辽宁省朝阳市2021届新高考数学二月模拟试卷含解析

辽宁省朝阳市2021届新高考数学二月模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：
记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ） A ．147 B ．294
C ．882
D ．1764
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S 的值. 【详解】 依题意列表如下：
上列乘6 上列乘5 上列乘2 1
6 30 60 12
3
15
30
13 2 10 20
14 32 152
15
15
65
6
12
16
1
5 10
所以6
603020151210147S =+++++=.
故选：A 【点睛】
本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.
2．双曲线2
2
12
y x -=的渐近线方程为（ ）
A
．y x =±
B ．y x =±
C
．y = D
．y =
【答案】C 【解析】 【分析】
根据双曲线的标准方程，即可写出渐近线方程. 【详解】
Q 双曲线22
12
y x -=, ∴
双曲线的渐近线方程为y =，
故选：C 【点睛】
本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题.
3．记n S 为数列{}n a 的前n 项和数列{}n a 对任意的*
,p q ∈N 满足13p q p q a a a +=++.若37a =-，则当n
S 取最小值时，n 等于（ ） A ．6 B ．7
C ．8
D ．9
【答案】A 【解析】 【分析】
先令1,1p q ==，找出21,a a 的关系，再令1,2p q ==，得到213,,a a a 的关系，从而可求出1a ，然后令
,1p n q ==，可得12n n a a +-=，得出数列{}n a 为等差数列，得212n n S n =-，可求出n S 取最小值.
【详解】
解法一：由()()3121113132137a a a a a =++=+++=-，所以111a =-，由条件可得，对任意的
*11,132n n n n a a a a +∈=++=+N ，所以{}n a 是等差数列，213n a n =-，要使n S 最小，由1
0,0n n a a +⎧⎨≥⎩…解
得
111322
n 剟，则6n =. 解法二：由赋值法易求得2
12311,9,7,,213,12n n a a a a n S n n =-=-=-=-=-L ，可知当6n =时，n
S 取最小值. 故选：A 【点睛】
此题考查的是由数列的递推式求数列的通项，采用了赋值法，属于中档题.
4．观察下列各式：2x y ⊗=，224x y ⊗=，33
9x y ⊗=，4417x y ⊗=，5531x y ⊗=，6654x y ⊗=，
7792x y ⊗=，L ，根据以上规律，则1010x y ⊗=（ ）
A ．255
B ．419
C ．414
D ．253
【答案】B 【解析】 【分析】
每个式子的值依次构成一个数列{}n a ，然后归纳出数列的递推关系12n n n a a a n --=++后再计算． 【详解】
以及数列的应用根据题设条件，设数字2，4，9，17，31，54，92，L 构成一个数列{}n a ，可得数
列{}n a 满足12n n n a a a n --=++()
*
3,n n ≥∈N ，
则876854928154a a a =++=++=，
9879154929255a a a =++=++=，10981025515410419a a a =++=++=．
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查归纳推理，解题关键是通过数列的项归纳出递推关系，从而可确定数列的一些项． 5．大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ）
A ．22
n n -
B ．212n -
C ．2
12n (-)
D ．22
n
【答案】B 【解析】 【分析】
直接代入检验，排除其中三个即可．
由题意10a =，排除D ，34a =，排除A ，C ．同时B 也满足512a =，724a =，940a =， 故选：B ． 【点睛】
本题考查由数列的项选择通项公式，解题时可代入检验，利用排除法求解． 6．若2m ＞2n ＞1，则（ ） A ．
11m n
＞ B ．πm ﹣n ＞1 C ．ln （m ﹣n ）＞0 D ．
112
2
log m log n ＞
【答案】B 【解析】 【分析】
根据指数函数的单调性，结合特殊值进行辨析. 【详解】
若2m ＞2n ＞1＝20，∴m ＞n ＞0，∴πm ﹣n ＞π0＝1，故B 正确； 而当m 12=
，n 1
4
=时，检验可得，A 、C 、D 都不正确， 故选：B ． 【点睛】
此题考查根据指数幂的大小关系判断参数的大小，根据参数的大小判定指数幂或对数的大小关系，需要熟练掌握指数函数和对数函数的性质，结合特值法得出选项.
7．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.
A ．6500元
B ．7000元
C ．7500元
D ．8000元
【答案】D 【解析】 【分析】
设目前该教师的退休金为x 元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可．
设目前该教师的退休金为x 元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝1．解得x ＝2． 故选D ． 【点睛】
本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题． 8．设a R ∈，0b >，则“32a b >”是“3log a b >”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
根据对数的运算分别从充分性和必要性去证明即可. 【详解】
若32a b >， 0b >，则3log 2a b >，可得3log a b >； 若3log a b >，可得3a b >，无法得到32a b >， 所以“32a b >”是“3log a b >”的充分而不必要条件. 所以本题答案为A. 【点睛】
本题考查充要条件的定义，判断充要条件的方法是：
① 若p q ⇒为真命题且q p ⇒为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件； ② 若p q ⇒为假命题且q p ⇒为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件； ③ 若p q ⇒为真命题且q p ⇒为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；
④ 若p q ⇒为假命题且q p ⇒为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件. ⑤ 判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系.
9．已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点为1F ，2F ，且C 上点P 满足120PF PF ⋅=u u u v u u u u v ，13PF =u u u v ，24PF =u u u u v
，则双曲线C 的离心率为
A ．2
B ．
C ．
52
D ．5
【答案】D 【解析】
根据双曲线定义可以直接求出a ，利用勾股定理可以求出c ，最后求出离心率. 【详解】
依题意得，2121a PF PF =-=，2
2
122
1
5F F PF PF =
+=，因此该双曲线的离心率
12
21
5F F e PF PF =
=-.
【点睛】
本题考查了双曲线定义及双曲线的离心率，考查了运算能力.
10．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝3
，那么原△ABC 的面积是( )
A 3
B ．2
C 3
D 3【答案】A 【解析】 【分析】
先根据已知求出原△ABC 的高为AO 3△ABC 的面积. 【详解】
由题图可知原△ABC 的高为AO 3 ∴S △ABC ＝12×BC×OA ＝1
2
×2×33 A 【点睛】
本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
11．执行如下的程序框图，则输出的S 是（ ）
A ．36
B ．45
C ．36-
D ．45-
【答案】A 【解析】 【分析】
列出每一步算法循环，可得出输出结果S 的值. 【详解】
18i =≤满足，执行第一次循环，()1
20111S =+-⨯=-，112i =+=； 28i =≤成立，执行第二次循环，()2
21123S =-+-⨯=，213i =+=； 38i =≤成立，执行第三次循环，()323136S =+-⨯=-，314i =+=； 48i =≤成立，执行第四次循环，()4
261410S =-+-⨯=，415i =+=； 58i =≤成立，执行第五次循环，()52101515S =+-⨯=-，516i =+=； 68i =≤成立，执行第六次循环，()62151621S =-+-⨯=，617i =+=； 78i =≤成立，执行第七次循环，()72211728S =+-⨯=-，718i =+=； 88i =≤成立，执行第八次循环，()82281836S =-+-⨯=，819i =+=； 98i =≤不成立，跳出循环体，输出S 的值为36，故选：A.
【点睛】
本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.
12．已知函数()()3sin f x x ωϕ=+，()0,0πωϕ><<，若03f π⎛⎫
-
= ⎪⎝⎭
，对任意x ∈R 恒有()3f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
，在区间ππ,155⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且只有一个1x 使()13f x =，则ω的最大值为（ ）
A ．
123
4
B ．
111
4
C ．
105
4
D ．
117
4
【答案】C 【解析】 【分析】
根据()f x 的零点和最值点列方程组，求得,ωϕ的表达式（用k 表示），根据()1f x 在ππ,155⎛⎫
⎪⎝
⎭上有且只有一个最大值，求得ω的取值范围，求得对应k 的取值范围，由k 为整数对k 的取值进行验证，由此求得
ω的最大值.
【详解】
由题意知1122
π
π,3,πππ+,32k k k Z k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=⎪⎩，则()()321,421π,
4k k ωϕ⎧+=⎪⎪⎨='+⎪⎪⎩
其中12k k k =-，21k k k '=+． 又()1f x 在ππ,155⎛⎫
⎪⎝⎭上有且只有一个最大值，所以ππ2π251515T -=≤，得030ω<≤，即()321304
k +≤，所以19.5k ≤，又k Z ∈，因此19k ≤．
①当19k =时，1174ω=，此时取3π4ϕ=可使12
π
π,3πππ+,
3
2k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩成立，当ππ,155x ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭时，()1173π 2.7π,6.6π44x +∈，所以当11173π
4.5π44
x +=或6.5π时，()13f x =都成立，舍去； ②当18k =时，1114ω=，此时取π4ϕ=可使12
π
π,3
πππ+,
3
2k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩成立，当ππ,155x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，
()111π 2.1π,5.8π44x +∈，所以当1111π
2.5π44
x +=或4.5π时，()13f x =都成立，舍去； ③当17k =时，1054ω=，此时取3π4ϕ=可使12
π
π,3πππ+,
3
2k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩成立，当ππ,155x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，
()1053π 2.5π,6π44x +∈，所以当11053π
4.5π44
x +=时，()13f x =成立； 综上所得ω的最大值为105
4
．
故选:C 【点睛】
本小题主要考查三角函数的零点和最值，考查三角函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两
点，若290ABF ∠=︒，且2ABF V 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】
设2BF x =，AB x d =+，22AF x d =+，根据勾股定理得出3x d =，而由椭圆的定义得出2ABF V 的周长为4a ，有3a d =，便可求出a 和c 的关系，即可求得椭圆的离心率. 【详解】
解：由已知，2ABF V 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列， 设2BF x =，AB x d =+，22AF x d =+，
而290ABF ∠=︒，根据勾股定理有：()()2
2
22x x d x d ++=+， 解得：3x d =，
由椭圆定义知：2ABF V 的周长为4a ，有3a d =，21BF a BF ==，
在直角21BF F V 中，由勾股定理，2
2
24a c =，即：221
2
c a =，
∴离心率22
2
2
c e a ==. 故答案为：
22
.
【点睛】
本题考查椭圆的离心率以及椭圆的定义的应用，考查计算能力.
A B C D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁14．学校艺术节对同一类的,,,
四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“A作品获得一等奖”；乙说：“C作品获得一等奖”；丙说：“B，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“是A或D作品获得一等奖”，若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是___．
【答案】C
【解析】
【分析】
假设获得一等奖的作品，判断四位同学说对的人数.
【详解】
A B C D分别获奖的说对人数如下表：
,,,
获奖作品 A B C D
甲对错错错
乙错错对错
丙对错对错
丁对错错对
说对人数 3 0 2 1
故获得一等奖的作品是C.
【点睛】
本题考查逻辑推理，常用方法有：1、直接推理结果，2、假设结果检验条件.
15．根据如图的算法，输出的结果是_________.
【答案】55
【解析】
【分析】
S=++++，可得结果
根据该For语句的功能，可得123 (10)
【详解】
S=++++
根据该For语句的功能，可得123 (10)
则()11010552
S +⨯=
=
故答案为：55 【点睛】
本题考查For 语句的功能，属基础题.
16．如图，AB 是圆O 的直径，弦,BD CA 的延长线相交于点,E EF 垂直BA 的延长线于点F ．求证：
2··AB BE BD AE AC =-
【答案】证明见解析． 【解析】
试题分析：,,,A D E F 四点共圆，所以BD BE BA BF ⋅=⋅，又△ABC ∽△AEF ，所以
AB AC
AE AF
=，即AB AF AE AC ⋅=⋅，得证．
试题解析：
A ．连接AD ，因为A
B 为圆的直径，所以AD BD ⊥， 又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆， 所以BD BE BA BF ⋅=⋅． 又△AB
C ∽△AEF ， 所以
AB AC
AE AF
=，即AB AF AE AC ⋅=⋅， ∴()2
BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点(),3A a ，点P 为抛物线C 上的动点． （1）若PA PF +的最小值为5，求实数a 的值；
（2）设线段OP 的中点为M ，其中O 为坐标原点，若MOA MAO AOF ∠=∠=∠，求OPA ∆的面积． 【答案】（1）a 的值为3-或4.（2）13
2
【解析】 【分析】
（1）分类讨论，当9
4
a >
时，线段AF 与抛物线C 没有公共点，设点P 在抛物线准线1x =-上的射影为D ，当,,D P A 三点共线时，能取得最小值，利用抛物线的焦半径公式即可求解；当9
4
a ≤时，线段AF 与
抛物线C 有公共点，利用两点间的距离公式即可求解.
（2）由题意可得//MA x 轴且 MO MA MP ==，设(),3M t ，则()2,6P t ，代入抛物线方程求出,M P ，再利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】
()1由题，()1,0F ，若线段AF 与抛物线C 没有公共点，即94
a >时，
设点P 在抛物线准线1x =-上的射影为D ， 则,,D P A 三点共线时，
PA PF +的最小值为()15AD a =--=，此时4;a =
若线段AF 与抛物线C 有公共点，即9
4
a ≤
时， 则,,A P F 三点共线时， PA PF +的最小值为：
5PF =
=，此时3a =-
综上，实数a 的值为3-或4.
()2因为MOA MAO AOF ∠=∠=∠，
所以//MA x 轴且 MO MA MP ==，
设(),3M t ，则()2,6P t ，代入抛物线C 的方程解得29,t =
于是 2
MO MA MP ===
，
所以122
OPA p S MA y ∆==
g 【点睛】
本题考查了抛物线的焦半径公式、直线与抛物线的位置关系中的面积问题，属于中档题.
18．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2
2x m y m
⎧=⎨=⎩(m 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正
半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin cos 10ρθρθ-+=. （Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程； （Ⅱ）已知点()2,1,P 设直线l 与曲线C 相交于,M N 两点，求
11PM PN
+的值.
【答案】（Ⅰ）直线l 的直角坐标方程为10x y --=；曲线C 的普通方程为2
4y x =；（Ⅱ）4
7
. 【解析】 【分析】
（I ）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；
（II
）将直线参数方程代入抛物线的普通方程，可得121214t t t t +==-，而根据直线参数方程的几何意义，知
212221112
11111
t t t PM PN t t t t t t t ++=+===-，代入即可解决.
【详解】
()I 由cos ,sin ,x y ρθρθ==
可得直线l 的直角坐标方程为10.x y --= 由曲线C 的参数方程，消去参数,m 可得曲线C 的普通方程为2
4y x =.
()II 易知点()2,1
P 在直线l 上，直线l
的参数方程为2212
x y t ⎧
=+
⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩
(t
为参数).
将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，并整理得2140t --=. 设1
2,t t 是方程2140t
--=的两根，则有121214t t t t +==-
.
212
2212
1111111t t t PM PN t t t t t t t +∴
+=+===
-
47
=
=
【点睛】
本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，直线参数方程的几何意义，是一道容易题. 19．在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示:
已知变量,x y 且有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲
$453y x =+； 乙$4105y x =-+；丙$ 4.6104y x =-+，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.
（1）试判断谁的计算结果正确？
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据”的个数X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）乙同学正确 （2）分布列见解析， ()3
2
E X = 【解析】 【分析】
（1）由已知可得甲不正确，求出样本中心点(,)x y 代入验证，即可得出结论；
（2）根据（1）中得到的回归方程，求出估值，得到“理想数据”的个数，确定“理想数据”的个数X 的可能值，并求出概率，得到分布列，即可求解. 【详解】
（1）已知变量,x y 具有线性负相关关系，故甲不正确，
6.5,79x y ==Q ，代入两个回归方程，验证乙同学正确，
故回归方程为：$4105y x =-+
（2）由（1）得到的回归方程，计算估计数据如下表：
“理想数据”有3个，故“理想数据”的个数X 的取值为:
0,1,2,3. ()0333361020C C P X C ===，()12
333
69
120
C C P X
C === ()2133369220C C P X C ===，()30333
61
120
C C P X C === 于是“理想数据”的个数X 的分布列
()199130123202020202
E X ∴=⨯
+⨯+⨯+⨯= 【点睛】
本题考查样本回归中心点与线性回归直线方程关系，以及离散型随机变量的分布列和期望，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题. 20．已知a>0，b>0，a+b=2. （Ⅰ）求
111
a b ++的最小值； （Ⅱ）证明：2.a b b a ab
+≥ 【答案】（Ⅰ）最小值为4
3
；（Ⅱ）见解析
【解析】 【分析】
（1）根据题意构造平均值不等式，结合均值不等式可得结果； （2）利用分析法证明，结合常用不等式和均值不等式即可证明. 【详解】 （Ⅰ）
11111[(1)]131a b a b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭
则1111421313
b a a b a b +⎡⎤+=++≥⎢⎥++⎣⎦ 当且仅当21
a b a b +=⎧⎨=+⎩，即32a =，12b =时，
所以
11
1
a b ++的最小值为43．
（Ⅱ）要证明：
2
a b b a ab
+≥， 只需证：
20a b b a ab
+-≥， 即证明：222
0a b ab
+-≥，
由0,0a b >>， 也即证明：222a b +≥．
因为2a b +≤
所以当且仅当a b =
时，有1≥，
即222a b +≥，当1a b ==时等号成立． 所以
2.a b b a ab
+≥ 【点睛】
本题考查均值不等式，分析法证明不等式，审清题意，仔细计算，属中档题. 21．已知函数()()0sin ax
f x e bx =，设()n f x 为()1n f x -的导数，*n N ∈．
（1）求()1f x ，()2f x ；
（2）猜想()n f x 的表达式，并证明你的结论． 【答案】()1()(
)
()1
2
22
1
sin ax f x a b e bx ϕ=++,()()()222sin 2ax
f x a b e bx ϕ=++；
()2()()
()2
22
sin n ax n f x a
b
e bx n ϕ=++，证明见解析
【解析】 【分析】
()1对函数()0f x 进行求导,并通过三角恒等变换进行转化求得()1f x 的表达式,对函数()1f x 再进行求导
并通过三角恒等变换进行转化求得()2f x 的表达式;
()2根据()1中()1f x ，()2f x 的表达式进行归纳猜想,再利用数学归纳法证明即可.
【详解】
（1）()()()()10sin cos ax
ax
f x f x ae bx be bx '
==+
(
)()ax bx bx ⎡⎤=+⎥
⎦
()sin ax bx ϕ=+
，其中sin ϕ=
，cos ϕ=
()(
)()()21sin cos ax ax
f x f x ae bx be bx ϕϕ'⎤==+++⎦
()()sin cos ax a bx b bx ϕϕ⎡⎤=+++⎣⎦[ ()
()2
2
sin 2ax
a b e bx ϕ=++
，其中sin ϕ=
，cos ϕ=
（2）猜想()(
)
()2
22
sin n
ax n
f x a b e bx n ϕ=++，*
n N ∈
下面用数学归纳法证明：
①当1n =时，()(
)
()12
22
1
sin f x a b
bx ϕ=++成立，
②假设n k =时，猜想成立 即()(
)
()2
22
sin k
ax k
f x a b e bx k ϕ=++
当1n k =+时，()()1k k f x f x +'=
(
)
()()2
22
sin cos k ax ax a b
ae bx k be bx k ϕϕ⎡⎤=++++⎣⎦
(
)
(
)()122
2
k ax
a b
e bx k bx k ϕϕ+⎡⎤=++++⎥⎦
(
)
()()1
22
2
sin 1k ax a b
e bx k k ϕ+=+++
∴当1n k =+时，猜想成立
由①②()()
()2
22
sin n ax n
f x a b e bx n ϕ=++对*
n N ∈成立
【点睛】
本题考查导数及其应用、三角恒等变换、归纳与猜想和数学归纳法;考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力;熟练掌握用数学归纳法进行证明的步骤是求解本题的关键;属于中档题. 22．已知函数()|1||1|f x ax x =++-. （1）若2a =，解关于x 的不等式()9f x <；
（2）若当0x >时，()1f x >恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}|33x x -<<（2）()0,a ∈+∞ 【解析】 【分析】
（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.
（2）对a 分成0,0,0a a a >=<三种情况，求得()f x 的最小值，由此求得a 的取值范围. 【详解】
（1）当2a =时，3,11()2112,1213,2x x f x x x x x x x ⎧
⎪>⎪
⎪
=++-=+-≤≤⎨⎪
⎪
-<-⎪⎩
，
由此可知，()9f x <的解集为{}|33x x -<<
（2）当0a >时，()()()1,11()1112,111,a x
x f x ax x a x x a a x x a ⎧
⎪+>⎪
⎪
=++-=-+-≤≤⎨⎪
⎪
-+<-⎪⎩
()f x 的最小值为1f a ⎛⎫
-
⎪⎝⎭和()1f 中的最小值，其中1111f a a ⎛⎫
-=+> ⎪⎝⎭
，(1)11f a =+>.所以()1
f x >恒成立.
当0a =时，()111f x x =-+≥，且(1)1f =，()1f x >不恒成立，不符合题意. 当0a <时，()1111,1f a f a a ⎛⎫
=+-
=+ ⎪⎝⎭
， 若20a -≤<，则()11f ≤，故()1f x >不恒成立，不符合题意；
若2a <-，则11f a ⎛⎫
-< ⎪⎝⎭
，故()1f x >不恒成立，不符合题意. 综上，()0,a ∈+∞. 【点睛】
本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
23．如图，四棱锥E ABCD -中，平面ABCD ⊥平面BCE ，若2
BCE π
∠=，四边形ABCD 是平行四边
形，且AE BD ⊥.
（Ⅰ）求证：AB AD =；
（Ⅱ）若点F 在线段AE 上，且//EC 平面BDF ，60BCD ∠=︒，BC CE =，求二面角A BF D --的余弦值.
【答案】7
【解析】 【分析】
（Ⅰ）推导出BC ⊥CE,从而EC ⊥平面ABCD,进而EC ⊥BD ，再由BD ⊥AE ，得BD ⊥平面 AEC,从而BD ⊥AC,进而四边形ABCD 是菱形，由此能证明AB=AD.
（Ⅱ）设AC 与BD 的交点为G ,推导出EC// FG ,取BC 的中点为O,连结OD,则OD ⊥BC,以O 为坐标原点，以过点O 且与CE 平行的直线为x 轴，以BC 为y 轴，OD 为z 轴，建立 空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BF-D 的余弦值. 【详解】
（Ⅰ）证明：2
BCE π
∠=
，即BC CE ⊥，
因为平面ABCD ⊥平面BCE ， 所以EC ⊥平面ABCD ， 所以EC BD ⊥， 因为BD AE ⊥， 所以BD ⊥平面AEC ， 所以BD AC ⊥，
因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以四边形ABCD 是菱形， 故AB AD =；
解法一：（Ⅱ）设AC 与BD 的交点为G ， 因为//EC 平面BDF ， 平面AEC I 平面BDF 于FG ， 所以//EC FG ， 因为G 是AC 中点， 所以F 是AE 的中点， 因为60BCD ∠=︒，
取BC 的中点为O ，连接OD ， 则OD BC ^，
因为平面ABCD ⊥平面BCE ， 所以OD ⊥面BEC ，
以O 为坐标原点，以过点O 且与CE 平行的直线为x 轴，以BC 所在直线为y 轴，以OD 所在直线为z 轴
建立空间直角坐标系.不妨设2AB =，则()0,1,0B -
，(0,A -
，(D
，11,2F ⎛- ⎝⎭
，
11,,22BF ⎛= ⎝⎭
u u u r
，(0,BA =-u u u r
，(BD =u u u r
，
设平面ABF 的法向量()1111,,n x y z =u r
，
则1111
1130230
x y z
y z ⎧++=⎪⎨⎪-+=⎩，取()
13,3,1n =-u r ， 同理可得平面DBF 的法向量()20,3,1n =-u u r
，
设平面ABF 与平面DBF 的夹角为θ，
因为1212
127cos ,27
n n n n n n ⋅===⋅u r u u r
u r u u r u r u u r ， 所以二面角A BF D --的余弦值为
77
.
解法二：（Ⅱ）设AC 与BD 的交点为G ，
因为//EC 平面BDF ，平面AEC I 平面BDF 于FG ， 所以//EC FG ， 因为G 是AC 中点， 所以F 是AE 的中点， 因为AC BD ⊥，AC FG ⊥， 所以AC ⊥平面BDF ， 所以AC BF ⊥，
取BF 中点H ，连接GH 、AH ， 因为FG BG =， 所以GH BF ⊥， 故BF ⊥平面AHG ，
所以AH BF ⊥，即AHG ∠是二面角A BF D --的平面角， 不妨设2AB =， 因为3AG =
2
GH =
在Rt AGH ∆中，tan 6AHG ∠=
所以7cos AHG ∠=
A BF D --7
.
【点睛】
本题考查求空间角中的二面角的余弦值，还考查由空间中线面关系进而证明线线相等，属于中档题.。