17窄带随机信号
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窄带信号 s (t ) 窄带随机信号
0
窄带信号 角频率
窄带信号 s (t )
s(t ) a(t )cos 0t (t )
包络 相位
窄带随机信号X (t )
单/双边谱 解析形式 误差分析 复指数形式
窄带高斯过程
希尔伯特变换
窄带信号通过窄带系统
总结
s(t ) Re s (t ) s(t ) S ( ) S ( ) 2 S ( )U ( ) s (t ) S ( )
~ ˆ(t ) s (t ) s(t ) js 1 ˆ(t ) H [ s(t )] s(t ) * h (t ) s(t ) * s t ~ ˆ ( ) S ( ) S ( ) jS ˆ ( ) S ( ) [ j sgn( )] S
窄带随机信号X (t ) 窄带随机信号
4
~ ( ) GX
区分
ˆ ( )] 2[RX ( ) jR X
2RX ( )
X(t)自相关函数的解析形式
GX ( ) F 2 RX ( )
0
0
G X ( )
0
2 2GX (0
1
0
0
X (t ) ˆ X (t )
窄带随机信号的垂直分解
X (t ) Ac (t )cos 0t As (t )sin 0t ˆ (t ) A (t )sin t A (t )cos t X
c 0 s 0
X (t ) cos 0t sin 0t AC (t ) ˆ X (t ) sin 0t cos 0t AS (t )
ˆ (t )sin t Ac (t ) X (t )cos 0t X 0 ˆ (t )cos t As (t ) X (t )sin 0t X 0
AC (t ) cos 0t sin 0t X (t ) sin t cos t ˆ 0 0 X (t ) AS (t )
AC (t )
随机部分
AS (t )
确定部分
AC (t ), AS (t )幅度特性相等，相位特性相差90度。——正交 ，垂直
复包络M (t ) A(t )e j(t ) AC (t ) jAS (t )
A(t ) (t ) AC (t ) A ( t ) S
ˆ (t ) 解析形式 X (t ) X (t ) jX
ˆ (t )的自相关函数 R ˆ ( ) X X
t
ˆ X ˆ (t ) 的互相关函数 R ˆ ( ), R ˆ ( ) X (t ), X XX XX
X
ˆ ˆ RX ˆ ( ) E X (t ) X (t )
AC (t ) AS (t )
随机部分
窄带随机信号X (t )
窄带高斯过程
期望、自相关函数、互相关函数 X (t )的分布 AC (t )，AS (t )的分布 功率谱密度、互相关函数等
随机过程的解析形式
X (t )
ˆ (t ) X
ˆ (t ) H X (t ) X (t ) * 1 随机信号X (t )的希尔伯特变换 X
RXX ˆ ( )是奇函数
RXX ˆ (0) 0
ˆ (t )在同一时刻正交。 X (t ), X
X (t ) 的自相关函数 RX ( )
RX ( ) E[ X (t ) X (t )]
ˆ (t ) X (t ) jX ˆ (t ) E X ( t ) jX RX ( ) jRXX ˆ ( ) jRXX ˆ ( ) RX ˆ ( )
RAs (t1 , t2 ) E As (t1 ) As (t2 )
ˆ (t ) cos t X (t )sin t X ˆ (t ) cos t E X (t1 )sin 0t1 X 1 0 1 2 0 2 2 0 2
窄带随机信号的垂直分解
X (t ) A(t )cos 0t (t ) A(t )cos (t) cos 0t A(t)sin (t) sin 0t
AC (t ) A(t ) cos (t ) AS (t ) A(t )sin (t )
RX ( ) cos 0t1 cos 0t2 RXX ˆ ( ) cos 0t1 sin 0t2 RXX ˆ ( )sin 0t1 cos 0t2 RX ˆ ( )sin 0t1 sin 0t2
ˆ ( ) cos t sin t RX ( ) cos 0t1 cos 0t2 R X 0 1 0 2 ˆ ( ) sin t cos t R ( ) sin t sin t R
总结
X (t )
ˆ (t ) X
RX GX ˆ ( ) RX ( ) ˆ () GX ()
ˆ RXX ( ) R G XX ˆ ˆ j sgn G X X ( )
ˆ RXX ( ) R G XX ˆ ˆ j sgn G X X ( )
奇函数
RX ( ) 2RX ( ) GX () 4GX ()U ()
§6.2 窄带随机信号 角频率
窄带随机信号的数学模型 X (t ) A(t )cos 0t (t )
ˆ (t ) A(t )sin t (t ) X 0
随机包络
随机相位
慢变换
ˆ (t )的自相关函数和功率谱密度 求：1、X ˆ (t )的互相关函数和互谱密度 2、X (t )和X 3、X (t )的自相关函数和功率谱密度 4、X (t )自相关函数的包络、预包络和复包络 和对应的功率谱密度，并画出其图形。
5、若X (t )的复包络为M (t )，求其自相关函数RM ( )
总结
相关函数之间的关系
RX ˆ ( )
RM ( )
谱之间的关系
RX ( )
RXX ˆ ( ), RXX ˆ ( )
RX ( )
RX ( )
ˆ ( ) R X
GX ˆ ( )
GM ( )
GX ( )
GXX ˆ (), GXX ˆ ()
GX ( )
三种谱图之间的互求
G X ( )
X (t ) A(t )e j(t ) e j0t M (t ) e j0t
复包络 复载频
X (t )平稳 X (t )平稳
M * (t )e j0 M (t )e j0 (t ) RX ( ) E X * (t ) X (t ) E E M * (t )M (t ) e j0 RM ( )e j0 复包络的自相关函数 GX () GM ( 0 )
1
0
~ ( ) GX
0
0
4
4
GM ( )
0
0
0
0
0
0
GX () 4GX ()U ()
GM ( 0 ) GX ()
举例（窄带随机信号）
已知窄带随机过程X (t )的自相关函数为 RX ( ) e
| |
cos 0
0 200
希尔伯特变换是线性变换。
ˆ (t )平稳，X (t )和X ˆ (t )联合平稳 X (t )平稳 X (t )平稳 X
ˆ ˆ RX ˆ ( ) E X (t ) X (t ) RX ( ) h ( ) h ( ) RX ( )
频域法计算RX ˆ ( )
窄带随机信号 角频率
解析形式 复指数形式
希尔伯特变换
确定部分
) 0t (t ) X (t ) s A(t )cos 窄带信号
随机包络 随机相位
X (t ) A(t )cos 0t (t ) A(t )cos (t) cos 0t A(t)sin (t) sin 0t
Lp[A]表示取A部分的低频部分
AC (t ), AS (t )的统计特性
RAC (t1 , t2 ) E AC (t1 ) AC (t2 )
ˆ (t )sin t X (t ) cos t X ˆ (t )sin t E X (t1 ) cos 0t1 X 1 0 1 2 0 2 2 0 2
窄带随机过程垂直分解的统计特性
X (t )的统计特性 AC (t ), AS (t )的统计特性 已知：窄带随机过程X (t )是零均值的实平稳过程，功率谱密度如下
GX ( )
0
0
0
o
X (t )实平稳
①
X (t ) AC (t ) ˆ , 间线性变换 X (t ) AS (t )
GX ˆ ( ) GX ( ) H ( ) GX ( ) j sgn( ) GX ( )
2
2
希尔伯特变换前后自相关函数相等。
ˆ (t ) 的互相关函数 R ˆ ( ), R ˆ ( ) X (t ), X XX XX
ˆ ˆ RXX ˆ ( ) E X (t ) X (t ) RX ( ) h ( ) H RX ( ) RX ( )
自相关函数 RAC ( ) E AC (t ) AC (t )
③
RAS ( ) E AS (t ) AS (t ) ˆ ( )sin RAc ( ) RAs ( ) RX ( )cos 0 R X 0
GAc () GAs () Lp GX ( 0 ) GX ( 0 )
AC (t )，AS (t )均实平稳
ˆ (t )实平稳 X
AC (t ), AS (t )的统计特性
ˆ (t ) =0 数学期望 E X (t ) =0 E X
②
AC (t ) cos 0t sin 0t E X (t ) 0 E sin t cos t ˆ 0 0 0 E X (t ) AS (t )
X 0 1 0 2 X 0 1
窄带信号 统计特性
0 2
和差化积
ˆ ( )sin t t RX ( ) cos 0 t2 t1 R X 0 2 1
ˆ ( )sin R ( ) RX ( ) cos 0 R X 0 Ac
AC (t ), AS (t )的统计特性
ˆ RXX ˆ ( ) E X (t ) X (t )
X (t ) 的自相关函数 RX ( )
ˆ (t ) 的自相关函数 R ˆ ( ) X X
平稳 高斯 各态 历经
X (t )
输入输出联合平稳
ˆ (t ) X
平稳 高斯 各态 历经
ˆ (t ) X (t ) * 1 X t
X(t)自相关函数的希尔伯特变换
区分符号 RX ˆ ( ) ：X(t)希尔伯特变换的自相关函数 GXX ˆ () j sgn() GX ()
1 ˆ ( ) R ˆ ( ) RXX ) RX ( ) R ˆ ( ) RX ( ) h ( XX X t RXX ( ) R ( ) ˆ ˆ XX
0
窄带信号 角频率
窄带信号 s (t )
s(t ) a(t )cos 0t (t )
包络 相位
窄带随机信号X (t )
单/双边谱 解析形式 误差分析 复指数形式
窄带高斯过程
希尔伯特变换
窄带信号通过窄带系统
总结
s(t ) Re s (t ) s(t ) S ( ) S ( ) 2 S ( )U ( ) s (t ) S ( )
~ ˆ(t ) s (t ) s(t ) js 1 ˆ(t ) H [ s(t )] s(t ) * h (t ) s(t ) * s t ~ ˆ ( ) S ( ) S ( ) jS ˆ ( ) S ( ) [ j sgn( )] S
窄带随机信号X (t ) 窄带随机信号
4
~ ( ) GX
区分
ˆ ( )] 2[RX ( ) jR X
2RX ( )
X(t)自相关函数的解析形式
GX ( ) F 2 RX ( )
0
0
G X ( )
0
2 2GX (0
1
0
0
X (t ) ˆ X (t )
窄带随机信号的垂直分解
X (t ) Ac (t )cos 0t As (t )sin 0t ˆ (t ) A (t )sin t A (t )cos t X
c 0 s 0
X (t ) cos 0t sin 0t AC (t ) ˆ X (t ) sin 0t cos 0t AS (t )
ˆ (t )sin t Ac (t ) X (t )cos 0t X 0 ˆ (t )cos t As (t ) X (t )sin 0t X 0
AC (t ) cos 0t sin 0t X (t ) sin t cos t ˆ 0 0 X (t ) AS (t )
AC (t )
随机部分
AS (t )
确定部分
AC (t ), AS (t )幅度特性相等，相位特性相差90度。——正交 ，垂直
复包络M (t ) A(t )e j(t ) AC (t ) jAS (t )
A(t ) (t ) AC (t ) A ( t ) S
ˆ (t ) 解析形式 X (t ) X (t ) jX
ˆ (t )的自相关函数 R ˆ ( ) X X
t
ˆ X ˆ (t ) 的互相关函数 R ˆ ( ), R ˆ ( ) X (t ), X XX XX
X
ˆ ˆ RX ˆ ( ) E X (t ) X (t )
AC (t ) AS (t )
随机部分
窄带随机信号X (t )
窄带高斯过程
期望、自相关函数、互相关函数 X (t )的分布 AC (t )，AS (t )的分布 功率谱密度、互相关函数等
随机过程的解析形式
X (t )
ˆ (t ) X
ˆ (t ) H X (t ) X (t ) * 1 随机信号X (t )的希尔伯特变换 X
RXX ˆ ( )是奇函数
RXX ˆ (0) 0
ˆ (t )在同一时刻正交。 X (t ), X
X (t ) 的自相关函数 RX ( )
RX ( ) E[ X (t ) X (t )]
ˆ (t ) X (t ) jX ˆ (t ) E X ( t ) jX RX ( ) jRXX ˆ ( ) jRXX ˆ ( ) RX ˆ ( )
RAs (t1 , t2 ) E As (t1 ) As (t2 )
ˆ (t ) cos t X (t )sin t X ˆ (t ) cos t E X (t1 )sin 0t1 X 1 0 1 2 0 2 2 0 2
窄带随机信号的垂直分解
X (t ) A(t )cos 0t (t ) A(t )cos (t) cos 0t A(t)sin (t) sin 0t
AC (t ) A(t ) cos (t ) AS (t ) A(t )sin (t )
RX ( ) cos 0t1 cos 0t2 RXX ˆ ( ) cos 0t1 sin 0t2 RXX ˆ ( )sin 0t1 cos 0t2 RX ˆ ( )sin 0t1 sin 0t2
ˆ ( ) cos t sin t RX ( ) cos 0t1 cos 0t2 R X 0 1 0 2 ˆ ( ) sin t cos t R ( ) sin t sin t R
总结
X (t )
ˆ (t ) X
RX GX ˆ ( ) RX ( ) ˆ () GX ()
ˆ RXX ( ) R G XX ˆ ˆ j sgn G X X ( )
ˆ RXX ( ) R G XX ˆ ˆ j sgn G X X ( )
奇函数
RX ( ) 2RX ( ) GX () 4GX ()U ()
§6.2 窄带随机信号 角频率
窄带随机信号的数学模型 X (t ) A(t )cos 0t (t )
ˆ (t ) A(t )sin t (t ) X 0
随机包络
随机相位
慢变换
ˆ (t )的自相关函数和功率谱密度 求：1、X ˆ (t )的互相关函数和互谱密度 2、X (t )和X 3、X (t )的自相关函数和功率谱密度 4、X (t )自相关函数的包络、预包络和复包络 和对应的功率谱密度，并画出其图形。
5、若X (t )的复包络为M (t )，求其自相关函数RM ( )
总结
相关函数之间的关系
RX ˆ ( )
RM ( )
谱之间的关系
RX ( )
RXX ˆ ( ), RXX ˆ ( )
RX ( )
RX ( )
ˆ ( ) R X
GX ˆ ( )
GM ( )
GX ( )
GXX ˆ (), GXX ˆ ()
GX ( )
三种谱图之间的互求
G X ( )
X (t ) A(t )e j(t ) e j0t M (t ) e j0t
复包络 复载频
X (t )平稳 X (t )平稳
M * (t )e j0 M (t )e j0 (t ) RX ( ) E X * (t ) X (t ) E E M * (t )M (t ) e j0 RM ( )e j0 复包络的自相关函数 GX () GM ( 0 )
1
0
~ ( ) GX
0
0
4
4
GM ( )
0
0
0
0
0
0
GX () 4GX ()U ()
GM ( 0 ) GX ()
举例（窄带随机信号）
已知窄带随机过程X (t )的自相关函数为 RX ( ) e
| |
cos 0
0 200
希尔伯特变换是线性变换。
ˆ (t )平稳，X (t )和X ˆ (t )联合平稳 X (t )平稳 X (t )平稳 X
ˆ ˆ RX ˆ ( ) E X (t ) X (t ) RX ( ) h ( ) h ( ) RX ( )
频域法计算RX ˆ ( )
窄带随机信号 角频率
解析形式 复指数形式
希尔伯特变换
确定部分
) 0t (t ) X (t ) s A(t )cos 窄带信号
随机包络 随机相位
X (t ) A(t )cos 0t (t ) A(t )cos (t) cos 0t A(t)sin (t) sin 0t
Lp[A]表示取A部分的低频部分
AC (t ), AS (t )的统计特性
RAC (t1 , t2 ) E AC (t1 ) AC (t2 )
ˆ (t )sin t X (t ) cos t X ˆ (t )sin t E X (t1 ) cos 0t1 X 1 0 1 2 0 2 2 0 2
窄带随机过程垂直分解的统计特性
X (t )的统计特性 AC (t ), AS (t )的统计特性 已知：窄带随机过程X (t )是零均值的实平稳过程，功率谱密度如下
GX ( )
0
0
0
o
X (t )实平稳
①
X (t ) AC (t ) ˆ , 间线性变换 X (t ) AS (t )
GX ˆ ( ) GX ( ) H ( ) GX ( ) j sgn( ) GX ( )
2
2
希尔伯特变换前后自相关函数相等。
ˆ (t ) 的互相关函数 R ˆ ( ), R ˆ ( ) X (t ), X XX XX
ˆ ˆ RXX ˆ ( ) E X (t ) X (t ) RX ( ) h ( ) H RX ( ) RX ( )
自相关函数 RAC ( ) E AC (t ) AC (t )
③
RAS ( ) E AS (t ) AS (t ) ˆ ( )sin RAc ( ) RAs ( ) RX ( )cos 0 R X 0
GAc () GAs () Lp GX ( 0 ) GX ( 0 )
AC (t )，AS (t )均实平稳
ˆ (t )实平稳 X
AC (t ), AS (t )的统计特性
ˆ (t ) =0 数学期望 E X (t ) =0 E X
②
AC (t ) cos 0t sin 0t E X (t ) 0 E sin t cos t ˆ 0 0 0 E X (t ) AS (t )
X 0 1 0 2 X 0 1
窄带信号 统计特性
0 2
和差化积
ˆ ( )sin t t RX ( ) cos 0 t2 t1 R X 0 2 1
ˆ ( )sin R ( ) RX ( ) cos 0 R X 0 Ac
AC (t ), AS (t )的统计特性
ˆ RXX ˆ ( ) E X (t ) X (t )
X (t ) 的自相关函数 RX ( )
ˆ (t ) 的自相关函数 R ˆ ( ) X X
平稳 高斯 各态 历经
X (t )
输入输出联合平稳
ˆ (t ) X
平稳 高斯 各态 历经
ˆ (t ) X (t ) * 1 X t
X(t)自相关函数的希尔伯特变换
区分符号 RX ˆ ( ) ：X(t)希尔伯特变换的自相关函数 GXX ˆ () j sgn() GX ()
1 ˆ ( ) R ˆ ( ) RXX ) RX ( ) R ˆ ( ) RX ( ) h ( XX X t RXX ( ) R ( ) ˆ ˆ XX