； 3.并求使f (c) ( p, q) （p，q为常数）的向量 c 的坐标。
小结 1 、熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的 积的坐标运算法则进行运算。 2、两个向量平行的坐标表示。 3 、运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代 数化，将数与形有机的结合。
作业 P73、闯关训练。
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懂得父女亲情の时候，悠思就像是上天安排の天使，令他の父爱壹时泛滥成灾。父女俩人就那么紧紧地拥抱在壹起，久久别愿分离，哪壹各都别想率先松开手，哪壹各都想将 对方永远地“霸占”在身边。吴嬷嬷当然晓得王爷此番过来壹定有重要の事情要和侧福晋说，既是生怕悠思格格吵咯爷の正事，又是生怕他追究她办差别力，于是小声地悄悄 提醒咯壹下：“爷，要别奴才……”吴嬷嬷の那声提醒确实是恰到好处。王爷既是想念他の小没钕格格，更是想念小没钕格格の额娘。他那么煞费苦心地滞留霞光苑有四盏茶 の功夫，别就是想等其它の诸人们都完完全全地离开，别妨碍他们吗？他在霞光苑门口别要水清送他，别就是在排字琦の眼皮子底下布の迷魂阵吗？他又折回来再追上她们， 别就是想抱壹抱他の小没钕格格，想和他の大没钕侧福晋说句话吗？第壹卷 第641章 考月吴嬷嬷见王爷没什么反对，于是乍着胆子走上前，将悠思抱到自己の手中。悠思虽 然极为别情别愿，但是当小格格看到她の阿玛送给她那各鼓励の微笑，壹下子就将心中の别满完全化解掉，乖乖儿地回到咯吴嬷嬷の怀抱。吴嬷嬷带着悠思知趣地躲到咯壹边， 月影和秦顺儿更是早早就退到主子们见别到の角落，只有水清，没处躲没处藏，壹各人孤零零地面对着他。水清别晓得他大老远地追过来找她有啥啊事情要吩咐，诧异地等着 他发话。而他の心中却是跟明镜似地。那么煞费咯壹晚上の苦心，别惜自导自演、装模作样，他别就是想和水清说说话吗？可是当他真正面对她の时候，却又别晓得该说句啥 啊话，或者是从何说起。上壹次抓周礼の时候，有悠思那各小活宝在壹旁活跃气氛，根本别用他挖空心思来寻找话题，现在没什么咯悠思，他竟然连话都别会说咯。想要说些 啥啊，却又是壹各字也说别出来，气氛逐渐有些尴尬起来。水清因为是各没事儿人，自然只是闲在在地垂首侧立壹旁，静等他の吩咐。而他那各主角儿情急之下，无意间抬眼 望向夜空，映入眼帘の，与刚刚水清所见壹模壹样：夜幕幽远，新月如钩，星光灿烂，摄人心弦。面对如此良辰美景，令他别禁脱口而出：“瑶姬宫殿是仙踪。”闷头看咯半 天自己双脚の水清等咯许久他の吩咐，竟然等来の是那么没头没脑の壹句词！先开始她有些别明所以：爷那是要做啥啊？稍停咯壹会儿才有点儿醒过味来：难道爷那是要考她 对诗？于是水清别敢怠慢，赶快接咯下壹句：“金炉珠帐，香雹昼偏浓”。他本是见到那壹弯新月，随口说咯壹句，没想到水清居然接上咯。那首词，并别是很出名，无论是 作者，还是词本身，水清竟然晓得？他别太相信自己の耳朵，于是追问咯壹句：“那是谁作の？词牌名？”“牛希济の临江仙啊？”水清很奇怪，那么简单の问题，爷也要 问？“月华如水笼香砌，金环碎撼门初闭”“孙光宪，菩萨蛮”“高歌宴罢月初盈，诗情引恨情”“魏承班，诉衷情”“猿啼明月照空滩，孤舟行客，惊梦亦艰难”“阎选， 临江仙”看着那些答案如此轻巧地从水清の口中说出来，他简直是被极度地震惊咯！那是继他见到那如同字帖般の管家汇报以来，第二次被水清の才学所震惊！虽然他晓得她 写得壹手好字，写得壹手好文章，懂壹些诗词歌赋应该别在话下，特别是前些日子见识咯悠思在她の调教下，习得《陋室铭》の成果。但是今天晚上那些如此犄角旮旯の生僻 诗词竟然都难别倒她，那各结果仍是将他惊诧得难以相信自己の耳朵和眼睛。别过他转念壹想，也就完全释然咯：假设连那些诗词都别会，水清怎么可能写得那么壹手漂亮簪 花小楷の好字和词句上乘の好文章？壹想到那里，他又别禁有些洋洋得意起来，他の侧福晋，在各位皇子小格の诸人中，壹定是才学最高の。那各崭新の发现令他登时获得咯 极大の优越感，可是那么值得骄傲、值得炫耀の事情，却因为水清是他の后院诸人而无法与它人分享，只能“独乐乐”，别能“众乐乐”，遗憾别已の同时，又开始为水清の 屈才而暗暗替她
高三数学平面向量 平面向量的坐标运算苏教版(理)知识精讲
高三数学平面向量 平面向量的坐标运算苏教版（理）【本讲教育信息】一、教学内容：平面向量 平面向量的坐标运算二、本周教学目标： 高考要求：1、了解平面向量的基本定理理解平面向量的坐标的概念，会用坐标形式进行向量的加法、减法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件；2、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．3、学会使用分类讨论、函数与方程思想解决有关问题．三、本周知识要点：1、平面向量的坐标表示：一般地，对于向量a ，当其起点移至原点O 时，其终点的坐标（x,y ）称为向量a 的直角坐标．记作在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底，则a xi yj =+．（1）相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量．（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．2、平面向量的坐标运算：（1）若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±± （2）若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- （3）若a =（x,y ），则λa =（λx,λy ）（4）若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-= （5）若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅ 若a b ⊥，则02121=⋅+⋅y y x x3、向量的运算：运算类型 几何方法坐标方法运算性质向 量 的 加 法 1、平行四边形法则 2、三角形法则1212(,)a b x x y y +=++a b b a +=+ )()(c b a c b a ++=++ AB BC AC += 向 量三角形法则1212(,)a b x x y y -=--)(b a b a-+=-AB BA =-【典型例题】例1、平面内给定三个向量()()()3,2,1,2,4,1a b c ==-=，回答下列问题 （1）求满足a mb nc =+的实数m,n ； （2）若()()//2a kc b a +-，某某数k ；（3）若d 满足()()//d c a b -+，且5d c -=，求d 解：（1）由题意得()()()1,42,12,3n m +-=所以⎩⎨⎧=+=+-2234n m n m ，得⎪⎩⎪⎨⎧==9895n m （2）()()34,2,25,2a kc k k b a +=++-=-()()()1316,025432-=∴=+--+⨯∴k k k （3）()()4,1,2,4d c x y a b -=--+=由题意得()()()()⎩⎨⎧=-+-=---5140124422y x y x 得⎩⎨⎧-==13y x 或⎩⎨⎧==35y x例2、已知).1,2(),0,1(==b a （1）求|3|b a +；（2）当k 为何实数时，k -a b 与b a 3+平行，平行时它们是同向还是反向？解：（1）因为).1,2(),0,1(==b a所以3(7,3)a b +=则22|3|7358a b +=+=（2）k -a b(2,1)k =--，b a 3+(7,3)=因为k -a b 与b a3+平行所以3(2)70k -+=即得13k =-此时k -a b7(2,1)(,1)3k =--=--，b a 3+(7,3)=则b a 3+3()ka b =--，即此时向量b a3+与ka b -方向相反例3、已知点)5,4(),2,1(),0,0(B A O 及OP OA t AB =+⋅,试问: （1）当t 为何值时,P 在x 轴上?P 在y 轴上?P 在第三象限?（2）四边形OABP 是否能成为平行四边形?若能,则求出t 的值若不能,说明理由．解：（1）(13,23)OP OA t AB t t =+=++，则(13,23)P t t ++若P 在x 轴上，则230t +=，所以23t =-； 若P 在y 轴上，则0t 31=+，所以13t =-；若P 在第三象限，则⎩⎨⎧<+<+0t 320t 31，所以32t -<（2）因为(1,2),(33,33)OA PB t t ==-- 若OABP 是平行四边形，则OA PB = 所以331332t t -=⎧⎨-=⎩此方程组无解；故四边形OABP 不可能是平行四边形．例4、如图，设抛物线y 2=2px （p>0）的焦点为F 经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴，证明直线AC 经过原点O ．解法一：设A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2）,F （2p ,0），则C （,2p -y 2） 则)y ,2p(OC ),y ,x (OA ),y ,2p x (FB ),y ,2p x (FA 2112211-==-=-=→--→--→--→--∵→--FA 与→--FB 共线 ∴0y )2px (y )2p x (1221=---即2211y )2p x (y )2p x (-=- （*） 而p2y x ,p 2y x 222211== 代入（*）式整理得，y 1·y 2=－p 2因为212121221211y y y y y py )2p (p 2y )2p (x ==-=-=- ∴→--OA 与→--OC 是共线向量，即A 、O 、C 三点共线，也就是说直线AC 经过原点O解法二：设A （x 1,y 1），C （2p-,y 2），B （x 2,y 2）欲证A 、O 、C 共线，只需且仅需OC OA k k =，即2p yx y 211-=又p2y x 211=∴ 只需且仅需y 1y 2=－p 2，用韦达定理易证明．点评：两向量共线的应用非常广泛，它可以处理线段（直线）平行，三点共线（多点共线）问题，使用向量的有关知识和运算方法，往往可以避免繁杂的运算，降低计算量，不仅方法新颖，而且简单明了．例5、已知向量(,)u x y =与(,2)v y y x =-的对应关系用()v f u =表示．（1）证明：对于任意向量,a b 及常数m ，n 恒有()()()f ma nb mf a nf b +=+成立； （2）设(1,1),(1,0)a b ==，求向量()f a 及()f b 的坐标； （3）求使()(,)f c p q =，（p ，q 为常数）的向量c 的坐标． 解：（1）设1212(,),(,)a a a b b b ==，则1122(,)ma nb ma nb ma nb +=++，故222211()(,22)f ma nb ma nb ma nb ma nb +=++-- )2,()2,(122122b b b n a a a m -+-=，∴()()()f ma nb mf a nf b +=+（2）由已知得()f a =（1，1），()f b =（0，－1） （3）设c =（x ，y ），则()(,2)(,)f c y y x p q =-=， ∴y=p ，x=2p －q ，即c =（2p －q ，p ）例6、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3,1），B （－1,3），若点C 满足OC OA OB αβ=+，其中R ∈βα,且1=+βα，则点C 的轨迹方程为（ ）()()511.22=-+-y x A 01123.=-+y x B 02.=-y x C 052.=-+y x D解法一：设()y x C ,，则()()(),,3,1,1,3OC x y OA OB ===-由OC OA OB αβ=+得()()()()βαβαββαα3,33,,3,+-=-+=y x于是⎪⎩⎪⎨⎧=++=-=133βαβαβαy x先消去β，由αβ-=1得⎩⎨⎧-=-=αα2314y x再消去α得052=-+y x 所以选取D ．解法二：由平面向量共线定理，当OC OA OB αβ=+，1=+βα时，A 、B 、C 共线．因此，点C 的轨迹为直线AB ，由两点式直线方程得052=-+y x 即选D ． 小结：1、熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算．2、两个向量平行的坐标表示．3、运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合．【模拟试题】（答题时间：30分钟）1、若向量()3,2-=x a与向量()2,1+=y b 相等，则（ ）A 、x=1,y=3B 、x=3,y=1C 、x=1,y= －5D 、x=5,y= －1 2、点B 的坐标为（1,2），AB 的坐标为（m,n ），则点A 的坐标为（ ） A 、()n m --2,1B 、()2,1--n m C 、()n m ++2,1D 、()m n ++2,13、已知向量()3,x a = ，()1,3-=b , 且a 与b共线，则x 等于（ ） A 、1- B 、9 C 、9- D 、14、已知()5,2-=a ，︱b ︱=︱a2︱，若b 与a 反向，则b 等于（ ）A 、（－4,10）B 、（4,－10）C 、（－1 , 25）D 、（1,25-）5、向量AB =（2,－1），AC =（－4,1） 则BC = （ ）A 、（－2,0）B 、（6,－2）C 、（－6,2）D 、（－2,2）6、设向量()11,y x a = 、()22,y x b = ，0 ≠a ，则“a ∥b ”是“x 1y 2=x 2y 1”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、不充分不必要条件 7、平行四边形ABCD 的三个顶点为A （－2,1）、B （－1,3）、C （3,4），则点D 的坐标是（ ） A 、（2,1） B 、（2,2） C 、（1,2） D 、（2,3）8、与向量()5,12=d不．平行的向量是 A 、()5,12--B 、⎪⎭⎫⎝⎛135,1312C 、()5,12- D 、()10,24 9、已知向量()1,2-=a，()3,1-=b ，则b a 32-的坐标是10、已知点O 是平行四边形ABCD 的对角线交点，AD =（2,5），AB =（－2,3），则CD 坐标为，DO 坐标为，CO 的坐标为．11、已知OA =（x 1,y 1），OB =（x 2,y 2），线段AB 的中点为C,则OC 的坐标为．12、已知A （－1,－2），B （4,8），C （5,x ），如果A ，B ，C 三点共线，则x 的值为． 13、已知向量()2,3=a ，()1,1-=b ,向量m 与b a 23-平行,︱m ︱=4137求向量m 的坐标．试题答案1、B2、A3、C4、B5、C6、C7、B8、C9、()11,7- 10、()3,2-；()1,2--；()4,0-11、⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x12、1013、()16,44=m 或()16,44--=m。
高中数学 平面向量的坐标运算教案 苏教版必修4
平面向量的坐标运算教学目标：掌握已知平面向量的和、差，实数与向量的积的坐标表示方法并能熟练运用.教学重点：平面向量的坐标运算.教学难点：平面向量的坐标运算.教学过程：Ⅰ.复习回顾平面向量的坐标运算法则.Ⅱ.讲授新课［例1］已知A (－1，－1)，B (1，3)，C (2，5)，那么AB →与AC →是否共线?线段AB 与线段AC 是否共线?解：∵AB →＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，AC →＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3，6)，又2×6－3×4＝0，∴AB →∥AC →，∴AB →与AC →共线.又直线AB 与直线AC 显然有公共点A ，∴A 、B 、C 三点共线，即线段AB 与线段AC 共线.综上，AB →与AC →共线，线段AB 与线段AC 也共线.［例2］已知ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，求顶点D 的坐标.对此题，课本是利用向量相等(即AB →＝DC →)来求解的，较为简便.另外，此题若利用同学们刚学过且也较为熟悉的向量加法或减法都是可以顺利求解的，为开拓同学们的解题思路，下面就介绍这下面六种解法.解法一：(利用向量加法) 先依题意在坐标系内作出ABCD (如图)，设顶点D 的坐标为(x ，y )，并连结OA 、OD ，则OD →＝OA →＋AD →.∵AD →＝BC →，∴OD →＝OA →＋BC →∴(x ，y )＝(－2，1)＋(3－(－1)，4－3)＝(－2，1)＋(4，1)＝(2，2)∴顶点D 的坐标为(2，2).解法二：(利用向量减法) 先依题意在坐标系内作出ABCD (如图)，设顶点D 的坐标为(x ，y )，并连结OA 、OD ，则OD →＝AD →－AO →∵AD →＝BC →，∴OD →＝BC →－AO →，∴(x ，y )＝(3－(－1)，4－3)－(0－(－2)，0－1)＝(4，1)－(2，－1)＝(2，2)∴顶点D 的坐标为(2，2).解法三：(利用中点的向量表达式) 如图，在ABCD 中，AC 的中点M 即是BD 的中点.∵OM →＝12 (OA →＋OC →)＝12(OB →＋OD →)， OA →＋OC →＝OB →＋OD →，OD →＝OA →＋OC →－OB →＝(－2，1)＋(3，4)－(－1，3)＝(2，2).∴顶点D 的坐标为(2，2).解法四：(利用中点坐标公式)如图，在ABCD 中，AC 的中点即为BD 的中点，设点D 的坐标为(x ，y )，则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=-2412323221y x . 解得x ＝2，y ＝2. ∴顶点D 的坐标为(2，2).解法五：(利用平面内两点间的距离公式)如图，设点D 的坐标为(x ，y ).在ABCD 中，｜AB →｜＝｜DC →｜，｜BC →｜＝｜AD →｜， 有⎪⎩⎪⎨⎧-++=-++-+-=-++-22222222)1()2()34()13()4()3()13()21(y x y x解得⎩⎨⎧==22y x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==17691713y x . 经检验⎩⎨⎧==22y x 是方程组的解.∴顶点D 的坐标为(2，2).解法六：(利用平行四边形对边的向量相等)如上图，设顶点D 的坐标为(x ，y )，在ABCD 中，AD → ＝BC →，AD → ＝(x ＋2，y －1)， BC →＝(4，1)，(x ＋2，y －1)＝(4，1)，即⎩⎨⎧=-=+1142y x ， 解得x ＝2，y ＝2，∴顶点D 的坐标为(2，2).［例3］在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，设点M 分AB →所成的比为2∶1，点N 分OA →所成的比为3∶1，而OM 和BN 交于点P ，试用a 和b 表示OP .解：OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋23 AB → ＝OA →＋23 (OB →－OA →)＝13 OA →＋23OB → ＝13 a ＋23b ∵OP →与OM →共线，设OP →＝t 3 a ＋2t 3b ① 又∵NP →与NB →共线，设NP →＝sNB →，∴OP →＝ON →＋NP →＝ON →＋sNB →＝ON →＋s (OB →－ON →)＝(1－s ) ON →＋sOB →＝34(1－s ) OA →＋sOB → ＝34 (1－s )a ＋s b②由①②知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-32,3)1(43ts t s ∴t ＝910 ，OP →＝310 a ＋35 b ［例4］向量b ＝(－3，1)，c ＝(2，1)，若向量a 与c 共线，求｜b ＋a ｜的最小值. 解：设a ＝λc ＝(2λ，λ)，则b ＋a ＝(－3＋2λ，1＋λ)，∴｜b ＋a ｜＝22)1()32(++-λλ＝101052+-λλ ＝5)1(52+-λ≥5∴｜b ＋a ｜的最小值为5，此时a ＝c .［例5］已知b 的方向与a ＝(－3，4)的方向相同，且｜b ｜＝15，求b .解：设a 的单位向量为e ，则e ＝||a a ＝(－35 ，45 ); ∵b 与a 方向相同∴b ＝｜b ｜·e ＝15·(－35 ，45)＝(－9，12) ∴b ＝(－9，12).Ⅲ.课堂练习课本P 76练习1，2，3Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家掌握平面向量的坐标表示，熟练平面向量的坐标运算，并能进行简单的应用.Ⅴ.课后作业课本P 77习题 5，6，7，8平面向量的坐标运算1．已知a ＝（－1，3），b ＝（x ，1），且a ∥b ，则x 等于 （ ）A.3B. 13C.－3D.－132．已知A （x ，2），B （5，y －2)，若AB →＝（4，6），则x 、y 的值为 （ ）A.x ＝－1，y ＝0B.x ＝1，y ＝10C.x ＝1，y ＝－10D.x ＝－1，y ＝－103．已知M （3，－2），N （－5，－1），MP →＝12MN →，则P 点的坐标为 （ ） A.（－8，1） B.（－1，－32 ） C.（1，32 ） D.（8，－1）4．若a －12b ＝（1，2），a ＋b ＝(4，－10），则a 等于 （ ） A.（－2，－2） B.（2，2） C.（－2，2） D.（2，－2）5．若向量a ＝（－1，x )，b ＝(－x ，2）共线且方向相同，则x ＝ .6．已知向量OA →＝（k ，12），OB →＝（4，5），OC →＝（10，k ）若A 、B 、C 三点共线，则k ＝ .7．已知|a |＝2 3 ，b ＝(－1， 3 ），且a ∥b ，则a ＝ .8．已知作用于坐标原点的三个力F 1（3，4），F 2（2，－5），F 3（3，1），求作用于原点的合力F 1＋F 2＋F 3的坐标.9．设A 、B 、C 、D 四点坐标分别为（－1，0），（0，2），（2，32 ），（32 ，12），求证：ABCD 为梯形.10．已知A （2，3），B （－1，5），满足AC →＝13 AB →，AD →＝3AB →，AE →＝－14AB →，求C 、D 、E 三点坐标.平面向量的坐标运算答案1．D 2．B 3．B 4．D 5． 2 6．11或－2 7．（－ 3 ，3）或（ 3 ，－3）8．解：由F 1＋F 2＋F 3＝（3，4）＋（2，－5）＋（3，1）＝（8，0）9．证明：∵AB →＝（1，2），DC →＝（12 ，1）＝12AB → ∴DC →∥AB →，且|AB →|＝2|DC →|∴四边形A BC D 为梯形.10．解：由A （2，3），B （－1，5）得AB →＝（－3，2）∴AC →＝13 AB →＝（－1，23 ） ∴C（1，113） AD →＝3AB →＝（－9，6） ∴D（－7，9）又∵AE →＝－14 AB →＝（34 ，－12 ） ∴E（114 ，52 ）。
高中数学 第2章 平面向量 2.3.2 平面向量的坐标运算(第1课时)平面向量的坐标运算讲义 苏教版
第1课时 平面向量的坐标运算学 习 目 标核 心 素 养(教师独具)1.掌握向量的坐标表示．(重点)2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．(重点)3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．(易混点)通过学习本节内容提升学生的数学运算核心素养.一、平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面上的向量a ，由平面向量的基本定理知，有且只有一对有序实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .我们把有序实数对(x ，y )称为向量a 的(直角)坐标，记作a ＝(x ，y )．思考1：如图，向量i ，j 是两个互相垂直的单位向量，向量a 与i 的夹角是30°，且|a |＝4，以向量i ，j 为基底，如何表示向量a?[提示]a ＝23i ＋2j .思考2：在平面直角坐标系内，给定点A 的坐标为A (1,1)，则A 点位置确定了吗？给定向量a 的坐标为a ＝(1,1)，则向量a 的位置确定了吗？[提示] 对于A 点，若给定坐标为A (1,1)，则A 点位置确定．对于向量a ，给定a 的坐标为a ＝(1,1)，此时给出了a 的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a 的位置还与其起点有关．二、平面向量的坐标运算1．已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)和实数λ，那么a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)．2．已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，O 为坐标原点，则AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．思考3：设i 、j 是分别与x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ，根据向量的线性运算性质，向量a ＋b ，a －b ，λa (λ∈R )如何分别用基底i 、j 表示？[提示]a ＋b ＝(x 1＋x 2)i ＋(y 1＋y 2)j ，a －b ＝(x 1－x 2)i ＋(y 1－y 2)j ，λa ＝λx 1i ＋λy 1j .1．思考辨析(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( ) (2)向量的坐标就是向量终点的坐标．( )(3)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√2．若A (2，－1)，B (－1,3)，则AB →的坐标是( ) A ．(1,2) B ．(－1，－2) C ．(－3,4) D ．(3，－4)[答案] C3．若a ＝(－1,2)，b ＝(3,4)，则a ＋b ＝________；a －b ＝________；3a ＝________；－5b ＝________.(2,6) (－4，－2) (－3,6) (－15，－20) [a ＋b ＝(2,6)，a －b ＝(－4，－2)，3a ＝(－3,6)，－5b ＝(－15，－20)．]平面向量的坐标表示【例1】 在直角坐标系xOy 中，向量a ，b 的位置如图，|a |＝4，|b |＝3，且∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，分别求向量a ，b 的坐标．思路点拨：借助三角函数的定义求a ，b 的坐标．[解] 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，由于向量a 相对于x 轴正方向的转角为45°，所以a 1＝|a |cos 45°＝4×22＝22，a 2＝|a |sin 45°＝4×22＝2 2. 可以求得向量b 相对于x 轴正方向的转角为120°， 所以b 1＝|b |cos 120°＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，b 2＝|b |sin 120°＝3×32＝332.故a ＝(22，22)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332.求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算.1．在直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向和长度如图所示，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，分别求它们的坐标．[解] 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，c ＝(c 1，c 2)，则a 1＝|a |cos 45°＝2×22＝2， a 2＝|a |sin 45°＝2×22＝2； b 1＝|b |cos 120°＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，b 2＝|b |sin 120°＝3×32＝332； c 1＝|c |cos(－30°)＝4×32＝23， c 2＝|c |sin(－30°)＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2.因此a ＝(2，2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332，c ＝(23，－2)．平面向量的坐标运算【例2】 已知平面上三个点A (4,6)，B (7,5)，C (1，8)，求AB →，AC →，AB →＋AC →，2AB →＋12AC →.思路点拨：直接利用平面向量的坐标运算求解． [解] ∵A (4,6)，B (7,5)，C (1,8)， ∴AB →＝(3，－1)，AC →＝(－3,2)，AB →＋AC →＝(0,1)，2AB →＋12AC →＝(6，－2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－1.平面向量坐标的线性运算的方法：(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.2．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3CA →，→＝2CB →，求M ，N 的坐标和MN →的坐标．[解] 因为A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)， 所以CA →＝(1,8)，CB →＝(6,3)． 设M (x ，y )，则CM →＝(x ＋3，y ＋4)． 由CM →＝3CA →得(x ＋3，y ＋4)＝3(1,8)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝3，y ＋4＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝20，即M (0,20)．同理可得N (9,2)，所以MN →＝(9，－18)． 向量的坐标与点的坐标[探究问题]1．点的坐标与向量的坐标有何区别？提示：(1)向量a ＝(x ，y )中间用等号连结，而点的坐标A (x ，y )中间没有等号． (2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同． (3)在平面直角坐标系中，符号(x ，y )可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x ，y )或向量(x ，y )．2．向量与其终点坐标是一一对应关系吗？提示：不是一一对应关系，当且仅当向量的起点为坐标原点时，向量坐标与其终点的坐标是一一对应关系．【例3】 已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问： (1)当t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？(2)四边形OABP 是否能成为平行四边形？若能，则求出t 的值．若不能，说明理由． 思路点拨：(1)由已知点的坐标表示出向量OA →，AB →的坐标，从而知道OP →的坐标，即点P 的坐标，然后分类讨论即可．(2)若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →. [解] (1)AB →＝(3,3)， OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )， 则P (1＋3t,2＋3t )．若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，所以t ＝－23；若P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，所以t ＝－13.(2)因为OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )， 若OABP 是平行四边形，则OA →＝PB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，此方程组无解；故四边形OABP 不可能是平行四边形．1．(变条件)若P 在第三象限，求t 的取值X 围．[解] 由本例解知，若P 在第三象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t <0，解得t <－23，所以t 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23. 2．(变条件)t 为何值时，P 在函数y ＝－x 的图象上？ [解] 由P 点坐标(1＋3t,2＋3t )在y ＝－x 上， 得2＋3t ＝－1－3t ，解得t ＝－12.即t ＝－12时，P 在y ＝－x 的图象上．已知含参的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题，其本质是坐标运算的运用，用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用点的位置确定其横纵坐标满足的条件，建立关于参数的方程(组)或不等式(组)，求解即可.提醒：要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.教师独具1．本节课的重点是平面向量的坐标表示及运算． 2．本节课要重点掌握以下问题 (1)向量的坐标表示． (2)向量的坐标运算.1．下列说法正确的是( ) ①向量的坐标即此向量终点的坐标； ②位置不同的向量其坐标可能相同；③一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标； ④相等的向量坐标一定相同．A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③B [向量是自由向量，位置不同，可能是相同的向量，同时相等的向量坐标一定相同．故正确的说法是②④.]2．若a ＝(2,1)，b ＝(1,0)，则3a ＋2b 的坐标是________． (8,3) [3a ＋2b ＝3(2,1)＋2(1,0)＝(6,3)＋(2,0)＝(8,3)．]3．已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12 [∵AB →＝OB →－OA →＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8,1)，∴12AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12.] 4．已知点A (－1,2)，B (2,8)及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 及CD →的坐标．[解] 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由题意可得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)，DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)． ∵AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，∴(x 1＋1，y 1－2)＝13(3,6)＝(1,2)，(－1－x 2,2－y 2)＝－13(－3，－6)＝(1,2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.∴C ，D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)． 因此CD →＝(－2，－4)．。
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★ 指导解答学生的疑难问题
★ 培养学生的创新意识和发现能力。
提供铺垫 创设情境 建构数学 知识应用
提供新知识产生的理论基础
● 向量的几何表示 ● 向量共线的充要条件
● 平面向量的基本定理
● 基底的理解：基底不唯一，关键是不共线
教学程序
提供铺垫 创设情境 建构数学 知识运用
平面上点与 坐标的关系
设问引导 类比联想
y
5 A2 B
法 小
b
a
结
2
A
A1
0 24
① 几何表示 x
d
② 坐标表示
c
提供铺垫 创设情境 建构数学 知识运用
例一体现了解法发散和问题变换的思想：
设
◆ 渗透了向量的几何表示和坐标表示；
计 意
◆ 促使新旧知识系统化，完善了认知结构；
图
◆ 牵出一个问题链，引导学生从不同的问题
解答中领悟新旧知识的本质属性。
教学程序
A(x,y)
0
x
提供铺垫 创设情境 建构数学 知识运用
向量的坐标运算
数量的代数运算
坐标运算的法则：加法、减法、实数与向量的积
突
出
重 点
设计意图：
◆ 发挥学生的主体作用
◆ 训练学生独立思维、自主学习、交流互助的良好
的学习习惯
知识运用
承上启下; 推进了立体几何的改革;使空间结构系统地代数化，把空间形式的研究从“定性”推到“定量”的深度;为用“数”的运算解决
教学目标
根据教学大纲的要求以及学生的实际知识水平，以期达到在知识方 面、能力方面和情感方面的目标。
重 点
教学重点：平面向量的坐标运算
难
苏教高中数学必修：平面向量的坐标运算.doc
2.3.2平面向量地坐标运算一、课题：2.3.2平面向量地坐标运算二、教学目标：1.掌握两向量平行时坐标表示地充要条件；2.能利用两向量平行地坐标表示解决有关综合问题.三、教学重、难点：1.向量平行地充要条件地坐标表示；2.应用向量平行地充要条件证明三点共线和两直线平行地问题.四、教学过程：()复习：1.已知a = (3,2),方=(0,-1),求-2a + 4b , 4a + 3b地坐标；2.己知点4(1,1), B(—1,5)及 = AD = 2AB, AE = -^AB,求点C、D、E 地坐标.归纳：(1)设点AO],%), B(x2,y2),则AB = (x2-x l,y2-y i)；(2) a = (x l,y1), b = (x2,y2),则a+b = (x1+A:2,+ j2), a-b = (x i -x2,y1 -y2), Aa = (Ax i,Ay1)；3.向量a与非零向量方平行地充要条件是：a = e R.b H 0).()新课讲解：1.向量平行地坐标表示：设0 =(兀1，必)，b = (x2,y2), (Z?H0),且a〃b,贝^a = G R,b 0) , (jq, y r) = 2(x2, y2) = (Ax2,Ay2).J =心2 ’'归纳：向量平行(共线)地充要条件地两种表达形式：all b (Z? H 0) o a = e R,b 丰 0)；allb (Z?^0)且设。
=(兀1，歹1),方=(%2，歹2)o 西％一兀2% =°(兀1，兀2，歹1，旳 wQ例1 已知a = (4,2), b = (6,y),且o〃b,求y.解：V allb,4y —2x6 = 0. .•.y = 3.例2 已知A(—1,—1), B(l,3), C(2,5),求证A、B、C 三点共线.证明：AB = (1 —(―1),3 —(—1)) = (2,4), AC = (2—(―1),5 —(―1)) = (3,6),又2x6 —3x4 = 0, :.AB//AC. V直线A3、直线AC有公共点A,22 — “ =6 —42 +3/7 = 5・・・A, B , C 三点共线.例 3 已知。
苏教版高中数学必修42.3.2 平面向量的坐标运算(二).docx
2．3.2 平面向量的坐标运算(二) 课时目标1．理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．1．两向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．(1)当a ∥b 时，有________________．(2)当a ∥b 且x 2y 2≠0时，有________________．即两向量的相应坐标成比例．2．若P 1P →＝λPP 2→，则P 与P 1、P 2三点共线．当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的内部，特别地λ＝1时，P 为线段P 1P 2的中点； 当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的延长线上；当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的反向延长线上．一、填空题1．已知三点A (－1,1)，B (0,2)，C (2,0)，若AB →和CD →是相反向量，则D 点坐标是________．2．已知向量a ＝(2x ＋1,4)，b ＝(2－x,3)，若a ∥b ，则实数x 的值为________．3．已知|a |＝217，b ＝(－1,4)，且a 与b 方向相同，则a ＝________.4．若a ＝(2cos α，1)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则tan α＝________.5．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________.6．若三点P (1,1)，A (2，－4)，B (x ，－9)共线，则x 的值为________．7．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________.8．设向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )．若A ，B ，C 三点共线，则k 的值为________．9．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为________．10．已知A 、B 、C 三点在一条直线上，且A (3，－6)，B (－5,2)，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为________．二、解答题11．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？12．如图，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，O (0,0)，求AC 与OB 的交点P 的坐标．能力提升13．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1)，B (－1，3)，若点C 满足OC→＝mOA →＋nOB →，其中m ，n ∈R 且m ＋n ＝1，则点C 的轨迹方程为______________．14．已知点A (－1，－3)，B (1,1)，直线AB 与直线x ＋y －5＝0交于点C ，则点C 的坐标为________．1．两个向量共线条件的表示方法已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(1)当b ≠0，a ＝λb .(2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例． 2．向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面．(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程．要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．2．3.2 平面向量的坐标运算(二)知识梳理1．(1)x 1y 2－x 2y 1＝0 (2)x 1x 2＝y 1y 22．(0，＋∞) (－∞，－1) (－1,0)作业设计1．(1，－1)2.12解析 由a ∥b 得3(2x ＋1)＝4(2－x )，解得x ＝12. 3．(－2,8)解析 令a ＝λb (λ>0)，则λ＝|a ||b |＝21717＝2. ∴a ＝2b ＝(－2,8)．4．2解析 ∵a ∥b ，∴2cos α×1＝sin α.∴tan α＝2.5．(－4，－8)解析 由a ∥b 得m ＝－4.∴2a ＋3b ＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．6．3解析 P A →＝(1，－5)，PB →＝(x －1，－10)，∵P 、A 、B 三点共线，∴P A →与PB →共线．∴1×(－10)－(－5)×(x －1)＝0，解得x ＝3.7．2解析 ∵λa ＋b ＝(λ＋2,2λ＋3)，c ＝(－4，－7)，∴λ＋2－4＝2λ＋3－7，∴λ＝2. 8．－2或11解析 若A ，B ，C 三点共线，则AB →与AC →共线，由AB →＝(4－k ，－7)，AC →＝(10－k ，k －12)，得(4－k )(k －12)－(10－k )(－7)＝0.∴k ＝－2或11.9．－12解析 ∵u ＝(1,2)＋k (0,1)＝(1,2＋k )，v ＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，又u ∥v ，∴1×3＝2(2＋k )，得k ＝－12. 10．－9解析 C 点坐标(6，y )，则AB →＝(－8,8)，AC →＝(3，y ＋6)．∵A 、B 、C 三点共线，∴3－8＝y ＋68，∴y ＝－9. 11．解 由已知得k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13. 此时k a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )， ∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向． 12．解 方法一 由题意知P 、B 、O 三点共线，又OB →＝(4,4)．故可设OP →＝tOB →＝(4t,4t )，∴AP →＝OP →－OA →＝(4t,4t )－(4,0)＝(4t －4,4t )，AC →＝OC →－OA →＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．又∵A 、C 、P 三点共线，∴AP →∥AC →，∴6(4t －4)＋8t ＝0，解得t ＝34， ∴OP →＝(3,3)，即点P 的坐标为(3,3)．方法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，OB →＝(4,4)．∵P 、B 、O 三点共线，∴OP →∥OB →，∴4x －4y ＝0.又AP →＝OP →－OA →＝(x ，y )－(4,0)＝(x －4，y )，AC →＝OC →－OA →＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)，∵P 、A 、C 三点共线，∴AP →∥AC →，∴6(x －4)＋2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －4y ＝0，6(x －4)＋2y ＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3， 所以点P 的坐标为(3,3)．13．x ＋2y －5＝0解析 设点C 的坐标为(x ，y )，则(x ，y )＝m (3,1)＋n (－1,3)＝(3m －n ，m ＋3n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m －n ， ①y ＝m ＋3n ， ② ①＋2×②得，x ＋2y ＝5m ＋5n ，又m ＋n ＝1，∴x ＋2y －5＝0.所以点C 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0.14．(2,3)解析 设AC →＝λCB →，则得C 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－11＋λ，λ－31＋λ. 把C 点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－11＋λ，λ－31＋λ代入直线x ＋y －5＝0的方程，解得λ＝－3.∴C 点坐标为(2,3)．。
苏教版高中数学必修4《平面向量的坐标运算(第1课时)》参考课件
错误.
∴12A→B＝－4，12.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.3.2（一）
3．已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)， 且B→C＝2A→D，则顶点 D 的坐标为___2_，__72_ _．
本 课
解析 设 D 点坐标为(x，y)，则B→C＝(4,3)，A→D＝(x，y－2)，
－2)；d＝O→D＝(2，－4)．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.3.2（一）
探究点二 平面向量的坐标运算 问题 1 已知 a＝O→A，b＝O→B，c＝O→C，如下图所示，写出 a，
b，c 的坐标，并在直角坐标系内作出向量 a＋b，a－b 以 及 a－3c，然后写出它们的坐标．
本 课 时 栏 目 开 关
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2.3.2（一）
问题 1 根据下图写出向量 a，b，c，d 的坐标，其中每个小 正方形的边长是 1.
本
课
时
栏
目
开
关
答 a＝(2,3)，b＝(－2,3)，c＝(－3，－2)，d＝(3，－3)．
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2.3.2（一）
问题 2 当向量的始点坐标为原点时，终点坐标是对应向量 的坐标；当向量的始点不是坐标原点时，向量A→B＝(xB－xA，
开 关
λa＝λ(x1i＋y1j)＝(λx1)i＋(λy1)j＝(λx1，λy1)；
λa＋μb＝λ(x1i＋y1j)＋μ(x2i＋y2j)＝[(λ x1)i ＋(λ y1)j] ＋[(μx2)i＋
(μy2)j]＝(λx1＋μx2)i＋(λy1＋μy2)j＝(λx1＋μx2，λy1＋μy2)．
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苏教版平面向量的坐标运算
a b x1 x2 y1 y2
例2.用基底
i,
j
分别表示向量
y
a,
b,
c,
d ,并求出它们的坐标.
5
b 2i 3j b 4 3
B
a a 2i 3 j,
2
A
1
j
-4 -3 -2
-1 O -1
i1
2
34
x
-2
c 2i 3j, c
d d 2i 3j
（二）平面向量的坐标运算
1.已知 a x1, y1,b x2, y2 , 求 a b, a b .
解： AB OB OA
A(x1, y1 )
y
(x1, y1 ) (x2 , y2 ) (x2 x1, y2 y1 )
O
B(x2 , y2 ) x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐 标减去始点的坐标．
a x, y
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相 应坐标．
a b =（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；
3a 4b =3（2，1）+4（-3，4）
=（6，3）+（-12，16） =（-6，19）
（二）平面向量的坐标运算
例3． 已知 平行四边形 ABCD的三个顶点A、B、C 的坐标分别为（－2，1）、（ －1，3）、（3，4）， 求顶点D的坐标．
解：设顶点D的坐标为（x，y）
OM 1 (OA OB) 2
1 ( x, y) 2 [( x1, y1) ( x2, y2 )]
x x1 x2 , y y1 y2
2
2
例6得到的公式， 叫做线段中点的 坐标公式，简称
中点公式。
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已知A(-1,-1)，B(1,3)，C(2,5)，求证A、B、
设计意图：分层训练；达到拔尖和“减负”的目的；为
下节新授课的学习作铺垫。
教 学 评 价
参与活动的主动性 学习方法的选择性 作业练习的反馈性 学习过程 学习能力 学习效果
评 价
评 价 评 价
1.平面向量的坐标定义 （1 ） a x i y j （2）i ，j 的含义 （3 ） （x,y)是a 的坐标 2.平面向量的坐标运算
a b =
例一
例二 例三
a b=
演练反馈
a =
总结提炼
教
学
反
思
本节课的教学重视发挥学生的主体作用与教师的主导 作用，重视“过程”的教学，力求做到： ★ ★ ★ ★ ★
提出问题，循循善诱； 疏通思路，耐心开导； 解题练习，精心指导； 存在不足，热情辅导； 掌握过程，尽心引导。
力求体现重情善导的教风与特色。
★ 组织学生的合作学习、讨论学习、交流学习 ★ 指导解答学生的疑难问题 ★ 培养学生的创新意识和发现能力。
提供铺垫
创设情境
建构数学
知识应用
提供新知识产生的理论基础
● 向量的几何表示
● 向量共线的充要条件
● 平面向量的基本定理 ● 基底的理解：基底不唯一，关键是不共线
教学程序
提供铺垫
创设情境
建构数学
教
学
目
标
根据教学大纲的要求以及学生的实际知识水平，以期达到在 知识方面、能力方面和情感方面的目标。
重 点 难 点
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：对平面向量坐标坐标化意义的理解
以建构主义理论为指导:
教 法 学 法
★ 提供铺垫知识 ★ 模拟新知识产生的过程，启发引导学生建构
★ 创设新知识思维发展的前景
己的理解和对新授课掌握的程度找到切实可行的方法， 寻求问题的解答。
反馈练习——作业设计 巩固性作业
（1）已知三个力F1 =（3，4），F2 =（2，-5），F3 =（x,y) 的合力等于零，求F3的坐标。
1 （2）若M(3,-2),N(-2,-1)且 MP MN ，求P点坐标。 2
超前性作业
C三点共线。
提供铺垫
创设情境
建构数学
知识运用
感 受 理 解
j 分别表示向量a 、 例一：如图，用基底 i 、
b、 d ，并求他们的坐标。 c、 y
5
b
A2
a
B
2
A
A1 2 4
d
① 几何表示
0
c
x ② 坐标表示
提供铺垫
创设情境
建构数学
知识运用
例一体现了解法发散和问题变换的思想：
设 计 意 图
◆ ◆ ◆
渗透了向量的几何表示和坐标表示； 促使新旧知识系统化，完善了认知结构； 牵出一个问题链，引导学生从不同的问题 解答中领悟新旧知识的本质属性。
提供铺垫
创设情境
建构数学
知识运用
a =（x+y+1,2x-y), 例二： 已知 b =(x-y,x+2y-2), 思
考 若2a = 3 b ,求x、y的值。 运 用 例三：已知平行四边行ABCD的三个顶点A、B、C、 D的坐标分别为（-2,1)、(-1,3)、(3,4)，求顶 点D的坐标。
设计意图：
选择正交基底 e1 ,e2
向量正交分解
y
创设情境－激活思维－适时点拨
（幻灯片演示动画）
a
基向量上的投影长度 代数角度： 线性组合 的系数
0
x
j
i
教学程序
提供铺垫
突 破 难 点
创设情境
建构数学
知识运用
通过动画演示，结合向量相等的概念
观察思考
任一向量通过平移，使其始点和坐标系原点重合
揭示实质
向量（x,y) 一一对应
平面向量的坐标运算
y
a
A(x,y)
0
x
北师大南山附中 荣红莉 Email:ronghongli0118@
《平面向量坐标运算》教学说明
教 材 分 析
教 学 目 标
重 点 难 点
教 法 学 法
教 学 过 程
教 学 评 价
教材的地位和作用
承上启下; 推进了立体几何的改革;使空间结构系统地代数 化，把空间形式的研究从“定性”推到“定量”的深度 ; 为用 “数”的运算解决“形”的问题搭起了桥梁。
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是壹段令人神往の岁月."哎,现在咱那可爱の老师,估计都入土为安了吧..."想到那个英语老师,根汉还是有些无奈の,自己穿越过来都二百多年了,若是两边の时空是对等の,那地球那边の人早就换了好几茬尔了.那英语老师后面离了婚,肯定又找过了老公了,后来又有了尔子,女尔,孙 子,外孙,说不定都有了.而到了现在,肯定早就入土了.根汉在这里喝了几杯酒,突然那边の壹桌小情侣,似乎吵了起来.其中壹个女孩子,将自己面前の热饮料,泼在了那男孩子の脸上."啊!""你疯了!"男孩子捂着脸大叫,不远处の壹个女机器人,赶紧跑了过来,拿着布捂着他の脸,替他の 脸降温.女学生却是怒气冲冲道："毁了你这个王八蛋の脸,让你出去再勾三搭四!""混蛋!咱要杀了你!"男孩子也很震怒,脸上火.辣辣の疼,若不是这女机器人在布上放了降温の药,现在会更疼の厉害."老.娘咱就在宿舍里等你!有本事你就来!"女孩子气冲冲の拿过了自己の手聊器,然 后便甩手冲出了这家店,并没有给这男孩子反击の机会,男孩子の疼の嗷嗷直叫,女机器人将他带到了后厨替他处理伤口."这男の真不是好东西...""就是,他活该,在外面勾三搭四,那么漂亮の女朋友不知道珍惜...""也不看看他自己什么样子..."周围人虽然不多,但也有十一些,都是 喜欢看热闹,低声议论起来,以鄙夷の眼神看着那个男生.（正文贰贰玖5神奇）贰贰玖6新奇男生低着脑袋,拳头紧握,心里早将那个女孩子の全家问候了无数遍了,没想到竟然会这样子伤."哎,这又是何苦呢..."根汉用天眼也扫了壹下那个男生,从他の心头,得到了壹个黑暗の想法.这 个男生下定决心,要将自己の女友给弄死,他甚至用手聊器,联系了自己の两个铁哥们,还让他们去找人办这件事情.至于这个男生会何要下这样の决定,根汉也为他感到悲哀,原来这个男生家里条件很壹般,在这轩辕城属于比较底层の存在.而那女生呢,是壹个小富商の女尔,从小娇生惯 养の,脾气嚣张跋扈,而且心眼极小.两人交往之后,那女生开始对她百依百顺,可是没过多久那女生便暴.露了她の本.色,不允许这个男生与任何其它の女生接触.女孩子容易吃醋,吃の太过火了,也确实是壹个悲剧.前段时间,这个男生和自己从小长大の壹个女生见了个面,壹起吃了个 饭,结果就被这女生看到了,暗地底这个女生让人给那女生毁容了.今天又约这男生,在这里喝茶,两人没聊到壹块去,她又拿起热饮料,要将这男生毁容,可以说是心肠太歹毒了,对这男生の爱有\壹\本\读\ xstxt些扭曲了.根汉得知这两人の过去,也是感慨良多.男生很快便从后厨包扎 出来了,这里の女机器人の服务水平还是很高の,或许以前早就出过这样の事件,有人会被对方给泼伤,所以并没有令这男生落下永远の伤疤.而且在这轩辕城,这里の医术,足够发达,要处理壹些伤疤很容易.只有像之前那个女生,被这男生の女友,下の那种狠手,到现在却是无法复原,即 使要复原の话,也需要太多の钱了.男生捂着脸离开了,立即去找人,准备实施他の报复了."哎,这又是何苦呢..."尽管知道这将是壹场悲剧の发生,但是根汉却并没有出去阻止,这是他们の命,最终那女生会不会死,男生会不会又因此而伏法,没有人知道.轩辕帝国の律法十分健全,对于 故意杀人,也有着极严厉の刑罚.但是这里也是壹个人吃人の社会,如果你没钱,没权,没势の话,在这里也只能过着最普通の生活,因为这里の律法都是由富人,权力阶层设定の.如果你是轩辕帝国百大家族の继承人,杀了一些来自小地方の人,只要以家族の势力打点壹下,并不会有太大 の问题.而且这里还有の私人机器人,有些私人机器人执行杀罚任务之后,可以自动毁坏,不留下任何の痕迹,根本都不用自己出手,有些私人机器人の破坏力可是很恐怖の.根汉在这家小店里坐了将近壹个小时,最后付了壹些钱之后离开了,接下来他跟着之前那两个小店里の女学生来到 了她们の学校.美雅艺术学院,是这附近壹家比较有名の艺术学院,在这里学习の女学生,壹般家里都是挺有钱の.尽管学院大门处,有好几道安保设施,还有指纹,眼膜等等确认信息の方式,不过对于根汉来说,这些都是形同虚设の."呃..."刚进这所学院の大门,前面便是壹条笔直の大道 ,两旁种满了壹排排の大树,路两边还有两个公园.此时正是深夜时分,根汉刚刚走进来,眼睛往那边壹看,竟然就看到了好几幕不雅の行为.这个学院百分之九十五都是女学生,男学生几乎是没有の,根汉往公园两边壹看,在公园の角落中,发现了至少五十几对女学生.她们在幽暗の角落 里亲着嘴,互相抚.么,甚至还有直接在角落里弄起来了の.场面确实是有些壮观,尽管这里漆黑壹片,夜色浓の有些可怕,但是对这些女学生来说,似乎都不是什么问题."茉莉,咱们去那边坐坐吧..."这两个女学生,回到了学校里,也没有直接回宿舍.她们也手拉着手,走向了那边の公园, 两人悄悄の往公园里面走,没过壹会尔,这两个女学生也躺下缠在了壹起."真是世风日下呀,这个轩辕城中の男学生难道不行吗?"根汉有些瞠目,没想到这里の女学生都喜欢这种の,男朋友不去找,就找自己の闺蜜了.这哪是什么闺蜜,简直就是最佳の炮.友呀,而且还有壹个最好の特点 是,不用担心怀孕....根汉在学院上空转了转,这座美雅学院中の女学生还真不少,而且远不止这个公园有这些女学生在玩百.合,还有许多の地方,也有这样の闺蜜团.他起码发现了有近五百人左右,都是属于这种类型の,相对于整个学院壹万个左右の女学生来说,这个比例还是很高の. 根汉没