2020版广西高考人教A版数学(文)一轮复习考点规范练：14 导数的概念及运算 Word版含解析

考点规范练14　导数的概念及运算
一、基础巩固
1.已知函数f (x )=+1,则的值为( )3x lim Δx →0f (1-Δx )-f (1)Δx
A.-
B.
C.
D.0=-lim →0
f (1-Δx )-f (1)Δx lim Δx →0f (1-Δx )-f (1)-Δx =-f'(1)=-=-.(13×1-23)13
2.已知曲线y=ln x 的切线过原点,则此切线的斜率为( )
A.e
B.-e
C.
D.-
y=ln x 的定义域为(0,+∞),且y'=.设切点为(x 0,ln x 0),则切线方程为y-ln x 0=(x-x 0).1x 0
因为切线过点(0,0),所以-ln x 0=-1,解得x 0=e,故此切线的斜率为.1e
3.已知函数f (x )在R 上满足f (2-x )=2x 2-7x+6,则曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程是( )
A.y=2x-1
B.y=x
C.y=
3x-2 D.y=-2x+3
x=1,得f (1)=1;令2-x=t ,可得x=2-t ,代入f (2-x )=2x 2-7x+6得f (t )=2(2-t )2-7(2-t )+6,化简整理得f (t )
=2t 2-t ,即f (x )=2x 2-x ,∴f'(x )=4x-1,∴f (1)=1,f'(1)=3,∴所求切线方程为y-1=3(x-1),
即y=3x-2.
4.
已知y=f (x )是可导函数,如图,直线y=kx+2是曲线y=f (x )在x=3处的切线,令g (x )=xf (x ),g'(x )是g (x )的导函数,则g'(3)=( )
A.-1
B.0
C.2
D.4
y=f (x )在x=3处切线的斜率等于-,故f'(3)=-.
∵g (x )=xf (x ),∴g'(x )=f (x )+xf'(x ),
∴g'(3)=f (3)+3f'(3).
又由题图可知f (3)=1,∴g'(3)=1+3×=0.(-13
)
5.曲线f (x )=x 3-x+3在点P 处的切线平行于直线y=2x-1,则点P 的坐标为( )
A.(1,3)
B.(-1,3)
C.(1,3)和(-1,3)
D.(1,-3)
f (x )=x 3-x+3,∴f'(x )=3x 2-1.
设点P (x ,y ),则f'(x )=2,
即3x 2-1=2,解得x=1或x=-1,
故P (1,3)或(-1,3).
经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上,符合题意.故选C .
6.已知直线y=kx+1与曲线y=x 3+ax+b 相切于点A (1,2),则a b 等于( )
A.-8
B.-6
C.-1
D.5
y=kx+1过点A (1,2),故2=k+1,即k=1.∵y'=3x 2+a ,且直线y=kx+1与曲线y=x 3+ax+b 相切于点A (1,2),
∴k=3+a ,即1=3+a ,∴a=-2.
将点A (1,2)代入曲线方程y=x 3+ax+b ,可解得b=3,
即a b =(-2)3=-8.故选A .
7.若函数y=f (x )的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是( )
A.y=sin x
B.y=ln x
C.y=e x
D.y=x 3
P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),
则由导数几何意义可知,两条切线的斜率分别为k 1=f'(x 1),k 2=f'(x 2).
若函数具有T 性质,则k 1·k 2=f'(x 1)·f'(x 2)=-1.
A 项,f'(x )=cos x ,显然k 1·k 2=cos x 1·cos x 2=-1有无数组解,所以该函数具有性质T;
B 项,f'(x )=(x>0),显然k 1·k 2==-1无解,故该函数不具有性质T;1x 1x 1·1x 2
C 项,f'(x )=e x >0,显然k 1·k 2==-1无解,故该函数不具有性质T;
e x 1·e x 2D 项,f'(x )=3x 2≥0,显然k 1·k 2=3×3=-1无解,故该函数不具有性质T .
x 21x 22综上,选A .
8.若点P 是曲线y=x 2-ln x 上任意一点,则点P 到直线y=x-2的距离的最小值为( )
A.1
B.
C.
D.2223
(0,+∞),所以y'=2x-,令2x-=1,解得x=1,则曲线在点P (1,1)处的切线方程为x-y=0,
所以两平行线间的距离为d=.故所求的最小值为.22
=229.(2018天津,文10)已知函数f (x )=e x ln x ,f'(x )为f (x )的导函数,则f'(1)的值为 .
f (x )=e x ln x ,∴f'(x )=e x ln x+.e x x
∴f'(1)=eln 1+=e .e 1
10.曲线y=log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于 .
2e
y'=,∴k=,∴切线方程为y=(x-1),1x ln21ln21ln2
∴所围三角形的面积为S=×1×log 2
e .121ln2=12ln2=1211.(2018甘肃天水月考)设函数
f (x )=
g (x )+x 2,曲线y=g (x )在点(1,g (1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f (x )在点(1,f (1))处切线的斜率为 .
,得g'(1)=2,
∵函数f (x )=g (x )+x 2,
∴f'(x )=g'(x )+2x ,
∴f'(1)=g'(1)+2=4,
∴曲线y=f (x )在点(1,f (1))处切线的斜率为4.
12.若函数f (x )= x 2-ax+ln x 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是 .
+∞)
f (x )= x 2-ax+ln x ,
∴f'(x )=x-a+.1x
∵f (x )存在垂直于y 轴的切线,
∴f'(x )存在零点,∴x+-a=0有解,1x
∴a=x+≥2(x>0).
1x
二、能力提升
13.若函数y=f (x ),y=g (x )的导函数的图象如图所示,则y=f (x ),y=g (x )的图象可能是( )
y=f'(x )的图象知y=f'(x )在(0,+∞)内单调递减,说明函数y=f (x )的切线的斜率在(0,+∞)内也单调递减,故可排除A,C .
又由图象知y=f'(x )与y=g'(x )的图象在x=x 0处相交,
说明y=f (x )与y=g (x )的图象在x=x 0处的切线的斜率相同,故可排除B .故选D .
14.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+x-9都相切,则a 等于( )154
A.-1或-
B.-1或2564
214C.-或- D.-或725
64
y=x 3,所以y'=3x 2.
设过点(1,0)的直线与y=x 3相切于点(x 0,),
x 30则在该点处的切线斜率为k=3,所以切线方程为y-=3(x-x 0),即y=3x-2.
x 20x 30x 20x 20x 30又点(1,0)在切线上,
则x 0=0或x 0=.
32当x 0=0时,由y=0与
y=ax 2+x-9相切,154可得a=-;2564
当x 0=时,由y=x-与y=ax 2+x-9相切,可得a=-1.32274274154
15.(2018安徽六安模拟)给出定义:设f'(x )是函数y=f (x )的导函数,f″(x )是函数f'(x )的导函数,若方程 f″(x )=0有实数解x 0,则称点(x 0,f (x 0))为函数y=f (x )的“拐点”.已知函数f (x )=3x+4sin x-cos x 的“拐点”是M (x 0,f (x 0)),则点M ( )
A.在直线y=-3x 上
B.在直线y=3x 上
C.在直线y=-4x 上
D.在直线y=4x 上
,知f'(x )=3+4cos x+sin x ,f″(x )=-4sin x+cos x ,
由f″(x 0)=0,知-4sin x 0+cos x 0=0,
即4sin x 0-cos x 0=0,
所以f (x 0)=3x 0+4sin x 0-cos x 0=3x 0,
即点M (x 0,3x 0),显然在直线y=3x 上.故选B .
16.已知f (x ),g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且f (x )-g (x )=e x +x 2+1,则函数h (x )=2f (x )-g (x )在点(0,h (0))处的切线方程是 .
4=0
f (x )-
g (x )=e x +x 2+1,且f (x )是偶函数,g (x )是奇函数,
∴f (-x )-g (-x )=f (x )+g (x )=e -x +x 2+1.
∴f (x )=,g (x )=.
e x +e -x +2x 2+22
e -x -e x 2∴h (x )=2
f (x )-
g (x )=e x +e -x +2x 2+2-e -x -e x 2
=e x +e -x +2x 2+2.3212
∴h'(x )=e x -e -x +4x ,321
2
即h'(0)==1.32‒12
又h (0)=4,∴切线方程为x-y+4=0.
三、高考预测
17.设曲线y=x e x +x 2在原点处的切线与直线x+ay+1=0垂直,则a= .
y=x e x +x 2得y'=e x +x e x +2x ,
在原点处的切线的斜率k 1=e 0+0·e 0+0=1,
直线x+ay+1=0的斜率k 2=-,1a
由题意知k 1k 2=-×1=-1⇒a=1.1
a。