高考新坐标高考数学总复习 专题突破二 三角函数与平面

类型 2 三角形中的三角变换
从近两年高考试题来看，高考命题强化了解三角形的考查力 度，着重考查正弦定理、余弦定理的综合运用，求解的关键是实施 边角互化，同时结合三角恒等变形进行化简求值．
【典例 2】 (2015·青岛质检)在△ABC 中，a，b 分别是锐角 A，
B 的对边，向量 m＝(b，sin B)，n＝a，cos
(1)求 f(x)的表达式； (2)将函数 f(x)的图象向右平移π8 个单位后，再将得到的图象上 各点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数 y＝g(x)
的图象，若关于 x 的方程 g(x)＋k＝0，在区间0，π2 上有且只有一 个实数解，求实数 k 的取值范围．
[思路点拨] (1)先将 f(x)的解析式化为 f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的形式，再根据周期求 ω.
＝sin2ωx＋π3 是解题的关键所在，应确保化简的准确性．
2．研究方程解的个数问题，一般是利用图象法，而画函 数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，可令 t＝ωx＋φ，求出 t 的范围后， 只画 y＝Asin t 的图象．
【变式训练 1】 已知函数 f(x)＝2cos2x2＋sin x. (1)求 f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)求 f(x)在区间[0，π ]上的最大值与最小值．
π 3
，且
m∥n.
(1)求角 A 的大小；
(2)若 B＝π6 ，BC 边上的中线 AM＝ 7，求△ABC 的面积．
[思路点拨] (1)由 m∥n，沟通边 a，b 及角 B 间的关系，利 用正弦定理求角 A；(2)由中线 AM＝ 7，联想余弦定理求边 a，b， 进而得 S△ABC.
[规范解答] (1)由 m∥n，得 bcos π3 －asin B＝0.
∴f(x)＝sin4x＋π3 .
(2)将
π
f(x)的图象向右平移 8 个单位后，得到
y＝sin4x－π6 的
图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不
变，得到 y＝sin2x－π6 的图象． 所 令以2x－g(xπ6)＝＝sti，n2∵x－0≤π6x≤. π2 ，∴－π6 ≤t≤5π6 .
(2)根据图象变换求 g(x)，画出图象求 k 的取值范围．
[规范解答] (1)f(x)＝21sin 2ωx＋
3×1＋co2s
2ωx－
3 2
＝12sin
2ωx＋
3 2 cos
2ωx＝sin2ωx＋π3 ，
ππ
由题意知，最小正周期 T＝2× 4 ＝ 2 ，
T＝22πω＝πω＝π2 ，所以 ω＝2，
【反思启迪】
1 以平面向量为载体，实质考查三角形中的边角转化，求解 的关键是抓住边角间的关系，恰当选择正、余弦定理．
2．解三角形常与三角变换交汇在一起(以解三角形的某一结论 作为条件)，此时应首先确定三角形的边角关系，然后灵活运用三 角函数的和、差、倍角公式化简转化．
【变式训练 2】 (201Fra bibliotek·天津高考)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.已知 bsin A＝3csin B，a＝3，cos B＝32.
(2)由(1)知 f(x)＝ 2sinx＋π4 ＋1. 因为 x∈[0，π]， 所以π4 ≤x＋π4 ≤5π 4 ，
当
sinx＋π4 ＝1，即
π x＝ 4 时，f(x)max＝
2＋1；
当 sinx＋π4 ＝－ 22，即 x＝π时，f(x)min＝0.
专题突破二 高考中三角函数与平面向量问题的求 解策略
类型 1 三角函数的图象与性质
三角函数的图象与性质是高考的热点，求解这类问题不仅要熟 练掌握正弦(余弦)函数的图象与性质，而且要灵活利用两角和(差) 公式、倍角公式以及同角关系进行恒等变换，这是进一步研究函数 性质、三角函数式化简求值的基础．
【典例 1】 (2015·济南质检)已知函数 f(x)＝sin ω x·cos ω x ＋ 3cos2ω x－ 23(ω＞0)，直线 x＝x1，x＝x2 是 y＝f(x)图象的任意 两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为π4 .
[解] (1)f(x)＝2cos2x2＋sin x＝cos x＋1＋sin x
＝∴f(x2)s的in最x＋小π4正＋周1期，T＝2π. 由 2kπ－π2 ≤x＋π4 ≤2kπ＋π2 ，k∈Z，
得 2kπ－3π4 ≤x≤2kπ＋π4 ，k∈Z. 所以 f(x)的单调增区间为[2kπ－3π4 ，2kπ＋π4 ]，k∈Z.
由正弦定理，得12sin B＝sin Asin B，
由于 sin B≠0，且 A 为锐角，
∴sin
A＝12，所以
π A＝ 6 .
π (2)由(1)知 A＝B＝ 6 ， ∴AC＝b＝a，且 C＝32π. 又 AM 是△ABC 中 BC 边上的中线， ∴MC＝12BC＝12a.
在△AMC 中，AM＝ 7，由余弦定理得 AM2＝AC2＋MC2－2AC·MC·cos C， ∴7＝a2＋a22－2a·a2·cos 23π， 解得 a＝2. 从而 a＝b＝2. 故 S△ABC＝21a·b·sin C＝21×2×2·sin 32π＝ 3.
g(x)＋k＝0，在区间0，π2 上有且只有一个实数解，即函数 g(t)
＝sin t 与 y＝－k 在区间－π6 ，5π6 上有且只有一个交点．
如图所示，由正弦函数的图象可知， －12≤－k＜12或－k＝1. ∴－12＜k≤12或 k＝－1.
【反思启迪】 1.解答本题时，利用三角恒等变换得到 f(x)
(1)求 b 的值；
(2)求 sin2B－π3 的值．
[解] (1)由sina A＝sinb B，可得 bsin A＝asin B. 又由 bsin A＝3csin B，可得 a＝3c. 由于 a＝3，则 c＝1. 依据余弦定理，且 cos B＝32， ∴b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝32＋12－6×23＝6.