[整理]83再探实际问题与二元一次方程组

8.3再探实际问题与二元一次方程组
☆趣味导读
许多实际问题都可以通过设两个（或更多）未知数，列出方程或方程组来解决，这种方法要比其他方法简单、容易得多.下面这则小故事最早出现于《希腊文选》，读完后，试试看，聪明的你能否知道驴和骡各驮着几个包裹呢？（假定每个包裹重量相等）
驴和骡肩并肩走在街上，各自都驮着几个包裹，驴抱怨主人给它压的担子太重，骡却说：“老兄，别抱怨，你的负担并不算重！你瞧，假如你从背上拿一个包裹给我，我的负担就是你的两倍；而假如你从你的背上取走一个包裹，你的负担也不过和我相同呀！”
☆智能点拨
【例1】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？
【点拨】两个未知数是制盒身、盒底的铁皮张数，两个相等关系是：①制盒身铁皮张数+制盒底铁皮张数=190；②制盒身铁皮张数的2倍=制盒底铁皮张数.
【答案】设x 张铁皮制盒身，y 张铁皮制盒底，根据题意，得{1902822x y x y
+=⨯=解这个方程组，得{11080x
y ==答：用110张制盒身，800张制盒底，正好制成一批完整的盒子.
【例2】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由.
【点拨】题目中涉及的未知数较多：甲、乙单独完成所需的时间，甲、乙单独完成所需的工钱.我们可以根据第一类等量关系：（1）甲、乙两个装饰公司合作6周完成；（2）甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成；列方程组求出甲、乙单独完成所需的时间.再根据另一类等量关系：（1）甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；（2)甲公司单独做4周后剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元，由此在得到一个方程组.
【答案】设甲公司单独完成需x 周，需工钱a 元；乙公司单独完成需y 周，需工钱b
元，依题意可得661491x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩采取换元法可解得{1510y x ==∴依题意可得
5.2101549 4.81015
a b a b ⎧+=⎪⎨⎪⨯+⨯=⎩解得 {64
a b == 即甲公司单独完成需6万元，乙公司单独完成需4万元，故从节约的角度考虑，应选乙公司单独完成.
【例3】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应缴利息所得税=利息金额×20%）
【点拨】扣税的情况：本金×年利率×(1-20%)×年数=利息（其中，利息所得税=利息
金额×20%）.不扣税时：利息=本金×年利率×年数.
【答案】设第一种储蓄的年利率为x ，第二种储蓄的年利率为y ，根据题意，得 {
2000(120%)1000(120%)43.923.24%x y x y -+-=+=整理得{160080043.920.00324x y x y +=+=解这个方程组，得
{0.0225 2.25%0.00990.99%x y ==== 答：第一种储蓄的年利率为2.25%，第二种储蓄的年利率为0.99%.
☆随堂反馈
*画龙点睛
1.小明对小飞说：“我想了两个数，如果第一个数加上第二个数的一半得90；若果第二个数减去第一个数的三分之一得68.”小飞很快说出了小明想好的数.小明想好的两个数是 .
2.某车间有62个工人，生产甲、乙两种零件，每3个甲种零件和2个一种零件配成一套.已知每人每天能加工甲种零件12个或乙种零件23个；现将62个工人分成2组，其中x 人加工甲种零件，y 人加工乙种零件，要使每天生产的零件配成套，则x= ,y= .
3.甲、乙两个团体共100人去风景区旅游风景区规定超过60人可购买团体票，已知每张团体票比个人票优惠20%，而甲、乙两团体人数均不足60人；两团体决定合起来买团体票，共优惠1600元.则团体票为每张 元.
4.某人只带2元和5元两种货币，他要买一件27元的商品；而商店不给他找钱，要他恰好付27元，他有 种付款方式.
*慧眼识金
1.有一个两位数，它的十位上的数与个位上的数的和是6，则符合条件的两位数有（ ）
A.4个
B.5个
C.6个
D.无数个
2.商店购进某种商品的进价是每件8元，销售价是每件10元，现为了扩大销售量，
将每件降低x%出售，但要求每件商品所获得的利润是降价前的90%，则x等于（）
A.10
B.4
C.2
D.1.8
3.某次知识竞赛共出了25道题，评分标准如下：答对1题加4分，答错一题扣1分，不答记0分；已知李同学不答的题比答错的题多2个，他的总分为74分，则他答对了（）
A.18个
B.19个
C.20个
D.21个
☆课后沟通
1.甲、乙两人的收入之比为4∶3，支出之比为8∶5，一年间两人各存了500元，求两人的年收入各是多少？
2.甲轮船从A码头顺流而下，乙轮船从B码头逆流而上，两船同时出发相向而行，相遇于中点；而乙船顺流航行的速度是甲船逆流航行的速度的2倍.已知水流速度是4km/h，求两船在静水中的速度.
3.有两个长方形，其中第一个长方形的长与宽之比为5∶4，第二个长方形的长与宽之比为3∶2，第一个长方形的周长比第二个长方形的周长大112cm，第一个长方形的宽比第二个长方形的长的2倍还大6cm，求这两个长方形的面积.
☆同步闯关
某一弹簧悬挂2kg物体时长13cm，悬挂5kg物体时长14.5cm，问：
(1)弹簧原长是多少？
(2)当悬挂3kg的物体时，该弹簧的长度是多少？
☆能力比拼
在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车量数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：
甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆.”
乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆.”
丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路的2倍.”
请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？
☆创新乐园
一位农场主，又老又病，觉得自己的日子不多了.这是他打算，按如下的次序和方式分配他的财产：
第一个儿子分100美元换剩下的财产的10%；
第二个儿子分200美元和剩下的财产的10%；
第三个儿子分300美元和剩下的财产的10%；
第四个儿子分400美元和剩下的财产的10%；
……
结果，没个儿子分的一样多，你能猜到这位老人共有几个儿子吗？
☆单元中考链接
1.(2002年，湖南省)二元一次方程组{1021
x y x y +=-=-的解是（ ） A. {37x y == B. 11
3193x y ==⎧⎪⎨⎪⎩ C. {28x y == D. {
73x y == 【点拨】根据二元一次方程组的解的定义知道，二元一次方程组的解必须同时使两个方程都成立.
【答案】A
2.(吉林省)二元一次方程组
{3827x y x y +=-=的解是 . 【点拨】利用加减消元法
【答案】{31
x y ==- 3.(新疆乌鲁木齐)今年世界杯足球赛的积分方法如下：赢一场得3分，平一场得1分，输一场得0分.某小组四个队进行单循环赛后，其中一队积了7分，若该队赢了x 场，平了y 场，则(x,y)是（ ）
A.(1,4)
B.(2,1)
C.(0,7)
D.(3,-2)
【点拨】由题意可知3x+y=7 ∵x 、y 都是整数，且0≤x ≤3，0≤y ≤3，∴只有当x=2，y=1时，符合单循环赛制，有3×2+1=7.
【答案】B.
☆单元课题研究
【提出问题】要用20张白卡纸做包装盒，每张白卡纸可以做盒身2个，或者做盒盖3个。

如果1个盒身和两个底盖可以做成1个包装盒，那么能否把这些白卡纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒底盖，使做成的盒身和盒底盖正好配套？请你设计一种分法.
如果不允许剪开白卡纸（即一张白卡纸不能既做盒身，又做盒底盖），能不能找到符合题意的分法？如果允许剪开一张白卡纸，怎样才能既符合题意，又能最充分的利用白卡纸？
【探究准备】解本题的关键是抓住两个等量关系：（1）做盒身的白卡纸张数+做盒底盖的白卡纸的张数=20；（2）盒底盖的个数=盒身个数的2倍.
【探究过程】设用x 张白卡纸做盒身，y 张白卡纸做盒底盖，根据题意，得{20322x y y x +==⨯解得8114
737
x y ==⎧⎪⎨⎪⎩ 显然，如果不允许剪开白卡纸，就不能找到符合题意的分法.如果允许
剪开白卡纸，我们可以用8张白卡纸做盒身，可做8×2=16（个）；用11张白卡纸做盒底盖，
可做3×11（个）；余下的1张白卡纸剪成两半，一半做盒身，一半做盒底盖，一共可以做17个包装盒，这样也充分地利用了材料.
【探究过程】现实生活中有许多问题，往往隐含着量与量之间的关系，可通过建立数学模型解决.
单元综合评估
一、填空题
1.已知方程x m +12
y 2n+2=0是二元一次方程，则m+n= . 2.若{12
x y ==是关于x 、y 的方程(ax+by-12)2+|ax-by+1|=0的一组解，则a= ，b= .
3.当x 取-1，0时，代数式ax 2+bx-a 的值分别是2，-3，则a= ，b= .
4.在正整数范围内，方程3x+y=5的解是 .
5.已知二元一次方程6(x+y)-5(2x-3y)=1,用含x 的代数式表示y 就是 .用含y 的代数式表示x 就是 .
6.要使方程组{21620
x ay x y +=-=有正整数解，那么整数a 的取值是 . 7.请你写出一个以{17
x y =-=为解的二元一次方程组 . 8.某人言电车路线行走，每12min 有一辆电车从后面追上，每4min 有一辆电车迎面而来，若行人与电车都是匀速前进，则电车每个min 从起点开出一辆.
二、选择题
1.在二元一次方程组{3921
mx y x y +=-=中，若这个方程组没有解，则（ ） A.m=9 B.m=6 C.m=-6 D.m=-9
2.与二元一次方程3x-y=2组成的方程组有无数各解的方程是（ ）
A.6x+y=4
B.x+y=3
C.6x-2y=4
D.7x-2y=5
3.一个两位数加上18，它的个位数字与十位数字恰好换了位置，则这个两位数是（ ）
A.13
B.13或24
C.由9种可能性
D.有7种可能性
4.有一些苹果箱，若每只装苹果25kg ，则剩余40kg 无处装；若每只装苹果30kg ，则余下20只空箱子，这些苹果箱有（ ）
A.12只
B.60只
C.112只
D.128只
三、解答题
1.用适当的方法解方程组
(1)
{25254315x y x y +=+= (2) {32(2)3114(2)45x x y x x y -+=++=
(3) 12023x y x y +=-=⎧⎪⎨⎪⎩ (4) {
50015%(10%)950x y x x y y -=+--= 2.已知方程组2
258
x y x y z ==++=⎧⎪⎨⎪⎩，且3x-2y=a ，求a 的值.
3.已知方程(m-2)x
|m|-1+(n+3)y n-8=6时二元一次方程，求m 、n 的值；若x=12，求y 的值.
4.已知方程组{15
ax y x by -=+=，若求a 、b 的值，可增加什么条件？按你增加的条件，求出a 和b 的值.
5.某同学在A 、B 两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包的单价之和是452元，且随身听的单价比书包的单价的4倍少8元.
（1）求该同学看中的随身太和书包的单价是多少元？
（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A 所有商品8折销售，超市B 全场购物满100元返30元购物券（不足100元不返券，购物券全程通用），但他只带400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都选择，那一家购买更省钱？
四、开放题
某地生产一种“绿色蔬菜”，若在市场上直接销售，每吨利润1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家农工商公司收购这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行.因受季节等条件限制，公司必须在15天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此，公司制订了三种可行方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工.
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及进行精加工的蔬菜，在市场上直接销售.
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成.
你认为选择哪种方案获利最多？为什么？
七年级数学下册第八章8.1～8.2水平测试（Ａ）
一、耐心填一填，一锤定音！（每小题6分，共30分）
1．在方程427x y -=中，如果用含有x 的式子表示y ，则y =_____．
2．若方程4mx y -=的一个解是43x y =⎧⎨=⎩
，，则m =_____． 3．请写出一个以51
x y =⎧⎨=⎩，为解的二元一次方程组_____．
4．在二元一次方程2()15x y x y ++=-中，当3y =时，x =_____．
5．学校的篮球数比排球数的2倍少3个，篮球数与排球数的比是3:2，求这两种各有多少个？若设篮球有x 个，排球有y 个，则依题意得到的方程组是_____．
二、精心选一选，慧眼识金！（每小题5分，共15分）
1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
Ａ．44129x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， Ｂ．2537x y y z +=⎧⎨+=⎩， Ｃ．146x x y =⎧⎨-=⎩， Ｄ．421x y xy x y -=⎧⎨-=⎩
， 2．下列说法中正确的是（ ）
Ａ．二元一次方程中只有一个解
Ｂ．二元一次方程组有无数个解
Ｃ．二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的公共解
Ｄ．判断一组解是否为二元一次方程的解，只需代入其中的一个二元一次方程即可
3．西部山区某县响应国家“退耕还林”的号召，将该县一部分耕地改还为林地，改还后，林地面积和耕地面积共有2
180km ，耕地面积是林地面积的25%，设改还后耕地面积为2km x ，林地面积为2km y ，则下列方程组中，正确的是（ ）
Ａ．18025%x y y x +=⎧⎨=⎩
， Ｂ．18025%x y x y +=⎧⎨=⎩， Ｃ．18025%x y x y +=⎧⎨-=⎩， Ｄ．18025%
x y y x +=⎧⎨-=⎩， 三、用心做一做，马到成功！（本大题共20分）
1．（本题10分）解方程组：
（1）25437x y x y +=⎧⎨+=⎩，；（2）7432143
2x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，．
2．（本题10分）已知等式y kx b =+，当2x =时，1y =；当1x =-时，3y =；求k b ，的值．
四、综合运用，现接再厉！（本大题共35分）
1．（本题11分）小明在做家庭作业时发现练习册上一道解方程组的题目被墨水污染
325x y x y -=⎧⎨+=⎩
，，□□“□”表示被污染的内容，他着急，翻开书后面的答案，这道题的解是21
x y =⎧⎨=-⎩，你能帮助他补上“□”的内容吗？说出你的方法．
2．（本题12分）若方程组2(1)(1)4
x y k x k y +=⎧⎨-++=⎩的解x 与y 相等，求k 的值．
3．（本题12分）有黑白两种小球各若干个，且同色小球质量均相等，在如下图所示的两次称量的天平恰好平衡，如果每只砝码质量均为5克，每只黑球和白球的质量各是多少克？
七年级数学下册第八章8.1～8.2水平测试参考答案（Ａ） 一、1．472x - 2．74 3．略 4．103 5．2323x y x y
=-⎧⎨=⎩
第一次称量 第二次称量
二、1．Ｃ 2．Ｃ 3．Ｂ
三、1．（1）43x y =⎧⎨=-⎩，
；（2）1212x y =⎧⎨=⎩，
．
2．2
3-，7
3
四、1．8，9．
2．2．
3．黑球3克，白球1克．
第八章（8.1-8.2）素质测试（10-6）
班级 姓名 评价
一、选择题：你能把唯一正确结论的代号填入括号内吗？
1.表示二元一次方程组的是（ ）
A ．⎩⎨⎧=+=+;5,
3x z y x B ．⎩⎨⎧==+;4,52y y x C ．⎩⎨⎧==+;2,3xy y x D ．
⎩⎨⎧+=-+=2
22,
11x y x x y x ２．已知方程13-=+x y ax 是二元一次方程，则a 必须满足 （ ）
A.0≠a
B.1-≠a
C.3≠a
D.1≠a
３.方程组⎩⎨⎧=-=+.134
,
723y x y x 的解是（ ）
A ．⎩⎨⎧=-=;3,1y x
B ．⎩⎨⎧-==;1,3y x
C ．⎩⎨⎧-=-=;1,3y x
D ．
⎩⎨⎧
-=-=.
3,1y x
４.设⎩⎨⎧=+=.04,
3z y y x ()0≠y 则=z x
（ ）
A ．12；
B ．;121
- C ．;12- D ．.121
５.设方程组()⎩⎨⎧=--=-.433,1by x a by ax 的解是⎩⎨⎧-==.
1,
1y x 那么b a ,的值分别为（
）
A ．;3,2-
B ．;2,3-
C ．;3,2-
D ．.2,3-
６.方程82=+y x 的正整数解的个数是（ ）
A ．4；
B ．3；
C ．2；
D ．1
７.在等式n mx x y ++=2中，当3.5,3;5,2=-=-===x y x y x 则时时时，
=y （ ）
． A ．23； B ．-13； C ．-5； D ．13
８．已知⎩⎨⎧==21y x 与⎩
⎨⎧==c y x 2都是方程0=+by ax 的解， 则c 的值为 ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题： ９.若 是方程2x+3my=1的一个解，则m = . 10.2
1173+=x y 中，若,213-=x 则=y _______． 11.由==--y y x y x 得表示用,,06911_______，用=x x y 得表示,_______．
12.如果⎩
⎨⎧=-=+.232,12y x y x 那么=-+-+3962242y x y x _______． 13.如果1032162312=--+--b a b a y x 是一个二元一次方程，那么数a =______， b =______．
14.若|2x-y+1|+|x+2y-5|=0，则x= ，y=
15．方程组⎩
⎨⎧=+=-6ky x 1y x 2的解中x 和y 的值相等，则k = . １６．自编一道关于x 、y 的二元一次方程组⎩
⎨⎧__________________________
__________， 使它的解为⎩
⎨⎧=-=21y x 三、解下列方程组：
x =2
y=1
1７.⎩⎨⎧=-=+;
871110,823y x y x 1８.⎩⎨⎧=+=+;4.01.04.0,2.05.02.0y x y x
112=+y x
123=+y x
232=+b a 194-=-b a
20. 1９.
x x 51)2(4-=+
x y 23)2(3-=+
２２．你能求得n m ,的值，使得方程组⎩⎨⎧==+2x n y x 与⎩
⎨⎧=+=m y 2x 3y 有相同的解吗？
2３．已知方程组⎩⎨⎧+=+=+2
k y 5x 3k y 3x 2的解的和是12，求k 的值．
２１.
２４．方程组⎩⎨⎧=-=+1
x y 5ay x 有正整数解，试求正整数a 的值．
10-6答案
一．1.D 2.C 3.B 4.C 5.A 6.B 7.D 8.D
二．9. m= -1 10. 4 11. (11x-6)/9 (9y+6)/11 12. 2 13. a=3, b=4 14.x=0.6 y=2.2 15. 5 16. 3x+2y=1
4x-y= -6 其他方程组只要正确也可。

三．17. x=23 18. x=1 19. x=1 20. a=0.5 21. . x= -3 y=13 . y=0 . y=9 b=1/3 y=1
22.能m=8 n=5 23.k=14 24.a= 1、2
第八章二元一次方程组
第一节、知识梳理
二元一次方程组
一、学习目标
1.了解并认识二元一次方程的概念.
2.了解与认识二元一次方程的解.
3.了解并掌握二元一次方程组的概念并会求解.
4. 掌握二元一次方程组的解并知道与二元一次方程的解的区别.
5.掌握代入消元法和加减消元法.
二、知识概要
1.二元一次方程：像x＋y＝2这样的方程中含有两个未知数（x和y），并且未知数的指数都是1，这样的方程叫做二元一次方程.
2.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
3.二元一次方程组：把两个方程x＋y＝3和2x＋3y＝10合写在一起为像这样，把两个二元一次方程组合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
4.二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
5.代入消元法：由二元一次方程组中的一个方程，把一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
6.加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
三、重点难点
代入消元法和加减消元法是本周学习的重点，也是本周学习的难点.
四、知识链接
本周的二元一次方程组由我们学过的一元一次方程演化而来，为以后解决实际问题提供了一种有力的工具.
五、中考视点
本周所学的二元一次方程组经常在中考中的填空、选择中出现，还有的出现在解答题的计算当中.
二元一次方程组的实际应用
一、学习目标
将实际问题转化为纯数学问题，建立数学模型（即二元一次方程组），解决问题.
二、知识概要
列方程组解应用题的常见类型主要有：
１. 行程问题.包括追及问题和相遇问题，基本等量关系为：路程＝速度×时间；
２. 工程问题.一般分为两类，一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1的工程问题.
基本等量关系为：工作量＝工作效率× 工作时间；
3. 和差倍分问题.基本等量关系为：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数× 1倍量；
4. 航速问题.此类问题分为水中航行和风中航行两类，基本关系式为：
顺流（风）：航速＝静水（无风）中的速度＋水（风）速
逆流（风）：航速＝静水（无风）中的速度－水（风）速
5. 几何问题、年龄问题和商品销售问题等.
三、重点难点
建立数学模型（二元一次方程组）是本周的重点，也是本周的难点.
四、知识链接
本周知识是上周学的二元一次方程组的实际应用，为解决一些实际问题提供了一个模型，一种方法.
五、中考视点
二元一次方程组是中考重点考查的内容之一，主要有以下几个方面：
（1）从实际数学问题中构造一次方程组，解决有关问题；
（2）能从图表中获得有关信息，列方程组解决问题.
第二节、教材解读
1．二元一次方程：
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．从定义中可以看出：二元一次方程具备以下四个特征：
（1）是方程；
（2）有且只有两个未知数；
（3）方程是整式方程，即各项都是整式；
（4）各项的最高次数为1.
例如：像+y＝3中，不是整式，所以+y＝3就不是二元一次方程；像x+1=6，x+y-3z=8，不是含有两个未知数，也就不是二元一次方程；像xy+6=1中，虽然含有
两个未知数x、y且次数都是1，但未知项xy的次数为2，所以也不是二元一次方程，所以二元一次方程必须同时具备以上四点．
2．二元一次方程组
含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组，它有两个特点：一是方程组中每一个方程都是一次方程；二是整个方程组中含有两个且只含有
两个未知数，如
一次方程组．
3．二元一次方程的一个解
符合二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．
一般地二元一次方程的解有无数个，例如x+y=2中，由于x、y只是受这个方程的约束，并没有被取某一个特定值而制约，因此，二元一次方程有无数个解．4．二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解．
定义中的公共解是指同时使二元一次方程组中的每一个方程左右两边的值都相等，而不是使其中一个或部分左右两边的值相等，由于未知数的值必须同时满足每一个方程，所以，二元一次方程组一般情况下只有惟一的一组解，即构成方程组的两个二元一次方程的公共解．
第三节、错题剖析
【误解】A或D．
【思考与分析】二元一次方程组的解是使方程组中的每一个方程的左右两边的值都相等
的两个未知数的值，而中的一个方程的解，并不能让另一方程左、右两边相等，所以它们都不是这个方程组的解，只有C是正确的．验证方程组的解时，要把未知数的值代入方程组中的每个方程中，只有使每个方程的左、右两边都相等的未知数的值才是方程组的解．
【正解】C．
把式③代入式②得 8-3y+3y=8，0×y=0.
所以y可以为任何值.
所以原方程组有无数组解．
【思考与分析】代入法是求二元一次方程组的解的一种基本方法．它的一般步骤是：（1）从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，用含另一个未知数的代数式表示出来，如本题中方程②中的x，用含y的代数式表示为x=8-3y；（2）将这个变形所得的代数式代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；这里要求代入“另一个”方程，“误解”把它代入到变形的同一个方程中，得到了一个关于y的恒等式，出现了错误．（3）解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；（4）将求出的未知数的值代入前面变形所得的式子中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解．【正解】由式②得x=8-3y ③
把式③代入式①得2（8-3y）+5y=-21，
解得y=37.把y=37代入式③得x=8-3×37，
解得x=-103. 所以
【例3】解方程组
【错解】方程①- ②得：－3y=0，所以y=0，
把 y=0，代入②得x=－2，所以原方程组的解为
【分析】在①- ②时出错.
【正解】①- ②得：（x－2y）－（x－y）＝2－（－2）
x－2y－x＋y＝4
－y=4
y=－4
把y=－4代入②得x=－6，
所以原方程组的解为
【小结】两方程相减时，易出现符号错误，所以要特别细心.
【例4】某化妆晚会上，男生脸上涂蓝色油彩，女生脸上涂红色油彩.游戏时，每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人；而每个女生都看见涂蓝色油彩的人数是涂红色油彩的人数的，问晚会上男、女生各有几人？
错解: 设晚会上男生有x人，女生有y人.
根据题意，得
把①代入②，得x=（2x-1），解得x=3.把x=3代入②，得y=5.
所以答:晚会上男生3人，女生5人.
【分析】本题错在对题中的数量关系没有弄清.每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人，这里涂蓝色油彩的人数不是题中所有的男生人数，而是除自己之外的男生人数，同理，女生看到的人数也应是除自己以外的女生人数.
正解: 设晚会上男生有x人，女生有y人.
根据题意，得
把③代入④,得
x=［2（x-1）－1－1］，
解得x=12.
把x=12代入④，得y=21.
所以
答：晚会上男生12人，女生21人.
解二元一次方程组的问题看似简单，但如果你稍不注意，就有可能犯如下错误.
【例5】解方程组
【错解】方程①＋②得： 2x=4，
原方程组的解是： x=2
【错因分析】错解只求出了一个未知数 x，没有求出另一个未知数y.所以求解是不完整的.
【正解】（接上）将 x=2带入②得： y=0.所以原方程组的解为
【小结】用消元法来解方程组时，只求出一个未知数的解，就以为求出了方程组的解，这是对二元一次方程组的解的意义不明确的表现.应牢记二元一次方程组的解是一组解，而不是一个解.
【例6】解方程组
【错解】由式①得y=2x-19 ③
把式③代入式②得2（2x－19－
【错因分析】“错解”在把变形后的式③代入式②时，符号书写出现了错误．当解比较复杂的方程组时，应先化简，在求出一个未知数后，可以将它代入化简后的方程组里的任意一个方程中，求出第二个未知数，这样使得运算方便，避免出现错误．
【正解一】化简原方程组得
【正解二】化简原方程组得
①×6+②得 17x=114，
【小结】解二元一次方程组可以用代入法，也可以用加减法．一般地说，当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数的绝对值是1或有一个方程的常数项是0时，用代入法比较方便；当两个方程中某一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法比较方便．
第四节、思维点拨
【例1】小红到邮局寄挂号信，需要邮资３元８角. 小红有票额为６角和８角的邮票若干张，问各需多少张这两种面额的邮票？
【思考与解】要解此题，第一步要找出问题中的数量关系. 寄信需邮资３元８角，由此
可知所需邮票的总票额要等于所需邮资3.8元. 再接着往下找数量关系，所需邮票的总票额等于所需６角邮票的总票额加上所需８角邮票的总票额. 所需６角邮票的总票额等于
单位票额６角与所需６角邮票数目的乘积. 同样的，所需８角邮票的总票额等于单位票额８角与所需８角邮票数目的乘积. 这就是题中蕴含的所有数量关系.
第二步要抓住题中最主要的数量关系，构建等式. 由图可知最主要的数量关系是：所需邮资=所需邮票的总票额.
第三步要在构建等式的基础上找出这个数量关系中牵涉到哪些已知量和未知量. 已知
量是所需邮资３.8元，两种邮票的单位票额０.6元和0.8元，未知量是两种邮票的数目.
第四步是设元（即设未知量），并用数学符号语言将数量关系转化为方程. 设0.6元的
邮票需x张，0.8元的邮票需y张，用字母和运算符号将其转化为方程：0.6x+0.8y=3.8.
第五步是解方程，求得未知量. 由于两种邮票的数目都必须是自然数，此二元一次方程
可以用列表尝试的方法求解.方程的解是
第六步是检验结果是否正确合理. 方程的两个解中两种邮票的数目均为正整数，将两解代入方程后均成立，所以结果是正确合理的.
第七步是答，需要1张6角的邮票和4张8角的的邮票，或需要5张6角的邮票和1张8角的的邮票.
【例2】小聪全家外出旅游，估计需要胶卷底片１２０张. 商店里有两种型号的胶卷：Ａ型每卷３６张底片，Ｂ型每卷１２张底片. 小聪一共买了４卷胶卷，刚好有１２０张底片. 求两种胶卷的数量.。