2019高考数学大一轮复习 7.3二元一次不等式与简单的线性规划问题课件 理 苏教版

∴zmin＝2－2a＝1，
解得 a＝12.
例2 (2)(2019·课标全国Ⅱ)已知
a>0，x，y满足约束条件
x≥1，

x＋y≤3， 若z＝2x＋y的
y≥ax－3，
1
最小值为1，则a＝____2____.
解析
答案
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线性规划问题的解题步骤：
(1)作图——画出约束条件
所确定的平面区域和目标

x＋y≤1，
y≥－1，
所确定的平面区域和目标 函数所表示的平行直线系 中过原点的那一条直线；
且z＝2x＋y的最大值和6最小值分 别为m和n，则m－n＝________.
(2)平移——将直线平行移 动，以确定最优解的对应 点的位置；
解析
题型二 求线性目标函数的最值
答案
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例2 (1)(2019·广东改编)若变量x，
在线性约束条件下求线性目标函数的
线性规划问题
最大值 或 最小值 问题
3.应用 利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是 (1)在平面直角坐标系内作出可行域. (2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形. (3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线， 从而确定最优解. (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.
虚线，有等号时直线画成
实线.测试点可以选一个，
也可以选多个，若直线不
过原点，则测试点常选取
原点.
跟 踪 训 练 1 (1) 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 若 不 等 式 组
x＋y－1≥0，

x－1≤0， ax－y＋1≥0
(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于 4，
则 a 的值为________.
x＋y－1≥0， 即x－2y＋2≥0 为所表示的可行域.
例1 (2)如图阴影部分表示的
区域可用二元一次不等式组表
x＋y－1≥0，
示为_x_－_2_y_＋_2_≥__0.
解析
答案
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二元一次不等式(组)表示
平面区域的判断方法：
直线定界，测试点定域.
注意不等式中不等号有无
等号，无等号时直线画成
解析 直线ax－y＋1＝0过点(0,1)， 作出可行域如图知可行域由点A(1,0)，B(1，a＋1)， C(0,1)组成的三角形的内部(包括边界)， 且 a>－1，则其面积等于12×(a＋1)×1＝4， 解得a＝7. 答案 7
(2)如图所示的平面区域(阴影部分) 满足不等式_x_＋__y_－__1_>_0_.
∵z＝y－x 的最小值为－4，∴2k＝－4， 解得 k＝－12.
解析
例1 (2)如图阴影部分表示的 区域可用二元一次不等式组表
示为_________.
答案
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例1 (2)如图阴影部分表示的 区域可用二元一次不等式组表 示为_________.
解析
答案
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两直线方程分别为x－2y＋ 2＝0与x＋y－1＝0. 由 (0,0) 点 在 直 线 x － 2y ＋ 2 ＝ 0 右 下 方 可 知 x － 2y ＋ 2≥0， 又(0,0)点在直线x＋y－1＝
解析 边界对应直线方程为x＋y－1＝0，且为虚线，区域中 不含(0,0)，由以上可知平面区域(阴影部分)满足x＋y－1>0.
解析
题型二 求线性目标函数的最值
例2 (1)(2019·广东改编)若变量x，
y 满足约束条件
y≤x，

x＋y≤1，
y≥－1，
且z＝2x＋y的最大值和最小值分 别为m和n，则m－n＝________.
(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把 它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都 相同 ， 所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测 试点，由Ax0＋By0＋C的 符号 即 可 判 断Ax＋By＋ C>0表 示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域.
线 y＝kx＋43分为面积相等的两部分，则 k 的值是_________.
解析
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解析
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解析 不等式组表示的平面区域如图所示.
由于直线 y＝kx＋43过定点0，43.
因此只有直线过AB中点时，
直线 y＝kx＋34能平分平面区域. 因为 A(1,1)，B(0,4)，所以 AB 中点 Dபைடு நூலகம்12，52.
跟踪训练 2 (1)已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由
0≤x≤ 2，

不等式组y≤2， x≤ 2y
给定.若 M(x，y)为 D 上的动点，
点 A 的坐标为( 2，1)，则 z＝O→M·O→A的最大值为________.
解析
0≤x≤ 2，

由线性约束条件y≤2， x≤ 2y
解析
答案
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题型二 求线性目标函数的最值
y＝x，
x＝－1，
例y满2足约(1束)(2条01件9·广xy＋≤东yx改≤，编1，)若变量x，由∴Ay(＝－－1，1，－1)得. y＝－1，
y≥－1，
x＋y＝1， 由y＝－1，
且z＝2x＋y的最大值和最小值分 别为m和n，则m－n＝________.
画出可行域如图阴影部分所示，
目标函数 z＝O→M·O→A＝ 2x＋y，将其化为 y＝－ 2x＋z，
结合图形可知，目标函数的图象过点( 2，2)时，z 最大，
将点( 2，2)代入 z＝ 2x＋y 得 z 的最大值为 4. 答案 4
x＋y－2≥0，

(2)(2014·北京改编)若 x，y 满足kx－y＋2≥0， y≥0，
x＝2， 得y＝－1，
解析
答案
题型二 求线性目标函数的最值
例2 (1)(2019·广东改编)若变量x，∴B(2，－1).
思维升华
y 满足约束条件
y≤x，

x＋y≤1，
y≥－1，
当直线y＝－2x＋z经过点 A时，zmin＝2×(－1)－1＝ －3＝n.当直线y＝－2x＋z
且z＝2x＋y的最大值和最小值分 别为m和n，则m－n＝________.
解析
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当 y＝kx＋43过点21，52时，52＝2k＋43，
所以 k＝37.
答案
7 3
解析
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二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法： 直线定界，测试点定域. 注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线， 有等号时直线画成实线.测试点可以选一个，也可以选多个， 若直线不过原点，则测试点常选取原点.
例1 (2)如图阴影部分表示的 区域可用二元一次不等式组表 示为_________.
解析
答案
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x＋y－1≥0， 即x－2y＋2≥0 为所表示的可行域.
例1 (2)如图阴影部分表示的
区域可用二元一次不等式组表
x＋y－1≥0，
示为_x_－_2_y_＋_2_≥__0.
解析
答案
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且z＝2x＋y的最大值和6最小值分 别为m和n，则m－n＝________.
经过点B时，zmax＝2×2－ 1＝3＝m，故m－n＝6.
解析
答案
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题型二 求线性目标函数的最值
线性规划问题的解题步骤：
例2 (1)(2019·广东改编)若变量x，(1)作图——画出约束条件
y 满足约束条件
y≤x，
x＝1， 得y＝－2a，
∴zmin＝2－2a＝1，
解得 a＝12.
例2 (2)(2019·课标全国Ⅱ)已知
a>0，x，y满足约束条件
x≥1，

x＋y≤3， 若z＝2x＋y的
y≥ax－3，
1
最小值为1，则a＝____2____.
解析
答案
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x＝1， 由y＝ax－3，
x＝1， 得y＝－2a，
函数所表示的平行直线系
中过原点的那一条直线；
(2)平移——将直线平行移
动，以确定最优解的对应
点的位置；
例2 (2)(2019·课标全国Ⅱ)已知
a>0，x，y满足约束条件
x≥1，

x＋y≤3， 若z＝2x＋y的
y≥ax－3，
1
最小值为1，则a＝____2____.
解析
答案
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(3) 求 值 —— 解 方 程 组 求 出对应点坐标(即最优解)， 代入目标函数，即可求 出最值.
2.线性规划相关概念
名称
意义
约束条件 线性约束条件
目标函数 线性目标函数
由变量x，y组成的一次不等式 由x，y的 一次 不等式(或方程)组成的
不等式组 欲求 最大值 或 最小值的函数
关于x，y的 一次 解析式
可行解 可行域 最优解
满足 线性约束条件的解 所有可行解 组成的集合 使目标函数取得最大值或 最小值 的可行解
题号
1 2 3 4
答案
③ 2 m>1 －2
解析
作出不等式组表示的平面区域， 如图中阴影部分所示，z＝2x＋y， 则y＝－2x＋z.易知当直线y＝－2x＋z过点A(k，k)时， z＝2x＋y取得最小值， 即3k＝－6， 所以k＝－2.
题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
x≥0，

例 1 (1)若不等式组x＋3y≥4， 所表示的平面区域被直 3x＋y≤4
经过点B时，zmax＝2×2－ 1＝3＝m，故m－n＝6.
解析
答案
题型二 求线性目标函数的最值
例2 (1)(2019·广东改编)若变量x，∴B(2，－1).
思维升华
y 满足约束条件
y≤x，

x＋y≤1，
y≥－1，
当直线y＝－2x＋z经过点 A时，zmin＝2×(－1)－1＝ －3＝n.当直线y＝－2x＋z

x＋y≤3， 若z＝2x＋y的 y≥ax－3， 最小值为1，则a＝________.
答案
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例2 (2)(2019·课标全国Ⅱ)已知
a>0，x，y满足约束条件 x≥1，

x＋y≤3， 若z＝2x＋y的 y≥ax－3， 最小值为1，则a＝________.
解析
答案
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思考辨析 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋ C＝0的上方.( × ) (2)不等式x2－y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线 和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域.( √ )
3x－y－6<0，
数学 苏（理）
第七章 不等式
§7.3 二元一次不等式(组)与 简单的线性规划问题
基础知识·自主学习 题型分类·深度剖析 思想方法·感悟提高 练出高分
1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标 系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域 . 我们把直线画成虚线以表示区域 不包括 边界直线.当我们在 坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此 区域应包括边界直线，则把边界直线画成 实线.

(3)不等式组x－y＋2>0， x≥0，y≥0
表示的平面区域是如图所示的阴影部分.( × )
(4)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.( √ )
(5)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边 界上.( √ ) (6)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax ＋by－z＝0在y轴上的截距.( × )
且 z＝y－x 的最小值为－4，则 k 的值为________.
解析 作出可行域，如图中阴影部分所示， 直线 kx－y＋2＝0 与 x 轴的交点为 A(－2k，0).
x＋y－2≥0，

(2)(2014·北京改编)若 x，y 满足kx－y＋2≥0， y≥0，
且 z＝y－x 的最小值为－4，则 k 的值为__－__12____.
答案
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解析
题型二 求线性目标函数的最值
答案
思维升华
画出可行域，
例2 (1)(2019·广东改编)若变量x，
y 满足约束条件
y≤x，

x＋y≤1，
如图阴影部分所示.
y≥－1，
且z＝2x＋y的最大值和最小值分 别为m和n，则m－n＝________.
由z＝2x＋y， 得y＝－2x＋z.
y 满足约束条件
y≤x，

x＋y≤1，
(3) 求 值 —— 解 方 程 组 求 出对应点坐标(即最优解)，
y≥－1，
代入目标函数，即可求
且z＝2x＋y的最大值和6最小值分 别为m和n，则m－n＝________.
出最值.
解析
例2 (2)(2019·课标全国Ⅱ)已知
a>0，x，y满足约束条件 x≥1，
作出不等式组表示的可行
域，如图(阴影部分).
易知直线z＝2x＋y过交点 A时，z取最小值，
例2 (2)(2019·课标全国Ⅱ)已知
a>0，x，y满足约束条件 x≥1，

x＋y≤3， 若z＝2x＋y的 y≥ax－3， 最小值为1，则a＝________.
解析
答案
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x＝1， 由y＝ax－3，