碑林区高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学

碑林区高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学
一、选择题
1． （理）已知tan α=2
，则=（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
2． 经过点()1,1M 且在两轴上截距相等的直线是（ ） A ．20x y +-= B ．10x y +-=
C ．1x =或1y =
D ．20x y +-=或0x y -= 3． 若集合A={x|1＜x ＜3}，B={x|x ＞2}，则A ∩B=（ ） A ．{x|2＜x ＜3} B ．{x|1＜x ＜3} C ．{x|1＜x ＜2} D ．{x|x ＞1} 4． 在
中，角
、
、
所对应的边分别为、、，若角
、
、
依次成等差数列，且
，
,则
等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．2
5．
10y -+=的倾斜角为（ ）
A ．
150 B ．
120 C ．60 D ．30 6． 抛物线y 2=2x 的焦点到直线x
﹣y=0的距离是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
7． 下列命题的说法错误的是（ ）
A ．若复合命题p ∧q 为假命题，则p ，q 都是假命题
B ．“x=1”是“x 2﹣3x+2=0”的充分不必要条件
C ．对于命题p ：∀x ∈R ，x 2+x+1＞0 则￢p ：∃x ∈R ，x 2+x+1≤0
D ．命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2﹣3x+2≠0”
8． 若圆心坐标为()2,1-的圆在直线10x y --=
上截得的弦长为，则这个圆的方程是（ ） A ．()()2
2
210x y -++= B ．()()2
2
214x y -++= C ．()()2
2
218x y -++= D ．()()2
2
2116x y -++=
9． 集合{}5,4,3,2,1,0=S ,A 是S 的一个子集,当A x ∈时,若有A x A x ∉+∉-11且,则称x 为A 的一个“孤立元素”.集合B 是S 的一个子集, B 中含4个元素且B 中无“孤立元素”,这样的集合B 共有个 A.4 B. 5 C.6 D.7
10．已知f （x ）=4+a x ﹣1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是（ ） A ．（1，5） B ．（1，4） C ．（0，4） D ．（4，0） 11
．若
，则等于（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
12．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。

问积几何？”意
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽AD ＝3丈，长AB ＝4丈，上棱EF ＝2丈，EF ∥平面ABCD .EF 与平面ABCD 的距离为1丈，问它的体积是（ ） A ．4立方丈 B ．5立方丈 C ．6立方丈 D ．8立方丈
二、填空题
13．设
为单位向量，①若为平面内的某个向量，则=||•
；②若
与平行，则=||•
；③若
与平行且||=1，则=．上述命题中，假命题个数是 ．
14．在等差数列{a n }中，a 1，a 2，a 4这三项构成等比数列，则公比q= ．
15．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱和底面垂直，且所有棱长都相等，若该三棱柱的各顶点都在球O 的表面
上，且球O 的表面积为7π，则此三棱柱的体积为 ．
16．已知数列}{n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意∈n N *，均有n a 、n S 、2
n a 成等差数列，则=n a ．
17．已知向量、
满足
，则|+|= ．
18．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】函数()2
1ln 2
f x x x =
-的单调递减区间为__________. 三、解答题
19．已知函数f （x ）=alnx ﹣x （a ＞0）． （Ⅰ）求函数f （x ）的最大值；
（Ⅱ）若x ∈（0，a ），证明：f （a+x ）＞f （a ﹣x ）；
（Ⅲ）若α，β∈（0，+∞），f （α）=f （β），且α＜β，证明：α+β＞2α
20．某同学用“五点法”画函数f （x ）=Asin （ωx+φ）+B （A ＞0，ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，
1，x 2，x 3的值，并写出函数f （x ）的解析式；
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[0，m]（3＜m＜4）上
的图象的最高点和最低点分别为M，N，求向量与夹角θ的大小．
21．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，.若,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为
A[]
B[]
C[]
D[]
22．（本小题满分10分）
已知曲线
22
:1
49
x y
C+=，直线
2,
:
22,
x t
l
y t
=+
⎧
⎨
=-
⎩
（为参数）.
（1）写出曲线C的参数方程，直线的普通方程；
（2）过曲线C上任意一点P作与夹角为30的直线，交于点A，求||
PA的最大值与最小值.
23．如图，四边形ABCD与A′ABB′都是边长为a的正方形，点E是A′A的中点，AA′⊥平面ABCD．
（1）求证：A ′C ∥平面BDE ；
（2）求体积V A ′﹣ABCD 与V E ﹣ABD 的比值．
24．（本小题满分10分） 已知函数()2f x x a x =++-．
（1）若4a =-求不等式()6f x ≥的解集； （2）若()3f x x ≤-的解集包含[]0,1，求实数的取值范围．
25．从5名女同学和4名男同学中选出4人参加演讲比赛， （1）男、女同学各2名，有多少种不同选法？
（2）男、女同学分别至少有1名，且男同学甲与女同学乙不能同时选出，有多少种不同选法？
26．（本小题满分13分）
在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ，2
ABC π
∠=，AD =33AB DC ==．
（Ⅰ）在棱PB 上确定一点E ，使得//CE 平面PAD ；
（Ⅱ）若PA PD ==
PB PC =，求直线PA 与平面PBC 所成角的大小．
A
B
C
D
P
碑林区高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：∵tan α=2，∴ =
=
=
．
故选D ．
2． 【答案】D 【解析】
考
点：直线的方程.
3． 【答案】A
【解析】解：∵A={x|1＜x ＜3}，B={x|x ＞2}， ∴A ∩B={x|2＜x ＜3}， 故选：A ．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
4． 【答案】C
【解析】 因为角
、
、
依次成等差数列，所以
由余弦定理知，即
，解得
所以， 故选C
答案：C
5． 【答案】C 【解析】
10y -+=，可得直线的斜率为k =tan 60αα=⇒=，故选C.1
考点：直线的斜率与倾斜角. 6． 【答案】C
【解析】解：抛物线y 2
=2x 的焦点F （，0），
由点到直线的距离公式可知：
F 到直线x ﹣
y=0的距离d=
=，
故答案选：C ．
7． 【答案】A
【解析】解：A ．复合命题p ∧q 为假命题，则p ，q 至少有一个命题为假命题，因此不正确； B ．由x 2﹣3x+2=0，解得x=1，2，因此“x=1”是“x 2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，正确； C ．对于命题p ：∀x ∈R ，x 2+x+1＞0 则￢p ：∃x ∈R ，x 2+x+1≤0，正确；
D ．命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2﹣3x+2≠0”，正确． 故选：A ．
8． 【答案】B 【解析】
考
点：圆的方程.1111] 9． 【答案】C 【解析】
试题分析：根据题中“孤立元素”定义可知，若集合B 中不含孤立元素，则必须没有三个连续的自然数存在，所有B 的可能情况为：{}0,1,3,4，{}0,1,3,5，{}0,1,4,5，{}0,2,3,5，{}0,2,4,5，{}1,2,4,5共6个。

故选C 。

考点：1.集合间关系；2.新定义问题。

10．【答案】A
【解析】解：令x ﹣1=0，解得x=1，代入f （x ）=4+a x ﹣1
得，f （1）=5，
则函数f （x ）过定点（1，5）． 故选A ．
11．【答案】B
【解析】解：∵，
∴
，
∴（﹣1，2）=m （1，1）+n （1，﹣1）=（m+n ，m ﹣n ）
∴m+n=﹣1，m ﹣n=2，
∴m=，n=﹣，
∴
故选B ．
【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题等．
12．【答案】 【解析】解析：
选B.如图，设E 、F 在平面ABCD 上的射影分别为P ，Q ，过P ，Q 分别作GH ∥MN ∥AD 交AB 于G ，M ，交DC 于H ，N ，连接EH 、GH 、FN 、MN ，则平面EGH 与平面FMN 将原多面体分成四棱锥E -AGHD 与四棱锥F -MBCN 与直三棱柱EGH -FMN .
由题意得GH ＝MN ＝AD ＝3，GM ＝EF ＝2，
EP ＝FQ ＝1，AG ＋MB ＝AB －GM ＝2，
所求的体积为V ＝13（S 矩形AGHD ＋S 矩形MBCN ）·EP ＋S △EGH ·EF ＝13×（2×3）×1＋1
2
×3×1×2＝5立方丈，故选B.
二、填空题
13．【答案】 3 ．
【解析】解：对于①，向量是既有大小又有方向的量， =||•的模相同，但方向不一定相同，∴①是假
命题；
对于②，若与平行时，
与方向有两种情况，一是同向，二是反向，反向时=﹣||•
，∴②是假命
题；
对于③，若与平行且||=1时，
与方向有两种情况，一是同向，二是反向，反向时=﹣
，∴③是
假命题；
综上，上述命题中，假命题的个数是3． 故答案为：3．
【点评】本题考查了平面向量的概念以及应用的问题，解题时应把握向量的基本概念是什么，是基础题目．
14．【答案】 2或1 ．
【解析】解：设等差数列{a n }的公差为d ，
则可得（a 1+d ）2
=a 1（a 1+3d ）
解得a 1=d 或d=0
∴公比q=
=2或1．
故答案为：2或1．
【点评】本题考查等比数列和等差数列的性质，属基础题．
15．【答案】 ．
【解析】解：如图，
∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长都相等，6个顶点都在球O 的球面上， ∴三棱柱为正三棱柱，且其中心为球的球心，设为O ，
再设球的半径为r ，由球O 的表面积为7π，得4πr 2
=7π，∴r=
．
设三棱柱的底面边长为a ，则上底面所在圆的半径为
a ，且球心O 到上底面中心H 的距离OH=，
∴r 2=（）2
+（
a ）2，即r=a ，
∴a=．
则三棱柱的底面积为S==
．
∴
=
=．
故答案为：．
【点评】本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力，是中档题．
16．【答案】n
【解析】∵n a ，n S ，2
n a 成等差数列，∴22n n n S a a =+ 当1n =时，2
111122a S a a ==+ 又10a > ∴11a =
当2n ≥时，2
2
11122()n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，
∴22
11()()0n n n n a a a a ----+=，
∴111()()()0n n n n n n a a a a a a ---+--+=， 又10n n a a -+>，∴11n n a a --=，
∴{}n a 是等差数列，其公差为1，
∵11a =，∴*
(N )n a n n =∈．
17．【答案】 5 ．
【解析】解：∵ =（1，0）+（2，4）=（3，4）．
∴
=
=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了向量的运算法则和模的计算公式，属于基础题．
18．【答案】()0,1
【解析】
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）令
，所以x=a ．
易知，x ∈（0，a ）时，f ′（x ）＞0，x ∈（a ，+∞）时，f ′（x ）＜0． 故函数f （x ）在（0，a ）上递增，在（a ，+∞）递减． 故f （x ）max =f （a ）=alna ﹣a ．
（Ⅱ）令g （x ）=f （a ﹣x ）﹣f （a+x ），即g （x ）=aln （a ﹣x ）﹣aln （a+x ）+2x ．
所以
，当x ∈（0，a ）时，g ′（x ）＜0．
所以g （x ）＜g （0）=0，即f （a+x ）＞f （a ﹣x ）． （Ⅲ）依题意得：a ＜α＜β，从而a ﹣α∈（0，a ）．
由（Ⅱ）知，f （2a ﹣α）=f[a+（a ﹣α）]＞f[a ﹣（a ﹣α）]=f （α）=f （β）．
又2a﹣α＞a，β＞a．所以2a﹣α＜β，即α+β＞2a．
【点评】本题考查了利用导数证明不等式的问题，一般是转化为函数的最值问题来解，注意导数的应用．20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由条件知，，，
∴，，
∴，．
（Ⅱ）∵函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，
∴，
∵函数g（x）在区间[0，m]（m∈（3，4））上的图象的最高点和最低点分别为M，N，
∴最高点为，最低点为，∴，，
∴，又0≤θ≤π，∴．
【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，向量夹角公式的应用，属于基本知识的考查．
【解析】当x≥0时，
=，
x，0≤x≤a，得f（x）≥﹣
时，。

）为奇函数，
时，。

）≤f（x），
，解得：。

的取值范围是。

⎩
【解析】
试题分析：（1）由平方关系和曲线C 方程写出曲线C 的参数方程，消去参数作可得直线的普通方程；（2）由曲线C 的参数方程设曲线上C 任意一点P 的坐标，利用点到直线的距离公式求出点P 直线的距离，利用正弦函数求出PA ，利用辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质求出PA 的最大值与最小值.
试题解析：（1）曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ
=⎧⎨=⎩，（为参数），直线的普通方程为26y x =-+.
（2）曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ到的距离为|4cos 3sin 6|d θθ=
+-．
则|||5sin()6|sin 30d PA θα==+-，其中α为锐角，且4tan 3
α=，当sin()1θα+=-时，||PA 取
当sin()1θα+=时，||PA . 考点：1、三角函数的最值；2、椭圆的参数方程及直线的的参数方程.
23．【答案】
【解析】（1）证明：设BD 交AC 于M ，连接ME ．
∵ABCD 为正方形，∴M 为AC 中点，
又∵E 为A ′A 的中点，
∴ME 为△A ′AC 的中位线，
∴ME ∥A ′C ．
又∵ME ⊂平面BDE ，A ′C ⊄平面BDE ，
∴A ′C ∥平面BDE ．
（2）解：
∵V E ﹣ABD ====V A ′﹣ABCD ．
∴V A ′﹣ABCD ：V E ﹣ABD =4：1．
24．【答案】（1）(]
[),06,-∞+∞；（2）[]1,0-.
【解析】 试题分析：（1）当4a =-时，()6f x ≥，利用零点分段法将表达式分成三种情况，分别解不等式组，求得解集为(]
[),06,-∞+∞；（2）()3f x x ≤-等价于23x a x x ++-≤-，即11x a x --≤≤-在[]0,1上
恒成立，即10a -≤≤. 试题解析： （1）当4a =-时，()6f x ≥，即2426x x x ≤⎧⎨-+-≥⎩或24426x x x <<⎧⎨-+-≥⎩或4426x x x ≥⎧⎨-+-≥⎩
， 解得0x ≤或6x ≥，不等式的解集为(][),06,-∞+∞；
考
点：不等式选讲．
25．【答案】
【解析】解：（1）男、女同学各2名的选法有C 42×C 52=6×10=60种；
（2）“男、女同学分别至少有1名”包括有“一男三女”，“二男二女”，“三男一女”，
故选人种数为C 41×C 53+C 42×C 52+C 43×C 51=40+60+20=120．
男同学甲与女同学乙同时选出的种数，由于已有两人，故再选两人即可，此两人可能是两男，一男一女，两女，
故总的选法有C 32+C 41×C 31+C 42=21，
故有120﹣21=99．
26．【答案】
【解析】解： （Ⅰ）当13
PE PB =
时，//CE 平面PAD . 设F 为PA 上一点，且13
PF PA =，连结EF 、DF 、EC ， 那么//EF AB ,13
EF AB =. ∵//DC AB ，13
DC AB =，∴//EF DC ，EF DC =，∴//EC FD ． 又∵CE ⊄平面PAD ， FD ⊂平面PAD ，∴//CE 平面PAD ． （5分） （Ⅱ）设O 、G 分别为AD 、BC 的中点，连结OP 、OG 、PG ，
∵PB PC =，∴PG BC ⊥，易知OG BC ⊥，∴BC ⊥平面POG ，∴BC OP ⊥．
又∵PA PD =，∴OP AD ⊥，∴OP ⊥平面ABCD ． （8分）
建立空间直角坐标系O xyz -（如图），其中x 轴//BC ，y 轴//AB ，则有(1,1,0)A -,(1,2,0)B , (1,2,0)C -
．由(6)(2PO ==-=知(0,0,2)P ． （9分） 设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，(1,2,2)PB =-,(2,0,0)CB =u r
则00
n PB n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即22020x y z x +-=⎧⎨=⎩，取(0,1,1)n =. 设直线PA 与平面PBC 所成角为θ，(1,1,2)AP =-u u u r ，则||3sin |cos ,|||||AP n AP n AP n θ⋅=<>==⋅， ∴3π
θ=，∴直线PB 与平面PAD 所成角为3
π. （13分）
A。