高三数学复习专题平面向量

高三数学复习专题平面向量

一、考点透视

本章考试内容及要求：

平面向量的有关概念B级

平面向量的线性运算（即平面向量的加法与减法，实数与平面向量的积）C级

平面向量的数量积C级（老教材为D级）

向量的坐标表示C级

向量运算的坐标表示C级

平行向量及垂直向量的坐标关系C级

向量的度量计算C级

注：

B水平：对所学数学知识有理性的认识，能用自已的语言进行叙述和解释，并能据此进行判断；知道它们的由来及其与其他知识之间的联系；知道它们的用途。对所学技能会进行独立的尝试性操作。

C水平：对所学数学知识有实质性的认识并能与已有知识建立联系，掌握其内容与形式的变化；有关技能已经形成，能用它们来解决简单的有关问题。

二、复习要求

1．理解向量、向量的模、相等向量、负向量、零向量、单位向量、平行向量等概念；

2．掌握向量的向量表示形式、几何表示形式和坐标表示形式；

3．掌握向量的加法、减法及实数与向量的乘积、数量积等运算的向量表示形式、几何表示形式和坐标表示形式；

4．能应用向量的数量积的有关知识求向量的模及两个向量的夹角，并能解决某些与垂直、平行有关简单几何问题。

概括地说，即理解向量有关概念，掌握向量基本形式（3种）及基本运算（4种），关注向量简单应用。

三、复习建议

向量是近代数学中的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角的一种工具。向量在数学和物理学中应用很广，在解析几何里应用更为直接，用向量方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。从数学发展史来看，在历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家所认识。直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。

向量是高中数学的必修内容，也是研究其它数学问题的重要工具，利用向量知识去研究几何问题中的垂直、平行关系，计算角度和距离问题将变得简单易行，其特点兼有几何的直观性、表述的简洁性和方法的一般性，因而它也是高考必考内容。每年的平面向量的高考，除了以小题形式考查一些简单的概念之外，还常与解析几何、三角等内容结合以解答题形式进行综合考查，试题的难度一般在中、低档题水平，复习时应重视向量基本知识的掌握和运用，难度不要拔高。

四、知识要点

1．平面向量的有关概念

（1）平面向量：我们把平面上既有大小又有方向的量叫做平面向量(以下涉及的“向量”，如不作特别说明就指平面向量)。用带有箭头的线段AB 表示向量。以A 为始点，B 为终点的向量，记作

，也可用加黑的小写字母a 表示。向量的大小，也就是的模(或称长度)

。

（2）零向量：模为零的向量叫做零向量，记作0，它的方向是不确定的。

（3）单位向量：模等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。向量a 的单位向量是指与向量a 方向相同且长度等于1个单位长度的向量，记作0a

，a

0。

（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

（5）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，若向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c 。规定0与任一向量平行。平行向量也叫做共线向量。

（6）负向量：与向量a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的负向量。 2．向量的运算

(1)向量的加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法。 ①加法法则

三角形法则(见图6—1)； 平行四边形法则(见图6—2)。

②运算性质：a+b=b+a

（a+b ）+c=a+（b+c ） a+0=0+a=a ③坐标运算： 设a=（x 1，y 1），b=（x 2，y 2)，则a+b=（x 1+x 2，y 1+y 2）。 （2）向量的减法 求两个向量差的运算叫做向量的减法。 ①减法法则

三角形法则(见图6—3)

②坐标运算： a=（x 1，y 1），b=（x 2，y 2)，则a-b=（x 1—x 2，y 1—y 2）。 设A 、B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2)， 则AB =（x 1—x 2，y 1—y 2）。 （3）实数与向量的积

a

a+b

b 图6—1 图6—2 b

a a-

b 图6—3

①定义：一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：当其中

0>λ，λa 与a 同向，|λa |=|λ||a |； 当λ<0时，λa 与a 反向，|λa |=|λ||a |；

当λ=0时，λa =0。 ②运算律：

μλ(a ）=（λμ）a ，

（μλ+）a =λa +μa ，

λ（a+b ）=λa +λb 。

③坐标运算：

设a=（x ，y ），则λa =λ（x ，y ）=（λx ，λy ）。 (4)平面向量的数量积

①定义：a·b=|a||b|coa θ，（a ≠0，b ≠0，)18000

≤≤θ。规定：零向量与任一向量的数量积为0，即 0·a =0。 ① 重要性质

设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 (1) e ·a =a ·e =|a |cosθ。 (2) a ⊥b a ·b =0。

(3) 当a 与b 同向时，a ·b =|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b = —|a ||b |。特别地，a ·a =|a |2或|a (4)cos

.a b

a b

(5)|a ·b |≤|a ||b |。

③运算律 a·b=b·a ，（λa ）·b =a·（λb ）=λ（a·b ），（a+b ）·c =a·c+b·c 。 ④坐标运算： 设a=（x 1，y 1），b=（x 2，y 2)，则a·b =x 1x 2+y 1y 2。 3．重要定理、公式

（1）两个非零向量a ，b 平行的充要条件 a ∥b ⇔a =λb 。

设a=（x 1，y 1），b=（x 2，y 2)，则01221=-y x y x 。 （2）两个向量垂直的充要条件 a ⊥b ⇔a·b =0

设a=（x 1，y 1），b=（x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔ x 1x 2+y 1y 2=0。 （3）平面上两点间的距离公式

设表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2)，