初中数学方程与不等式之分式方程全集汇编附解析(1)

初中数学方程与不等式之分式方程全集汇编附解析(1)
一、选择题
1．关于x 的分式方程230+=-x x a
解为4x =，则常数a 的值为( ) A ．1a = B ．2a =
C ．4a =
D ．10a =
【答案】D 【解析】 【分析】
根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a 的一次方程，解得a 的值即可． 【详解】
解：把x=4代入方程
230+=-x x a
，得 23044a +=-， 解得a=10．
经检验，a=10是原方程的解 故选D ．
点睛：此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为0．
2．若数a 使关于x 的分式方程
2311a x x x
--=--有正数解，且使关于y 的不等式组211
42
y a y y a ->-⎧⎪
⎨+⎪⎩…有解，则所有符合条件的整数a 的个数为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
根据分式方程的解为正数即可得出a>-1且a ≠1，根据不等式组有解，即可得：a<3，找出所有的整数a 的个数为2． 【详解】
解方程
2
311a x x x --=--，得： 12
a x +=，
∵分式方程的解为正数， ∴1a +>0，即a>-1，
∴
1
2
a +≠1，a ≠1， ∴a>-1且a ≠1，
∵关于y 的不等式组21142
y a y y a ->-⎧⎪
⎨+⎪⎩…有解，
∴a-1<y ≤8-2a ， 即a-1<8-2a ， 解得：a<3，
综上所述，a 的取值范围是-1<a<3，且a ≠1， 则符合题意的整数a 的值有0、2，有2个， 故选：B ． 【点睛】
本题考查了根据分式方程解的范围求参数的取值范围，不等式组的求解，找到整数解的个数，掌握分式方程的解法和不等式组的解法是解题的关键．
3．下列说法中正确的是（ ）
A ．顺次连接一个四边形四边中点得到的四边形是平行四边形
B ．9的平方根为3
C ．抛物线21
(1)32
y x =-
++的顶点坐标为(1，3) D ．关于x 的分式方程1
21
m x -=-的解为非负数，则m 的取值范围是m≥-1 【答案】A 【解析】 【分析】
根据各个选项中的说法，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】
A 、顺次连接一个四边形四边中点得到的四边形是平行四边形，该选项正确；
B 、9的平方根是±3，该选项错误；
C 、抛物线21
(1)32
y x =-++的顶点坐标为(-1，3) ，该选项错误； D 、由方程
121
m x -=-去分母得：1
2m x +=，
∵关于x 的分式方程的解为非负数，
∴
102m +≥且1
12
m x +=≠， 解得：1m ≥-且1m ≠，该选项错误；
【点睛】
本题考查了二次函数的性质、平方根、平行四边形的判定、中点四边形、解分式方程，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确．解分式方程要注意分母不能为0这个条件．
4．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为
（）
A．10000
x
﹣10=
14700
(140)0x
+B．
10000
x
+10=
14700
(140)0x
+
C．
10000
(140)0x
-﹣10=
14700
x
D．
10000
(140)0x
-+10=
14700
x
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意表示出衬衫的价格，利用进价的变化得出等式即可．【详解】
解：设第一批购进x件衬衫，则所列方程为：
10000
x +10=()
14700
1400x
+．
故选B．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键．
5．方程
24
2
22
x
x
x x
=-+
--
的解为（）
A．2 B．2或4 C．4 D．无解
【答案】C
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
去分母得：2x=（x﹣2）2+4，
分解因式得：（x﹣2）[2﹣（x﹣2）]=0，
解得：x=2或x=4，
经检验x=2是增根，分式方程的解为x=4， 故选C ． 【点睛】
此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x 米/秒，则所列方程正确的是（ ） A ．4 1.2540800x x ⨯-=
B ．800800
402.25x x -= C ．800800
401.25x x -= D ．
800800
401.25x x
-= 【答案】C 【解析】 【分析】
先分别表示出小进和小俊跑800米的时间，再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即
可． 【详解】
小进跑800米用的时间为
8001.25x 秒，小俊跑800米用的时间为800
x
秒， ∵小进比小俊少用了40秒，
方程是
800800
401.25x x
-=， 故选C ． 【点睛】
本题考查了列分式方程解应用题，能找出题目中的相等关系式是解此题的关键．
7．若关于x 的分式方程233
x m
x x -=--有增根，则m 的值是（ ） A ．1- B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B 【解析】 【分析】
根据分式方程的增根的定义得出x-3=0，再进行判断即可． 【详解】 去分母得：x-2=m ， ∴x=2+m ∵分式方程233
x m
x x -=--有增根， ∴x-3=0，
∴x= 3，
∴2+m=3，
所以m=1，
故选：B．
【点睛】
本题考查了对分式方程的增根的定义的理解和运用，能根据题意得出方程x-3=0是解此题的关键，题目比较典型，难度不大．
8．甲做480个零件与乙做360个零件所用的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做x个零件，则可以列出方程为（）
A．480360
140
x x
=
-
B．
480480
140x x
=
-
C．
480360
140
x x
+=D．
360480
140
x x
-=
【答案】A
【解析】
【分析】
设甲每天做x个零件，根据甲做480个零件与乙做360个零件所用的时间相同，列出方程即可．
【详解】
解：设甲每天做x个零件，根据题意得：480360
140
x x
=
-
，
故选：A．
【点睛】
此题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间＝工作总量÷工作效率．
9．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路xm，则根据题意可得方程( )
A．24002400
8
(120%)
x x
-=
+
B．
24002400
8
(120%)x x
-=
+
C．
24002400
8
(120%)x x
-=
-
D．
24002400
8
(120%)
x x
-=
-
【答案】A
【解析】
【分析】
求的是原计划的工效，工作总量为2400，根据工作时间来列等量关系．本题的关键描述语是：“提前8小时完成任务”；等量关系为：原计划用的时间-实际用的时间=8．
【详解】
原计划用的时间为：2400
x ，实际用的时间为：()2400120%x +．所列方程为：
2400
x
-()2400120%x +=8．
故选A 【点睛】
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题应用的等量关系为：工作时间=工作总量÷工效．
10．已知关于x 的分式方程22124
x mx
x x --=+-无解，则m 的值为（ ） A ．0 B ．0或-8
C ．-8或-4
D ．0或-8或-4
【答案】D 【解析】 【分析】
分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】
解：分式方程去分母得：（x−2）2−mx ＝（x ＋2）（x−2）， 整理得：（4＋m ）x ＝8， 当m ＝−4时整式方程无解；
当x ＝−2时原方程分母为0，此时m ＝−8； 当x ＝2时原方程分母为0，此时m ＝0， 故选：D ． 【点睛】
本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解分两种情况：去分母后所得整式方程无解；分式方程产生增根；是需要识记的内容．
11．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工3个月，这时增加了乙队，两队又共同工作了2个月，总工程全部完成，已知甲队单独完成全部工程比乙队单独完成全部工程多用2个月，设甲队单独完成全部工程需x 个月，则根据题意可列方程中错误的是（ ） A ．3212
x x +=- B ．32212x x x ++=- C ．3+2212x x +=-
D ．
3112()12
x x x ++=- 【答案】A 【解析】 【分析】
设甲队单独完成全部工程需x 个月，则乙队单独完成全部工程需要（x －2）个月，根据甲队施工5个月的工程量+乙队施工2个月的工程量=总工程量1列出方程，然后依次对各方程的左边进行变形即可判断． 【详解】
解：设甲队单独完成全部工程需x 个月，则乙队单独完成全部工程需要（x －2）个月，根据题意，得：5212
x x +=-； A 、3212
x x +=-，与上述方程不符，所以本选项符合题意； B 、32212x x x ++=-可变形为5212x x +=-，所以本选项不符合题意； C 、3+2212x x +=-可变形为52
12
x x +=-，所以本选项不符合题意； D 、
3112()12x x x ++=-的左边化简得5212x x +=-，所以本选项不符合题意． 故选：A ． 【点睛】
本题考查了分式方程的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
12．某工程队准备修建一条长1200米的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20％，结果提前两天完成任务，若设原计划每天修建道路x 米，则根据题意可列方程为（ ）. A ．12001200
2(120%)x x -=+ B ．1200
1200
2(120%)x x -=- C ．
12001200
2(120%)x x
-=+
D ．1200
1200
2(120%)x x -=-
【答案】A 【解析】
设原计划每天修建道路xm ,则实际每天修建道路为(1+20%)xm ，
由题意得,()12001200
2120%x x -=+.
故选A.
13．九年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了25分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的3倍．设骑车学生的速度为x 千米/小时，则所列方程正确的是（ ）
A ．
1010253x x -= B ．
1010
253x x
-= C ．
10105312
x x -= D ．
10105312
x x -= 【答案】D
【解析】
【分析】
设骑车学生的速度为x千米/小时，则汽车的速度为3x,先分别表示出骑自行车学生和乘汽车学生所用时间，然后根据题中所给的等量关系,即可列出方程．
【详解】
解：设骑车学生的速度为x千米/小时，则汽车的速度为3x
由题意得：10105
312 x x
-=
故答案为D．
【点睛】
本题考查了出分式方程的应用，明确题意、确定等量关系是解答本题的关键．
14．如果关于x的分式方程有负数解，且关于y的不等式组
无解，则符合条件的所有整数a的和为（）
A．﹣2 B．0 C．1 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
解关于y的不等式组，结合解集无解，确定a的范围，再由分式方程
有负数解，且a为整数，即可确定符合条件的所有整数a的值，最后求所有符合条件的值之和即可．
【详解】
由关于y的不等式组，可整理得
∵该不等式组解集无解，
∴2a+4≥﹣2
即a≥﹣3
又∵得x＝
而关于x的分式方程有负数解
∴a﹣4＜0
∴a＜4
于是﹣3≤a＜4，且a为整数
∴a＝﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3
则符合条件的所有整数a的和为0．
故选B．
【点睛】
本题考查的是解分式方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，再在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键．
15．甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做6个，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相等，求甲每小时做中国结的个数．如果设甲每小时做x个，那么可列方程为( )
A．30
x
＝
45
6
x+
B．
30
x
＝
45
6
x-
C．
30
6
x-
＝
45
x
D．
30
6
x+
＝
45
x
【答案】A
【解析】
【分析】
设甲每小时做x个，乙每小时做（x+6）个，根据甲做 30 个所用时间与乙做 45 个所用时间相等即可列方程.
【详解】
设甲每小时做 x 个，乙每小时做（x+6）个，根据甲做 30 个所用时间与乙做 45 个所用时间
相等可得30
x
=
45
6
x+
.
故选A．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，找到关键描述语，正确找出等量关系是解决问题的关键．
16．甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（）
A．180
6
x+
=
120
6
x-
B．
180
6
x-
=
120
6
x+
C．180
6
x+
=
120
x
D．
180
x
=
120
6
x-
【答案】A
【解析】
分析：直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．
详解：设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为：
1806x +=120
6x -． 故选A ．
点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键．
17．关于x 的分式方程
26
344
ax x x -+=---的解为正数，且关于x 的不等式组172
2x a x x >⎧⎪
⎨+≥-⎪⎩有解，则满足上述要求的所有整数a 的绝对值之和为（ ）
A ．12
B ．14
C ．16
D ．18
【答案】C 【解析】 【分析】
根据分式方程的解为正数即可得出a ＜2且a≠1，根据不等式组有解，即可得出a ＞-5，找出-5＜a ＜2且a≠1中所有的整数，将其相加即可得出结论． 【详解】
解分式方程
26344
ax x x -+=---得：x=4
3a -，
因为分式方程的解为正数，
所以
43a -＞0且
4
3a -≠4， 解得：a ＜3且a≠2，
解不等式172
2x a x x >⎧⎪
⎨+≥-⎪⎩，得：x≤a+7，
∵不等式组有解， ∴a+7＞1， 解得：a ＞-6，
综上，-6＜a ＜3，且a≠2，
则满足上述要求的所有整数a 的绝对值的和为： |-5|+｜-4｜+｜-3｜+｜-2｜+｜-1｜+｜0｜+｜1｜=16， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组有解，找出-6＜a ＜3且a≠2是解题的关键．
18．从4-，1-，0，2，5，8这六个数中，随机抽一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不
等式组0331016x a x -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩
无解，且关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解，则符合条件的a 的值的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
由不等式组无解确定出a 的一个取值范围、由分式方程其解为非负数确定a 的一个取值范围，综上可确定a 的最终取值范围，根据其取值范围即可判定出满足题意的值．
【详解】 解：0331016x a x -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩①②
解①得，x a <
解②得，2x ≥
∵不等式组无解
∴2a ≤ ∵2233y a y y
-+=-- ∴83
a y -= ∵关于y 的分式方程
2233y a y y -+=--有非负数解 ∴803
a y -=≥且833a -≠ ∴8a ≤且a≠-1
∴综上所述，2a ≤且1a ≠-
∴符合条件的a 的值有4-、0、2共三个．
故选：C
【点睛】
本题考查了不等式（组）的解法、分式方程的解法，能根据已知条件确定a 的取值范围是解决问题的关键．
19．初二18班为课外体育活动购买了实心球和跳绳．已知跳绳的单价比实心球的单价贵40元，购买实心球总花费为1610元，购买跳绳总花费为1650元，购买实心球的数量比跳绳的数量多8个，求实心球的单价．设实心球单价为x 元，所列方程正确的是（ ）
A ．
16501610840x x -=+ B ．16501610840x x -=+ C ．16101650840
x x -=+ D ．16101650840x x -=+ 【答案】C
【解析】
【分析】
设实心球单价为x 元，则跳绳单价为()40x +元，根据“购买实心球的数量比跳绳的数量多
8个”即可得到方程．
【详解】 解：设实心球单价为x 元，则跳绳单价为()40x +元，根据题意得，
16101650840
x x -=+． 故选：C
【点睛】
本题考查了分式方程的实际应用，解答本题的关键是审清题意，找到等量关系即可得解．
20．春节期间嘉嘉去距家10千米的电影院看电影，计划骑自行车和坐公交车两种方式，已知汽车的速度是骑车速度的2倍，若坐公交车可以从家晚15分钟出发恰好赶上公交车，结果与骑自行车同时到达，设骑车学生的速度为x 千米/小时，则所列方程正确的是( ) A ．1010152x x -= B ．1010152x x -= C ．1010124x x -= D ．1010124
x x -= 【答案】C
【解析】
【分析】
设骑车的速度为x 千米/小时，则坐公交车的速度为2x 千米/小时，根据“汽车所用时间-坐公交车所用时间15=分钟”列出方程即可得．
【详解】
设骑车的速度为x 千米/小时，则坐公交车的速度为2x 千米/小时，
∴所列方程正确的是：
1010124x x -=， 故选：C ．
【点睛】
此题考查由实际问题列分式方程，根据题意找到题目蕴含的相等关系是列方程的关键．。