高考数学高三模拟试卷试题压轴押题074

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知函数lg y x =的定义域为集合A ，集合{}
01B x x =≤≤，则A B =（ ）
A ．(0,)+∞
B ．[0,1]
C ．[0,1)
D ．(0,1]
【答案】D 【解析】
试题分析：由题意可知，{}|0A x x =>，则A B =(0,1]，故选D.
考点：集合的交集.
2．已知α为第二象限角，且sin α＝
3
5
，则tan(π＋α)的值是() A.
43
B.
34C ． 43-D ．34
- 【答案】D
考点：同角的基本关系. 3．下列说法正确的是（ ）
A ．命题“若x2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x ≠1”
B ．已知()y f x =是R 上的可导函数，则“0()0f x '=”是“0x 是函数()y f x =的极值点”的必要不充分条件
C ．命题“存在x ∈R ，使得x2＋x ＋1＜0”的否定是:“对任意x ∈R,均有x2＋x ＋1＜0”
D ．命题“角α的终边在第一象限角，则α是锐角”的逆否命题为真命题 【答案】B
考点：1.命题的真假；2. 常用逻辑关系.
4．已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( )
A ．sin 2
B ．－sin 2
C ．cos 2
D ．－cos 2
【答案】D 【解析】
试题分析：因为()()22
2sin 22cos 22r =+-=；由任意三角函数的定义：sin cos 2y
r
α==-，故答案是D.
考点：任意角的三角函数.
5．设21
log 3
a =，12
b e -=，ln
c π=，则（ ）
A ．c a b <<
B ．a c b <<
C ．a b c <<
D ．b a c << 【答案】C 【解析】
试题分析：因为1221
log 01ln 3
a b e c π-=<<=<<=，所以a b c <<.
考点：1.对数；2.大小比较.
6．设点P 是曲线3
2
33
+
-=x x y 上的任意一点,P 点处切线倾斜角α的取值范围 A ．),65[)2,0[πππ B ．),32[ππC ．),3
2[)2,0[πππ D ．]65,2(π
π【答案】C 【解析】
试题分析：因2
333y x '=≥，故切线斜率3k ≥，切线倾斜角α的取值范围是
20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭。

考点：导数的应用. 7．将函数()sin 23f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
向右平移
23
π
个单位，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =与2
x π
=-，3
x π=
，x 轴围成的图形面
积为（ ） A ．
12B ．3
2
C ．312+
D ．312-
【答案】B
考点：1.函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换；2.定积分．
8．已知函数25,(1)(),(1)x ax x f x a x x
⎧---≤⎪
=⎨ >⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（）
A ．3-≤a ＜0
B ．3-≤a ≤2-
C ．a ≤2-
D ．a ＜0 【答案】B 【解析】
试题分析：函数25,(1)(),(1)x ax x f x a x x
⎧---≤⎪=⎨ >⎪⎩是R 上的增函数，则2
5,(1)x ax x ---≤单调递增，故它的
对称轴12a -
≥，即2a ≤-，此时(1)a
x x
>也单调递增，要保证在R 上是增函数，只需在1x =满足 21151
a
a ---≤，即3a ≥-，综上所述a 的取值范围是32a -≤≤-．
考点：函数的单调性．
9．已知函数()x f y =是定义在R 上的偶函数，且()()11-=+x f x f ，当[]1,0∈x 时，()12-=x
x f ，则
函数()()ln
2
x
g x f x =-的零点个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】B
考点：函数奇偶性的性质． 10．若βα,都是锐角，且55cos =
α，10
10)sin(=-βα，则=βcos （） A ．
22B ．102C ．22或102-D ．22或10
2
【答案】A 【解析】
试题分析：因为βα,都是锐角，所以，2
2
π
π
αβ-
<-<
又因为55cos =
α，10
10
)sin(=-βα 所以()()2
2
5251310sin 1,cos 1sin 1551010ααβαβ⎛⎫=-=-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭
所以，()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ=--=-+-⎡⎤⎣⎦
531025102
5105102
=
⨯+⨯=，故选A. 考点：1、同角三角函数的基本关系；2、两角和与差的三角函数公式. 11．已知ln 1x x
a x -≤＋对任意1
[,2]2x ∈恒成立，则a 的最大值为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】A
考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
12．设函数()f x =(21)x
e x ax a --+,其中1a <，若存在唯一的整数t ，使得()0
f t <， 则a 的取值范围是（） A ．3,12e ⎡⎫-
⎪⎢⎣⎭B ．33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【答案】D 【解析】
试题分析：设()g x =(21)x
e x -，y ax a =-，由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线y ax a =-的下方.因为()(21)x
g x e x '=+，所以当12x <-
时，()g x '＜0，当12x >-时，()g x '＞0，所以当12
x =-时，max [()]g x =1
2-2e
-，当0x =时，(0)g =1，(1)30g e =>，直线y ax a =-恒过（1,0）斜率且a ，故
(0)1a g ->=-，且1(1)3g e a a --=-≥--，解得
3
2e
≤a ＜1，故选D. 考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.不等式成立问题.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．） 13．已知tan 2α=，则2
sin 2sin 2-αα=．
【答案】45
-
考点：1.同角的基本关系；2.二倍角公式.
14．已知函数()x f 的导函数为()x f '，且满足()()2'232
xf x x f +=，则()'4f =．
【答案】0 【解析】 试
题
分
析
：
因
为
()()
2'232xf x x f +=，所以'()62'(2)'(2)122'(2)'(2)12f x x f f f f =+⇒=+⇒=-，
所
以
'()624'(4)24240f x x f =-⇒=-=.
考点：导数的计算.
15.在ABC ∆中，如果cos()2sin sin 1B A A B ++=，那么△ABC 的形状是________. 【答案】等腰三角形 【解析】 试题分析：
cos()2sin sin 1,cos cos sin sin 1,cos()1B A A B A B A B A B ++=∴+=∴-=，所以在
ABC ∆中，0A B A B -=⇒=，所以此三角形是等腰三角形.
考点：解三角形.
16.已知函数()2sin f x x ω=（其中常数0ω>），若存在12,03x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，20,4x π⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
， 使得()()12f x f x =，则ω的取值范围为．
【答案】3,2⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
考点：1、函数的奇偶性；2、三角函数的图象与性质．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题10分）
已知函数()sin()(,0,0)2
f x A x x R π
ωϕωϕ=+∈><<的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间． 【答案】（Ⅰ）f(x)＝2sin(2x ＋
π6);（Ⅱ）ππ
[ππ]36
k k -+，(k ∈Z).
考点：1.正弦型函数解析式的求法；2.三角函数的单调性. 18．（本小题12分） 已知函数2
23
()m
m f x x -++=()m Z ∈是偶函数，且()f x 在(0,)+∞上单调递增．
（Ⅰ）求m 的值，并确定()f x 的解析式；
（Ⅱ）2()log [32()]g x x f x =--，求()g x 的定义域和值域。

【答案】（Ⅰ）1m =，()2
f x x =; （Ⅱ）(],2-∞
【解析】
（Ⅱ）由（Ⅰ）知()()
2
2log 23g x x x =--+，由2
230x x --+>得31x -<<，
所以()g x 的定义域为(3,1)-。

…………9分 设2
23,(3,1)t x x x =--+∈-，则(]0,4t ∈，
此时()g x 的值域，就是函数(]2log ,0,4y t t =∈的值域.
2log y t =在区间(]0,4上是增函数，所以(],2y ∈-∞；
所以函数()g x 的值域为(],2-∞.…………12分. 考点：1.幂函数的性质；2.分类讨论. 19．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，已知2
23cos cos 222
C A a c b +=． （Ⅰ）求2a c b +-的值；
（Ⅱ）若3
B π
=
，S =，求b ．
【答案】（Ⅰ）20a c b +-=; （Ⅱ）4b = 【解析】
考点：1.正弦定理；2.余弦定理. 20.(本小题满分12分)
如图，已知四棱锥S ABCD -，底面ABCD 为菱形，SA ⊥平面ABCD ，60ADC ∠=，E F ，分别是
,SC BC 的中点．
（Ⅰ）证明：SD AF ⊥；
S
B
F
C
D
E
A
（Ⅱ）若2,4AB SA ==,求二面角F AE C --的余弦值．
【答案】（Ⅰ）详见解析;
（Ⅱ）
251
17
试题解析：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ADC ∠=，可得ABC △为正三角形． 因为F 为BC 的中点，所以AF BC ⊥． 又BC AD ∥，因此AF AD ⊥．…………2分
因为SA ⊥平面ABCD ，AF ⊂平面ABCD ，所以SA AF ⊥．[来源:学。

科。

网Z 。

X 。

X 。

K] 而SA ⊂平面SAD ，AD ⊂平面SAD 且SA
AD A =，
所以AF ⊥平面SAD ．又SD ⊂平面SAD ，…………5分 所以AF SD ⊥． ………… 6分
考点：1.线面垂直的判断；2.空间向量在求二面角中的应用. 21．(本小题满分12分)
S
F C
D
E
A y
z x
已知()sin f x ax x =+()a R ∈
（Ⅰ）当1
2
a =
时，求()f x 在[0,]π上的最值； （Ⅱ）若函数()()()g x f x f x '=+在区间[,]22
ππ
-上不单调.求实数a 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）max 23()()332
ππf x f ==+，min ()(0)0f x f ==; （Ⅱ）(2,1)- 【解析】
试题分析：（I ）当12a =
时，1()sin 2f x x x =+，∴1()cos 2
f x x '=+令()0f x '=，得23πx =，列出函数的单调性表，可得max 2()(
)3
π
f x f =，min ()(0)f x f =.（II ）由题意可知
()sin cos g x ax x x a =+++
则()cos sin 2)4g x a x x a x π'=+-=-
，可得2)[2,1]4
x π
-∈-，对2a ≤-和1a ≥进行分类讨论；可知函数()()()g x f x f x '=+在区间[,]22
ππ
-上不单调，则21a -<，即可.
试题解析：解：（I ）当12a =时，1()sin 2f x x x =+，∴1
()cos 2
f x x '=+
令()0f x '=，得23πx =。

x
0 2(0,)3π
23
π 2(
,)3ππ π
()f x ' +
-
()f x
增
332
π+ 减
2
π 所以max 23()(
)33ππf x f ==min ()(0)0f x f ==…………6分. 考点：1.导数在函数单调性中的应用；2.导数在函数最值上的应用. 22．(本小题满分12分)
已知函数()ln 1f x a x x =-+()a R ∈． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若()0f x ≤在(0,)+∞上恒成立，求所有实数a 的值；
（Ⅲ）证明：
ln 2ln 3ln 4
ln (1)
345
14
n n n n -++++
<
+(,1)n N n ∈>． 【答案】（Ⅰ）递增区间为()0,a ，递减区间为(),a +∞; （Ⅱ）1a =；（Ⅲ）详见解析
试题解析：解： （I ）'()1(x 0)a a x
f x x x
-=
-=>， 当0a ≤时，'()0f x <，()f x 减区间为(0,)+∞
当0a >时，由()0f x '>得0x a <<，由()0f x '<得x a > ∴()f x 递增区间为()0,a ，递减区间为(),a +∞．…………4分
考点：1.分类讨论；2.导数在函数最值中的应用；2.导数在不等式中的应用.高考一轮复习微课视频手机观看地址：http://xkw.so/wksp
高考理科数学试题及答案
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目
要
求
的。

1.
31i
i
+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -
2. 设集合{}1,2,4A =，{}
2
40x x x m B =-+=．若{}1A
B =，则B =（）
A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百
八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏
4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某
几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π
5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =+的最小值是（）
A ．15-
B ．9-
C ．1
D ．9
6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共
有（）
A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．36种
7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，
2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家
说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的
S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
9. 若双曲线C:22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐
近线被圆()2
224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．
23
10. 若2x =-是函数2
1`
()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）
A.1-
B.32e --
C.35e -
D.1
11. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB
与1C B 所成角的余弦值为（）
A ．32
B ．155
C ．105
D ．33
12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）
A.2-
B.32-
C. 4
3
- D.1-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽
到的二等品件数，则D X =． 14. 函数()23sin 3cos 4
f x x x =+-
（0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
）的最大值是． 15. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则
11
n
k k
S ==∑． 16. 已知F 是抛物线C:2
8y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为
F N 的中点，则F N =．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）
ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2
sin()8sin 2
B
A C +=． (1)求cos B
(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b
18.（12分）
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下：
1.
设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A 的概率；
2.
填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法
3.根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）
P （
）
0.050 0.010 0.001 k
3.841 6.635
10.828
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
19.（12分）
如图，四棱锥PABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，
o 1
,90,2
AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠= E 是PD 的中点.
（1）证明：直线//CE 平面PAB
（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所
成锐角为o 45 ，求二面角MABD 的余弦值
20. （12分）
设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2
212
x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =
.
（1） 求点P 的轨迹方程；
（2）设点Q 在直线x=3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 21.（12分）
已知函数3
()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. （1）求a ；
（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且2
30()2e
f x --<<.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，按所做的第一题计
22.[选修44：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2
C 的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为(2,
)3
π
，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．
23.[选修45：不等式选讲]（10分）
已知3
3
0,0,2a b a b >>+=，证明： （1）3
3()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤．
参考答案
1．D
【解析】1是方程240x x m -+=的解，1x =代入方程得3m =
∴2430x x -+=的解为1x =或3x =，∴{}13B =，
3．B
【解析】设顶层灯数为1a ，2=q ，()7171238112
-==-a S ，解得13a =．
4．B
【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半．
2211
π310π3663π
22=-=⋅⋅-⋅⋅⋅=V V V 总上
5．A
【解析】目标区域如图所示，当直线-2y =x+z 取到点()63--，时，所求z 最小值为15-．
6．D
【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．
由此把4份工作分成3份再全排得23
43C A 36⋅=
7．D
【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．
甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．
8．B
【解析】0S =，1k =，1a =-代入循环得，7k =时停止循环，3S =． 9．A
【解析】取渐近线b
y x a =
，化成一般式0bx ay -=，圆心()20，
= 得224c a =，24e =，2e =．
10．C
【解析】M ，N ，P 分别为AB ，1BB ，11B C 中点，则1AB ，1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角
（异面线所成角为π02⎛
⎤ ⎥⎝
⎦，）
可知112MN AB =
，1122
NP BC ==， 作BC 中点Q ，则可知PQM △为直角三角形． 1=PQ ，1
2
MQ AC =
ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠
14122172⎛⎫
=+-⨯⨯⋅-= ⎪⎝⎭
，=AC
则MQ =
MQP △
中，MP = 则PMN △中，222
cos 2MN NP PM PNM MH NP
+-∠=⋅⋅
222
+-=
= 又异面线所成角为π02⎛
⎤ ⎥⎝⎦
，
．
11．A 【解析】()()21
21x f x x a x a e -'⎡⎤=+++-⋅⎣⎦，
则()()3
2422101f a a e a -'-=-++-⋅=⇒=-⎡⎤⎣⎦，
则()()211x f x x x e -=--⋅，()()212x f x x x e -'=+-⋅， 令()0f x '=，得2x =-或1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>， 当21x -<<时，()0f x '<， 则()f x 极小值为()11f =-．
12．B
【解析】几何法：
如图，2PB PC PD +=（D 为BC 中点）， 则()
2PA PB PC PD PA ⋅+=⋅，
要使PA PD ⋅最小，则PA ，PD 方向相反，即P 点在线段AD 上， 则min 22PD PA PA PD ⋅=-⋅， 即求PD PA ⋅最大值， 又3
23PA PD AD +==⨯
=， 则2
233
24PA PD PA PD ⎛⎫+⎛⎫ ⎪⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭≤， 则min 332242
PD PA ⋅=-⨯=-． 解析法：
建立如图坐标系，以BC 中点为坐标原点，
P
D C
B
A
∴()
03A ，，()10B -，，()10C ，． 设()P x y ，， ()
3PA x y
=--，，
()
1PB x y =---，，
()1PC x y =--，，
∴()
222222PA PB PC x y y ⋅+=-+
2
2
3324x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
则其最小值为33242⎛⎫
⨯-=- ⎪⎝⎭
，此时0x =，3y =．
13．1.96
【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中0.02=p ，100n =
则()11000.020.98 1.96x D np p =-=⨯⨯= 14．1
【解析】()23πsin 3cos 042f x x x x ⎛⎫⎡
⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣
⎦⎝⎭，
()231cos 3cos 4
f x x x =-+-
令cos x t =且[]01t ∈， 21
34y t t =-++
2
31t ⎛⎫
=--+ ⎪ ⎪⎝⎭
则当3
t =时，()f x 取最大值1． 15．
2+1
n n 【解析】设{}n a 首项为1a ，公差为d ．
则3123a a d =+= 414610S a d =+=
求得11a =，1d =，则n a n =，()12
n n n S +=
()()
1
1
2222
1223
11n
k k
S
n n n n ==
+++
+⨯⨯-+∑
111
111121223
11n n n n ⎛⎫=-+-++-+- ⎪-+⎝⎭
122111n n n ⎛
⎫=-=
⎪++⎝⎭
16．6
【解析】28y x =则4p =，焦点为()20F ，
，准线:2l x =-， 如图，M 为F 、N 中点，
故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线， ∵2CN =，4AF =， ∴3ME =
又由定义ME MF =， 且MN NF =， ∴6
NF NM MF =+=
17.
【解析】（1）依题得：2
1cos sin 8sin
84(1cos )22
B B B B -==⋅=-． ∵22sin cos 1B B +=， ∴2216(1cos )cos 1B B -+=， ∴(17cos 15)(cos 1)0B B --=， ∴15
cos 17
B =
， （2）由⑴可知8sin 17
B =． ∵2AB
C S =△， ∴1
sin 22
ac B ⋅=， ∴18
2217
ac ⋅=， ∴17
2ac =
， ∵15cos 17
B =
， l F
N M C B A
O
y
x
∴22215217
a c
b a
c +-=，
∴22215a c b +-=， ∴22()215a c ac b +--=， ∴2361715b --=， ∴2b =．
18．
【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B
“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C
而()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
0.62=
()0.06850.04650.01050.0085P C =⨯+⨯+⨯+⨯
0.66=
()()()0.4092P A P B P C ==
（2）
由计算可得2K 的观测值为
()2
22006266383415.705
10010096104
k ⨯⨯-⨯=
=⨯⨯⨯
∵15.705 6.635> ∴()2 6.6350.001P K ≈≥
∴有99%以上的把握产量的养殖方法有关．
（3）150.2÷=，()0.20.0040.0200.0440.032-++=
80.0320.06817÷=
，8
5 2.3517
⨯≈ 50 2.3552.35+=，∴中位数为52.35．
19．【解析】
z
y
x
M 'M
O
F
P
A
B
C
D
E
（1）令PA 中点为F ，连结EF ，BF ，CE ．
∵E ，F 为PD ，PA 中点，∴EF 为PAD △的中位线，∴1
2
EF AD ∥．
又∵90BAD ABC ∠=∠=︒，∴BC AD ∥． 又∵12AB BC AD ==
，∴1
2
BC AD ∥，∴EF BC ∥． ∴四边形BCEF 为平行四边形，∴CE BF ∥． 又∵BF PAB ⊂面，∴CE PAB 面∥
（2）以AD 中点O 为原点，如图建立空间直角坐标系．
设1AB BC ==，则(000)O ，，，(010)A -，，，(110)B -，，，(100)C ，
，，(010)D ，，， (00P ，．
M 在底面ABCD 上的投影为M '，∴MM BM ''⊥．∵45MBM '∠=︒，
∴MBM '△
为等腰直角三角形． ∵POC △为直角三角形，OC =，∴60PCO ∠=︒．
设MM a '=，
CM '=
，
1OM '=．∴100M ⎛⎫' ⎪ ⎪⎝⎭
，
，．
BM a a '==⇒
=
．∴11OM
'==． ∴100M ⎛⎫'
⎪ ⎪⎝
⎭，，10M ⎛ ⎝⎭
2611AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，，，(100)AB =，，．设平面ABM 的法向量11(0)m y z =，，． 116
0y z +
=，∴(062)m =-，， (020)AD =，，，(100)AB =，，．设平面ABD 的法向量为2(00)n z =，，，
(001)n =，，．
∴10
cos ,m n m n m n
⋅<>=
=
⋅． ∴二面角M AB D --的余弦值为10
． 20．
【解析】 ⑴设()P x y ，，易知(0)N x ，
(0)NP y =，又1022NM NP ⎛== ⎪⎝
⎭，
∴1
2M x y ⎛
⎫
⎪⎝⎭
，，又M 在椭圆上． ∴2
2122x += ⎪⎝⎭
，即222x y +=． ⑵设点(3)Q Q y -，，()P P P x y ，，(0)Q y ≠，
由已知：()(3)1P P P Q P OP PQ x y y y y ⋅=⋅---=，，， ()
2
1OP OQ OP OP OQ OP ⋅-=⋅-=，
∴2
13OP OQ OP ⋅=+=， ∴33P Q P Q P P Q x x y y x y y ⋅+=-+=．
设直线OQ ：3Q y y x =
⋅-，
因为直线l 与OQ l 垂直． ∴3
l Q
k y =
故直线l 方程为3
()P P Q
y x x y y =
-+， 令0y =，得3()P Q P y y x x -=-，
1
3
P Q P y y x x -⋅=-， ∴1
3
P Q P x y y x =-⋅+，
∵33P Q P y y x =+， ∴1
(33)13
P P x x x =-++=-，
若0Q y =，则33P x -=，1P x =-，1P y =±， 直线OQ 方程为0y =，直线l 方程为1x =-， 直线l 过点(10)-，，为椭圆C 的左焦点．
21．
【解析】 ⑴ 因为()()ln 0f x x ax a x =--≥，0x >，所以ln 0ax a x --≥．
令()ln g x ax a x =--，则()10g =，()11
ax g x a x x
-'=-
=
， 当0a ≤时，()0g x '<，()g x 单调递减，但()10g =，1x >时，()0g x <； 当0a >时，令()0g x '=，得1
x a
=． 当10x a <<
时，()0g x '<，()g x 单调减；当1
x a
>时，()0g x '>，()g x 单调增． 若01a <<，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调减，()110g g a ⎛⎫
<= ⎪⎝⎭；
若1a >，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调增，()110g g a ⎛⎫
<= ⎪⎝⎭；
若1a =，则()()min 110g x g g a ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
，()0g x ≥．
综上，1a =．
⑵()2ln f x x x x x =--，()22ln f x x x '=--，0x >．
令()22ln h x x x =--，则()121
2x h x x x
-'=-=
，0x >． 令()0h x '=得1
2
x =， 当102x <<
时，()0h x '<，()h x 单调递减；当1
2
x >时，()0h x '>，()h x 单调递增． 所以，()min 112ln 202h x h ⎛⎫
==-+< ⎪⎝⎭
．
因为()22e 2e 0h --=>，()22ln 20h =->，21e 02-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，122⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
，，
所以在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，上，()h x 即()f x '各有一个零点．
设()f x '在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上的零点分别为02x x ，
，因为()f x '在102⎛⎫
⎪⎝⎭
，上单调减，
所以当00x x <<时，()0f x '>，()f x 单调增；当01
2
x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减．因此，0x 是()f x 的极大值点．
因为，()f x '在12⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，上单调增，所以当212x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减，
2x x >时，()f x 单调增，因此2x 是()f x 的极小值点．
所以，()f x 有唯一的极大值点0x ．
由前面的证明可知，201e 2x -⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭，，则()()
24220e e e e f x f ---->=+>．
因为()00022ln 0f x x x '=--=，所以00ln 22x x =-，则 又()()22000000022f x x x x x x x =---=-，因为0102x <<，所以()01
4
f x <． 因此，()201
e 4
f x -<<
． 22．
【解析】⑴设()()00M P ρθρθ，
，， 则0||OM OP ρρ==，． 000016
cos 4ρρρθθθ
=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
解得4cos ρθ=，化为直角坐标系方程为
()
2
224x y -+=．()0x ≠
⑵连接AC ，易知AOC △为正三角形．
||OA 为定值．
∴当高最大时，AOB S △面积最大，
如图，过圆心C 作AO 垂线，交AO 于H 点 交圆C 于B 点， 此时AOB S △最大
max 1
||||2
S AO HB =⋅ ()1
||||||2
AO HC BC =
+
2=
23．
【解析】⑴由柯西不等式得：()()
()
2
2
5533
4a b a b a b ++=+=≥
1a b ==时取等号． ⑵∵332a b +=
∴()()
222a b a ab b +-+=
∴()()2
32a b b ab α⎡⎤++-=⎣⎦
∴()()3
32a b ab a b +-+=
∴()()
3
23a b ab
a b +-=+
由均值不等式可得：()()3
2
232a b a b ab a b +-+⎛⎫= ⎪+⎝⎭
≤ ∴()()3
2232a b a b a b +-+⎛⎫ ⎪+⎝⎭
≤ ∴()()3
3
324
a b a b ++-≤
∴
()3
124
a b +≤ ∴2a b +≤ 当且仅当1a b ==时等号成立．。